專題1　規(guī)律探究(一)
類型1　數(shù)或式規(guī)律探究
2. [2023西藏中考，中]按一定規(guī)律排列的單項式：5a，8a2，11a3， 14a4，….則按此規(guī)律排列的第n個單項式為 　.(用含有n的 代數(shù)式表示)
【解析】按一定規(guī)律排列的單項式：5a，8a2，11a3，14a4，…，∵5＝1×3 ＋2，8＝2×3＋2，11＝3×3＋2，∴第n個單項式的系數(shù)可表示為3n＋2，字 母a的指數(shù)可表示為n，∴第n個單項式為(3n＋2)an.
3. [2023山東臨沂中考，中]觀察下列式子
按照上述規(guī)律， ＝n2.
【解析】觀察下列式子：1×3＋1＝22；2×4＋1＝32；3×5＋1＝42；….按照上 述規(guī)律，可得(n－1)(n＋1)＋1＝n2.故答案為(n－1)(n＋1)＋1.
(n－1)(n＋1)＋1
4. [2024四川成都中考，中]在綜合實踐活動中，數(shù)學興趣小組對1～n 這n個自然數(shù)中，任取兩數(shù)之和大于n的取法種數(shù)k進行了探究.發(fā)現(xiàn)：當n＝ 2時，只有{1，2}一種取法，即k＝1；當n＝3時，有{1，3}和{2，3}兩種取 法，即k＝2；當n＝4時，可得k＝4；….若n＝6，則k的值為 　；若 n＝24，則k的值為 　.
【解析】當n＝6時，從1，2，3，4，5，6中取兩個數(shù)的和大于6，則取法有 {6，1}，{6，2}，{6，3}，{6，4}，{6，5}，{5，2}，{5，3}，{5，4}，{4， 3}，∴k＝5＋3＋1＝9.
當n＝24時，從1，2，3，…，22，23，24中取兩個數(shù)的和大于24，則取 法如下：{24，1}，{24，2}，…，{24，23}，{23，2}，{23，3}，…，{23，22}，{22，3}，{22，4}，…，{22，21}，…，{14，11}，{14，12}，{14，13}，{13，12}，∴k＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144.故答案為9，144.
5. [2024重慶中考B卷，中]用菱形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案 中有2個菱形，第②個圖案中有5個菱形，第③個圖案中有8個菱形，第④個圖 案中有11個菱形，…，按此規(guī)律，則第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)是(　C　)

①②③ ④
【解析】由所給圖形可知，第①個圖案中，菱形的個數(shù)為2＝1×3－1；第②個 圖案中，菱形的個數(shù)為5＝2×3－1；第③個圖案中，菱形的個數(shù)為8＝3×3－ 1；第④個圖案中，菱形的個數(shù)為11＝4×3－1；…，所以第n個圖案中，菱形 的個數(shù)為3n－1，當n＝8時，3n－1＝23，即第⑧個圖案中，菱形的個數(shù)為 23.故選C.
6. [2023山西中考，中]如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個大小相同的圓 片組成.第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有6個白色圓片，第3個圖 案中有8個白色圓片，第4個圖案中有10個白色圓片，…，依此規(guī)律，第n個圖 案中有 個白色圓片(用含n的代數(shù)式表示).
【解析】第1個圖案中有4個白色圓片，第2個圖案中有4＋2＝6(個)白色圓片， 第3個圖案中有4＋2×2＝8(個)白色圓片，第4個圖案中有4＋2×3＝10(個)白色 圓片，…，∴第n個圖案中有4＋2(n－1)＝(2＋2n)個白色圓片.故答案為(2＋ 2n).
7. [2023黑龍江綏化中考，較難]在求1＋2＋3＋…＋100的值時，發(fā) 現(xiàn)：1＋100＝101，2＋99＝101，…，從而得到1＋2＋3＋…＋100＝101×50＝ 5 050.按此方法可解決下面問題.圖(1)有1個三角形，記作a1＝1；分別連接這 個三角形三邊中點得到圖(2)，有5個三角形，記作a2＝5；再分別連接圖(2)中 間的小三角形三邊中點得到圖(3)，有9個三角形，記作a3＝9；按此方法繼續(xù) 下去，則a1＋a2＋a3＋…＋an＝ 　.(結(jié)果用含n的代數(shù)式表示)

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