浙江省杭州市周邊重點(diǎn)中學(xué)四校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生須知：
1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；
3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>則，
故選：D
2. 如圖，已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為（）

A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先求出圖中陰影部分表示的集合，再利用集合的子集個(gè)數(shù)公式即可得解.
【詳解】由題意得，故圖中陰影部分表示的集合為，
所以圖中陰影部分表示的集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：D.
3. 已知，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)由能不能推出及由能不能推出即可得答案.
【詳解】解：由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4. 已知，那么的大小關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)比較大小即可.
【詳解】由可得，所以.
故選：A
5. 命題“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定即可得解.
【詳解】命題“”的否定是“”.
故選：B.
6. 若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，根據(jù)存在性問題結(jié)合配方法分析求解.
【詳解】因?yàn)椋矗?br>又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
若，，即，
所以實(shí)數(shù)a可取的最小整數(shù)值是.
故選：A.
7. 已知關(guān)于不等式的解集為，則（）
A.
B. 點(diǎn)在第二象限
C. 的最大值為
D. 關(guān)于不等式的解集為
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分式不等式與整式不等式的轉(zhuǎn)化，結(jié)合解的性質(zhì)可得和分別是和的實(shí)數(shù)根，即可得，，進(jìn)而可求解AB，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判斷D.
【詳解】原不等式等價(jià)于，
因?yàn)榻饧癁?所以和分別是和的實(shí)數(shù)根，
故且，，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，，所以點(diǎn)在第三象限，故B錯(cuò)誤；
，由于開口向下，故最大值為，故C錯(cuò)誤，
由得即解集為，故D正確．
故選：D．
8. 若數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的與中至少有一個(gè)屬于A，則稱集合A為“權(quán)集”，則（）
A. “權(quán)集”中一定有1B. 為“權(quán)集”
C. 為“權(quán)集”D. 為“權(quán)集”
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)集合的新定義，驗(yàn)證選項(xiàng)B,C,D，集合“權(quán)集”中不一定有1，判定A錯(cuò)誤.
【詳解】因?yàn)椋?，都屬于?shù)集,是“權(quán)集”，
所以“權(quán)集”中不一定有1，所以A錯(cuò)誤；
因?yàn)槎紝儆跀?shù)集，為“權(quán)集”，所以B正確；
因?yàn)榕c均不屬于數(shù)集，不為“權(quán)集”，所以C錯(cuò)誤；
因?yàn)榕c均不屬于數(shù)集，不為“權(quán)集”，所以D錯(cuò)誤；
故選：B
二?多選題：本題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分．
9. 中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》下卷有題：“今有物，不知其數(shù)．三三數(shù)之，剩二．五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二．問：物幾何？”現(xiàn)有如下表示：已知，，若，則下列選項(xiàng)中符合題意的整數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接將各選項(xiàng)的數(shù)字變形判斷即可.
【詳解】對(duì)A，，滿足的描述，所以，符合；
對(duì)B，，不滿足的描述，則，不符合；
對(duì)C，，滿足的描述，，符合；
對(duì)D，，不滿足的描述，則，不符合.
故選：AC
10. 根據(jù)不等式的有關(guān)知識(shí)，下列日常生活中的說法正確的是（）
A. 自來水管的橫截面制成圓形而不是正方形，原因是：圓的面積大于與它具有相同周長(zhǎng)的正方形的面積.
B. 購(gòu)買同一種物品，可以用兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定.用第一種方式購(gòu)買比較經(jīng)濟(jì).
C. 某工廠第一年的產(chǎn)量為，第二年的增長(zhǎng)率為，第三年的增長(zhǎng)率為，則這兩年的平均增長(zhǎng)率等于.
D. 金店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店內(nèi)購(gòu)買20g黃金，店員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中，使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中，使得天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．記顧客實(shí)際購(gòu)得的黃金為，則.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用不等式的性質(zhì)以及作差法、基本不等式逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)周長(zhǎng)為，則圓的面積為，
正方形的面積為，
因?yàn)?，可得，即，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：按第一種策略購(gòu)物，設(shè)第一次購(gòu)物時(shí)的價(jià)格為元/kg，購(gòu)，
第二次購(gòu)物時(shí)的價(jià)格為元/kg，購(gòu)，兩次購(gòu)物的平均價(jià)格為；
若按第二種策略購(gòu)物，第一次花m元錢，能購(gòu)物品，
第二次仍花m元錢，能購(gòu)物品，兩次購(gòu)物的平均價(jià)格為.
比較兩次購(gòu)的平均價(jià)格：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以第一種策略的平均價(jià)格不低于第二種策略的平均價(jià)格，因而用第二種策略比較經(jīng)濟(jì)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)這兩年的平均增長(zhǎng)率為，
則，可得，
因?yàn)?，即?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
即這兩年的平均增長(zhǎng)率不大于，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，且，
左盤放的黃金為克，右盤放的黃金為克，
，解得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，
由于，所以，故D正確；
故選：AD.
11. 若正實(shí)數(shù)滿足，則下列說法正確的是（）
A. 有最大值為B. 有最小值為
C. 有最小值為D. 有最大值為
【答案】ABC
【解析】
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的條件即可求解D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故A正確，
對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故B正確，
對(duì)于C：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故C正確，
對(duì)于D：因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，這與均為正實(shí)數(shù)矛盾，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一某班共有名同學(xué)參加比賽，有人參加游泳比賽，有人參加田賽，有人參加徑賽，同時(shí)參加游泳比賽和田賽的有人，同時(shí)參加游泳比賽和徑賽的有人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，借助文氏圖（Venndiagram），可知同時(shí)參加田賽和徑賽的有________人．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)同時(shí)參加田賽和徑賽的學(xué)生人數(shù)為，作出韋恩圖，根據(jù)題意可得出關(guān)于的等式，即可解出的值.
【詳解】設(shè)同時(shí)參加田賽和徑賽的學(xué)生人數(shù)為，如下圖所示：
由韋恩圖可的，解得.
因此，同時(shí)參加田賽和徑賽的有人.
故答案為：.
13. 甲、乙兩地相距1000千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成．可變部分與速度（千米/時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為2，固定部分為5000元．為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車的速度是________千米/時(shí)．
【答案】50
【解析】
【分析】依據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式求解最值即可.
【詳解】設(shè)汽車速度為千米/時(shí)，運(yùn)輸成本為，
∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，運(yùn)輸成本最?。?br>故答案為：50
14. 若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，記，則此三角形面積，這是著名的海倫公式.已知的周長(zhǎng)為，則的面積的最大值為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由條件可得，然后利用基本不等式可得，然后可得答案.
【詳解】由題意，
由，則時(shí)取等，
則.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15. 用籬笆在一塊靠墻的空地圍一個(gè)面積為的等腰梯形菜園，如圖所示，用墻的一部分做下底，用籬笆做兩腰及上底，且腰與墻成，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為多少時(shí)，所用籬笆的長(zhǎng)度最?。坎⑶蟪鏊没h笆長(zhǎng)度的最小值．
【答案】當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為時(shí)，所用籬笆長(zhǎng)度最小，其最小值為．
【解析】
【分析】以實(shí)際應(yīng)用問題為情境，建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)最值的求法解出結(jié)果；
【詳解】
設(shè)，上底，
分別過點(diǎn)作下底的垂線，垂足分別為，
則，，
則下底，
該等腰梯形的面積，
所以，則，
所用籬笆長(zhǎng)為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．
所以，當(dāng)?shù)妊菪蔚难L(zhǎng)為時(shí)，所用籬笆長(zhǎng)度最小，其最小值為．
16. 已知集合,集合．
（1）若，求；
（2）設(shè)命題；命題，若命題是命題的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍
【答案】（1）或．
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合的并集和補(bǔ)集的定義即可求解，
（2）根據(jù)是集合的真子集，討論和兩種情況即可求解.
【小問1詳解】
由題意可知，
若故，
或．
【小問2詳解】
命題是命題的必要不充分條件，集合是集合的真子集，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，（等號(hào)不能同時(shí)成立），解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為
17. 如圖，為梯形，其中，，設(shè)O為對(duì)角線的交點(diǎn).表示平行于兩底且與它們等距離的線段（即梯形的中位線），表示平行于兩底且使梯形與梯形相似的線段，表示平行于兩底且過點(diǎn)O的線段，表示平行于兩底且將梯形分為面積相等的兩個(gè)梯形的線段.
試研究線段，，，與代數(shù)式，，，之間的關(guān)系，并據(jù)此推測(cè)它們之間的一個(gè)大小關(guān)系.你能用基本不等式證明所得到的猜測(cè)嗎？
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】根據(jù)題中所給的梯形模型，結(jié)合平行線分線段成比例定理，相似，面積相等等方式，建立得到幾個(gè)平均數(shù)，再利用基本不等式和作差法比較大小即可
【詳解】因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，
所以；
因?yàn)樘菪闻c梯形相似，
所以，
所以；
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
設(shè)梯形，的面積分別為，高分別為，
則，，
所以，
所以，
所以；
由圖可知，，
即
；
證明：
顯然，
，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
18. 已知二次函數(shù)
（1）若的解集為，解關(guān)于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且對(duì)任意，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）不等式的解集為.
（2）的最小值為；
（3）的最小值為.
【解析】
【分析】（1）由條件可得是方程的解，由此可求，結(jié)合一元二次不等式解法求的解集；
（2）由已知可得，結(jié)合基本不等式求結(jié)論；
（3）由條件可得，由此可得，換元并結(jié)合基本不等式可求其最小值.
【小問1詳解】
由已知的解集為，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化為，
所以，
故不等式解集為.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以
因?yàn)椋裕?br>由基本不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立；
所以的最小值為；
【小問3詳解】
因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，則，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
即當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為.
19. 已知集合非空數(shù)集，定義：，（實(shí)數(shù)a，b可以相同）
（1）若集合，直接寫出集合S、T；
（2）若集合，，且，求證：；
（3）若集合，，記為集合中元素的個(gè)數(shù)，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）證明見解析（3）1348
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題目的定義，直接計(jì)算集合S，T即可;
（2）根據(jù)集合相等的概念，證明即可；
（3）通過假設(shè)集合，求出對(duì)應(yīng)的集合S，T，通過，建立不等式關(guān)系，求出對(duì)應(yīng)的值即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榧?，，?br>所以由，可得，
，可得．
【小問2詳解】
由于集合，，
則T集合的元素在0，，，，，，中，
且，，
而，故中最大元素必在中，而為7個(gè)元素中的最大者，
故即，故，
故中的4個(gè)元素為0，，，，
且，，與，，重復(fù)，
而，故即，
而，故，故或，
若，則，，與題設(shè)矛盾；
故即.
【小問3詳解】
設(shè)滿足題意，其中，
則，
∴，，∴，
∵，由容斥原理，
中最小的元素為0，最大的元素為，，
∴，即，∴．
實(shí)際上當(dāng)時(shí)滿足題意，
證明如下：設(shè)，，
則，，
依題意有，即，
故m的最小值為674，于是當(dāng)時(shí)，A中元素最多，
即時(shí)滿足題意，
綜上所述，集合A中元素的個(gè)數(shù)的最大值是1348．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

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