命題學(xué)校：孝感高中 命題人：柴全中 王燕霞 張翔 李麗珠 審題人：褚衛(wèi)斌
考試時間：2024年10月8日15∶00-17∶00 時長：120分鐘 滿分：150分
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（ ）
A. B. C. D.
2. 若則（ ）
A B. C. D.
3. 數(shù)列是公差不為零等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，若且成等比數(shù)列，則（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知函數(shù)，對任意的，都有成立，則的可能取值是（ ）
A. B. C. D.
5. 對于平面凸四邊形，若，則四邊形的面積為（ ）
A. B. C. D. 大小不確定
6. 已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知事件發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（ ）
A 若與互斥，則
B. 若與相互獨(dú)立，則
C. 若，則與相互獨(dú)立
D. 若發(fā)生時一定發(fā)生，則
10. 已知，且，則（ ）
A. B.
C. D.
11. 設(shè)是銳角三角形的兩個內(nèi)角，且，則下列不等式中正確的有（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若復(fù)數(shù)滿足，則__________.
13. 若是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為__________.
14. 在如圖所示直角梯形中，為梯形內(nèi)一動點(diǎn)，且，若，則的最大值為__________.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為.求.
16. 在中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.設(shè)向量，，且.
（1）求角B的大??；
（2）設(shè)D是邊上的一點(diǎn)，使得的面積是面積的2倍，且，求線段的長.
17. 已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對任意的恒成立，求的最小值.
18. 如圖，在四棱錐中，底面，，平面與平面的交線為.
（1）求證：平面；
（2）設(shè)為內(nèi)一動點(diǎn)，且，求線段長度的最小值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)線段的長最小時，求直線與平面所成角的正弦值.
19. 在信息論中，熵（entrpy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵.若把信息熵定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)，設(shè)隨機(jī)變量的所有取值為，定義信息熵：
（1）若，且，求隨機(jī)變量的信息熵；
（2）若，求隨機(jī)變量的信息熵；
（3）設(shè)和是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量，求證：.

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