【考點(diǎn)突破】
一、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值
1．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】試題分析：
考點(diǎn)：同角間三角函數(shù)關(guān)系
2．已知，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合已知條件，對(duì)兩邊同時(shí)平方求出，然后對(duì)平方求值，結(jié)合的范圍即可求解.
【詳解】∵，∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即.
故選：B.
3．已知，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)已知式和求值式，求值式變形有后用二倍角公式計(jì)算．
【詳解】由題意，
所以，
所以
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式與二倍角公式求值．解題關(guān)鍵是對(duì)“單角”和“復(fù)角”的相對(duì)性的理解與應(yīng)用．本題中用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)和用二倍角公式求值，都是把作為一個(gè)“單角”進(jìn)行變形參與運(yùn)算，而不是作為兩個(gè)角的和．
4．已知，，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得和，分別在和兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得，結(jié)合的范圍可確定最終結(jié)果.
【詳解】且，，.
又，，.
當(dāng)時(shí)，
，
，，不合題意，舍去；
當(dāng)，同理可求得，符合題意.
綜上所述：.
故選：.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題中求解時(shí)，易忽略的值所確定的的更小的范圍，從而誤認(rèn)為的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯(cuò)誤.
5．已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用兩角差的正弦和余弦公式可求得的值，利用二倍角公式可得出，在所得代數(shù)式上除以，在所得分式的分子和分母中同時(shí)除以，代入的值計(jì)算即可得解.
【詳解】，即，
整理得，，
因此，.
故選：D.
【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：已知，求關(guān)于、的齊次式的值，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
（1）一定是關(guān)于、的齊次式（或能化為齊次式）的三角函數(shù)式；
（2）因?yàn)椋钥沙?，這樣可將被求式化為關(guān)于的表達(dá)式，然后代入的值，從而完成被求式的求值.
6．已知?jiǎng)t（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根據(jù)已知求出，再化簡(jiǎn)代入得解.
【詳解】由得，
故.
所以.
故選：B
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角恒等變換求值常用的方法有：“三看三變”，“三看”指的是看角、看名、看式，“三變”指的是變角、變名、變式.要根據(jù)已知條件，靈活選擇方法求解.
7．已知.
(1)若，且，求的值.
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)或；(2).
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式結(jié)合化簡(jiǎn)，再解方程結(jié)合即可求解；
（2）結(jié)合（1）中將已知條件化簡(jiǎn)可得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.
【詳解】(1)
.
所以，因?yàn)?，則，或.
(2)由（1）知：，
所以，
即，所以，
所以，即，
可得或.
因?yàn)?，則，所以.
所以，故.
8．已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的余弦公式求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，?br>又，所以，
所以.
（2）解：因?yàn)椋?br>，
又因?yàn)椋裕?br>由（1）知，，
所以．
因?yàn)?，，則，所以．
二、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1．函數(shù)的圖象可以看成是將函數(shù)的圖象（ ）得到的．
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】B
【分析】直接利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得出結(jié)論．
【詳解】函數(shù)，故它的圖象可以看成是
將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的，
故選：B．
2．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
B．所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，縱坐標(biāo)不變
D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮變換原則，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，將橫坐標(biāo)縮短到原來的，可得；再向右平移個(gè)單位，可得，A正確；
對(duì)于B，將橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，可得；再向左平移個(gè)單位，可得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，將向右平移個(gè)單位，可得；再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的倍，可得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，將向左平移個(gè)單位，可得；再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，可得，D錯(cuò)誤.
故選：A.
3．函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象得到、的解析式，然后利用圖象平移的結(jié)論進(jìn)行圖象平移即可.
【詳解】根據(jù)圖象可得，周期，因?yàn)?，所以，?br>將代入可得，解得，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到的圖象.
故選：B.
4．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．
(1)求的取值范圍；
(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像與將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的圖像重合．求的值．
【答案】(1)；(2)2
【分析】（1）確定，根據(jù)單調(diào)性得到，解得答案.
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移法則得到，結(jié)合的范圍得到答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，，則，
已知在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則，解得．
（2）由已知可得，即，
所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，符合．
故．
5．已知函數(shù)只能同時(shí)滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè)：①函數(shù)的最大值為2；②函數(shù)的圖象可由的圖象平移得到；③函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為
(1)請(qǐng)寫出這兩個(gè)條件序號(hào)，說明理由，并求出的解析式；
(2)求方程在區(qū)間上所有解的和.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，條件①②互相矛盾，所以③為函數(shù)滿足的條件之一，根據(jù)條件③，可以確定函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而求得的值，并對(duì)條件①②作出判斷，最后求得函數(shù)解析式；
（2）將代入方程，求得，從而確定方程的實(shí)數(shù)根，結(jié)合題中所給的范圍，得到結(jié)果.
【詳解】（1）函數(shù)滿足的條件為①③；
理由如下：由題意可知條件①②中的最大值不一樣，所以互相矛盾，
故③為函數(shù)滿足的條件之一，
由③可知，，所以，故②不合題意，
所以函數(shù)滿足的條件為①③；
由①可知，所以；
（2）因?yàn)?，所以?br>所以或，
所以或，
又因?yàn)椋詘的取值為
所以方程在區(qū)間上所有的解的和為.
三、三角恒等變換與三角函數(shù)的綜合問題
1．已知函數(shù).將周期為的函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)求圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo).
【分析】（1）先求得函數(shù)解析式，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，利用代入法去求的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用代入法去求的圖像的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo).
【詳解】（1）
則
由函數(shù)周期為，可得，解之得
當(dāng)時(shí)，
由，可得
則的單調(diào)增區(qū)間為
由，可得
則的單調(diào)減區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，
由，可得
則的單調(diào)增區(qū)間為
由，可得
則的單調(diào)減區(qū)間為
（2）當(dāng)時(shí)，
由，可得
則的對(duì)稱軸方程為
由，可得
則的對(duì)稱中心為，
當(dāng)時(shí)，
由，可得
則的對(duì)稱軸方程為
由，可得
則的對(duì)稱中心為，
2．已知函數(shù)的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，
(1)求的解析式；
(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解;
（2）根據(jù)函數(shù)圖像的平移和縮放公式得到，再利用整體法分析函數(shù)值域即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)，整理得：，由于相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為，故函數(shù)的最小正周期為π，故．
所以．
（2）函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像，
由于，故；
所以．
3．已知．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解，
（2）轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求解，
【詳解】（1），
由得，，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）令，當(dāng)時(shí)，，
作函數(shù)的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng)或時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，
即有兩解，
綜上，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
的取值范圍為
【隨堂演練】
1．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式對(duì)所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)齊次式進(jìn)行求值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：A.
2．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.
【詳解】，得，
即，解得或（舍去），
又.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得的值，再利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】解：由誘導(dǎo)公式可得，所以，.
因此，.
故選：D.
4．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A．向右平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位D．向左平移個(gè)單位
【答案】D
【分析】化簡(jiǎn)得到，根據(jù)圖象的平移得到答案.
【詳解】.
故向左平移個(gè)單位長(zhǎng)可以得到的圖像.
故選：D.
5．已知函數(shù)（其中）圖像相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，一個(gè)對(duì)稱中心為，為了得到的圖像，只需將的圖像（ ）
A．向左平移個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位
C．向右平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】C
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得，再根據(jù)平移變換求解即可.
【詳解】解：由題設(shè)，所以，
所以，，
因?yàn)橐粋€(gè)對(duì)稱中心為，且，
所以，將代入可得，解得,
所以，,
所以，函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位可得到的圖像.
故選：C
6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移個(gè)單位B．向右平移個(gè)單位
C．向左平移個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位
【答案】A
【分析】先將化簡(jiǎn)為，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移即可得出答案.
【詳解】，所以的圖象向左平移個(gè)單位得：.
故選：A.
7．若，，且，，則的值是________.
【答案】
【分析】依題意,可求得，進(jìn)一步可知，于是可求得與的值，再利用兩角和的余弦公式及角的范圍即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以，即所?
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，所?
所以
.
因?yàn)?，，所以?br>所以.
故答案為：.
8．已知csα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由α，β的范圍求出α﹣β的范圍，由題意和平方關(guān)系求出sinα和cs（α﹣β），由兩角和的余弦公式求出cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由兩角差的余弦公式求出csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范圍求出β的值．
【詳解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cs（α﹣β），
∴cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]＝cs（α﹣β）csα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]＝csα cs（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拆角，是本題解題關(guān)鍵.
9．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有，且.
(1)求滿足條件的最小正數(shù)及此時(shí)的解析式；
(2)若將問題（1）中的的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，設(shè)集合，集合，求.
【答案】(1)正數(shù)的最小值為，；(2)
【分析】（1）由可構(gòu)造方程求得；根據(jù)已知關(guān)系式可知關(guān)于對(duì)稱，采用整體對(duì)應(yīng)法可求得，由此可得最小正數(shù)，進(jìn)而得到；
（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，利用兩角和差正弦公式和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)可求得，結(jié)合集合中的范圍可求得.
【詳解】（1），，又，，
，是的一條對(duì)稱軸，
，解得：，
當(dāng)時(shí)，正數(shù)的最小值為，此時(shí).
（2）由（1）得：；
，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，或，解得：或，
.
10．已知函數(shù)（其中A>0，，）的部分圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．求函數(shù)的值域．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由最大值和最小值確定，由周期確定，由最小值點(diǎn)確定值得函數(shù)解析式；
（2）由圖象變換得出的表達(dá)式，由整體思想結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得值域．
【詳解】（1）由圖知，，，解得，
即．
由圖知，函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴，
∵，∴，∴．
（2）由題意得，．
∵，∴，∴，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?br>11．已知函數(shù)，其中的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為.
(1)求的周期；
(2)當(dāng)時(shí)，求的值域.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題得即得解；
（2）首先求出，再利用不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)得解.
【詳解】（1）解：由軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，得，即，
函數(shù)的周期為.
（2）解：由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，得，
由得.
又點(diǎn)在圖象上，得，即，
故，，所以，，
又，所以，所以.
又，所以，
所以.
所以的值域?yàn)?
12．已知函數(shù)，，且．
(1)求a的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．
【答案】(1)a＝0，，
(2)最小值－1，最大值2
【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，由條件列方程求a的值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）結(jié)合不等式的性質(zhì)及正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
，
，
由知1＋a＝1，則a＝0，所以．
令，，則，，
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．
（2）由（1）知，，則，
當(dāng)，即x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值－1；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2．
13．已知函數(shù)，且函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為．
(1)求的值和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．
【答案】(1)；，
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，再由題設(shè)條件得到，從而求得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及整體代入法求得的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先由得到，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得，從而得到的值域．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為，
所以，即，則，即，又，故，
所以，
令，，得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）因?yàn)?，所以?br>故，則，即，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>14．已知函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，若在上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.
【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是，．(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用周期公式可求，整體代入法可解得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換的規(guī)律，求出的解析式和周期以及零點(diǎn)，根據(jù)在上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)零點(diǎn)可得范圍．求出的最小值．．
【詳解】（1），
由最小正周期為，得，所以，
由，整理得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
令，整理得，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，．
（2）將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像，．
令，得或，
在，上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，
若在，上至少有10個(gè)零點(diǎn)，則不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，
即的最小值為．
15．已知函數(shù)，將函數(shù)向右平移個(gè)單位得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱且當(dāng)時(shí)，取得最大值.
(1)求函數(shù)的解析式：
(2)方程在上有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用正弦函數(shù)的平移變換結(jié)合圖像和性質(zhì)求解即可；
（2）利用正弦函數(shù)的圖像和一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.
【詳解】（1）函數(shù)向右平移個(gè)單位可得，
因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以解得，
因?yàn)椋曰颍?br>又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值，所以解得，
綜上，
所以.
（2）令，
由（1）得當(dāng)時(shí)，，
由正弦函數(shù)的圖像可得當(dāng)時(shí)有兩個(gè)解，
所以要使方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根且兩根都在區(qū)間內(nèi)，
所以，且，
解得.

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