命題人：袁萍萍 審核人：劉穎
一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若，，，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
2．已知命題p：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，N為BC的中點(diǎn)，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（ ）
A．B．C．D．
5．已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知向量，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
7．已知橢圓M：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在M上，Q為的中點(diǎn)，且，，則M的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．已知圓C：，過點(diǎn)的直線l與x軸交于點(diǎn)P，與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是C上的任意一點(diǎn)，則（ ）
A．C的離心率為B．
C．的最大值為D．使為直角的點(diǎn)P有4個(gè)
10．已知直線l：，圓C：，為圓C上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為5B．的最大值為
C．直線l與圓C相切時(shí)，D．圓心C到直線l的距離最大為4
11．如圖所示，在直三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，，點(diǎn)D為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段中點(diǎn)，則下則說法正確的是（ ）
A．存在點(diǎn)D，使得
B．周長的最小值為
C．三棱錐的外接球的體積為
D．平面與平面ABC的夾角正弦值的最小值為
三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分
12．直線被圓截得的弦長為______．
13．點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小為______．
14．如圖，長方體中，，，點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，則的最大值為______．
四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（13分）如圖，在直四棱柱中，底面四邊形ABCD為梯形，，，，．
（1）證明：；
（2）若，求點(diǎn)B到平面的距離．
16．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心C在直線上．
（1）求圓C方程；
（2）若E點(diǎn)為圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)，求線段EF的中點(diǎn)M的軌跡方程．
17．已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求C的方程；
（2）過F作直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求l的方程．
18．在中，，，，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，滿足且DE經(jīng)過的重心，將三角形ADE沿DE折起到的位置，使，M是的中點(diǎn)，如圖所示．
（1）求證：；
（2）求CM與平面所成角的大??；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)N，使平面CBM與平面BMN成角余弦值為？若存在，求出CN的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．
19．已知橢圓C：的離心率為，右頂點(diǎn)Q與C的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．
（1）求C的方程．
（2）不過點(diǎn)Q的動(dòng)直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，直線QA與QB的斜率之積恒為．
（?。┳C明：直線l過定點(diǎn)；
（ⅱ）求面積的最大值．
山東省北鎮(zhèn)中學(xué)高69級(jí)第二次考試數(shù)學(xué)試題參考答案
12．13．14．3
15．【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，所以，因?yàn)闉橹彼睦馔?br>所以，因?yàn)?，，?br>所以，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>（2）由（1）及題意知，AB，AD，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)?，，?br>所以，，，，，
所以，，，，，
解得，所以點(diǎn)B到平面的距離為．
16．【詳解】（1）由題可設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則
解之得，，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)，，由及M為線段EF的中點(diǎn)得，
解得，又點(diǎn)E在圓C：上，
所以有，化簡得：，
故所求的軌跡方程為．
17．【詳解】（1）由已知得，離心率，得，，
則C的方程為．
（2）由題可知，若面積存在，則斜率不為0，
所以設(shè)直線l的方程為，m顯然存在，，．
聯(lián)立消去x得，
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F，所以顯然成立，且，，
因?yàn)?，?br>化簡得解得或（含）
所以直線l的方程為或．
18．【詳解】（1）因?yàn)樵谥?，，，且?br>所以，，則折疊后，，
又，，
所以，，所以，
又已知，且都在面BCDE內(nèi)，所以；
（2）由（1），以CD為x軸，CB為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)?，故?br>由幾何關(guān)系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，
設(shè)CM與平面所成角的大小為，
則有，
設(shè)為CM與平面所成角，故，
即CM與平面所成角的大小為．
（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)N，使平面CBM與平面BMN成角余弦值為．
在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
設(shè)，則，，
設(shè)平面BMN的法向最為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
設(shè)平面CBM的法向量為，則有．即
不妨令，則，，所以，
若平面CBM與平面BMN成角余弦值為．
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點(diǎn)N，使平面CBM與平面BMN成角余弦值為，此時(shí)CN的長為或．
19．【詳解】（1）令橢圓C：的半焦距為c，由離心率為，得，解得，，
由三角形面積為，得，則，，，
所以C的方程是．
（2）（?。┯桑?）知，點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，
由消去x得：，
則，，
直線QA與QB的斜率分別為，，
于是
，
整理得，解得或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)Q，不符合題意，因此，
直線l：恒過定點(diǎn)．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，
則|，
因此的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以面積的最大值為．
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
B
B
C
D
BCD
BC
題號(hào)
11
答案
ACD

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