【清單01】 概率
1.定義：一般地，對于一個隨機事件 A ，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機事件 A 發(fā)生的概率，記為P(A) ．
（1）一個事件在多次試驗中發(fā)生的可能性，反映這個可能性大小的數(shù)值叫做這個事件發(fā)生的概率。
（2）概率指的是事件發(fā)生的可能性大小的的一個數(shù)值。
2、概率的求法：一般地，如果在一次試驗中，有n 種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m種結果，那么事件A 發(fā)生的概率為P(A) = ．
（1）一般地，所有情況的總概率之和為1。
（2）在一次實驗中,可能出現(xiàn)的結果有限多個.
（3）在一次實驗中,各種結果發(fā)生的可能性相等.
（4）概率從數(shù)量上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小，事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；反之，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0。
（5）一個事件的概率取值：0≤P（A）≤1
當這個事件為必然事件時，必然事件的概率為1，即P（必然事件）＝1
不可能事件的概率為0，即P（不可能事件）＝0
隨機事件的概率：如果A為隨機事件，則0＜P（A）＜1
（6）可能性與概率的關系
事件發(fā)生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0．

求概率方法：
（1）列舉法：通常在一次事件中可能發(fā)生的結果比較少時，我們可以把所有可能產(chǎn)生的結果全部列舉出來，并且各種結果出現(xiàn)的可能性相等時使用。等可能性事件的概率可以用列舉法而求得。但是我們可以通過用列表法和樹形圖法來輔助枚舉法。
（2）列表法：當一次實驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子），并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。
（3）列樹形圖法：當一個實驗要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果時使用。
【清單02】 頻率與概率
1、頻數(shù)：在多次試驗中，某個事件出現(xiàn)的次數(shù)叫頻數(shù)
2、頻率：某個事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗總次數(shù)的比，叫做這個事件出現(xiàn)的頻率
3、一般地，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率 會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么，這個常數(shù)p就叫作事件A的概率 ，記為P（A）=P 。
【清單03】 平行投影
1.一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面或墻壁等)上得到的影子，叫做物體的投影.只要有光線，有被光線照到的物體，就存在影子.太陽光線可看做平行的，象這樣的光線照射在物體上，所形成的投影叫做平行投影.由此我們可得出這樣兩個結論：
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在太陽光下，它們的影子一樣長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示，它們在太陽光下的影子一樣長，且影長等于物體本身的長度.
2. 物高與影長的關系
（1）在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時刻，物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西→西北→北→東北→東，影長也是由長變短再變長.
（2）在同一時刻，不同物體的物高與影長成正比例.
即：.
利用上面的關系式可以計算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.
注意：利用影長計算物高時，要注意的是測量兩物體在同一時刻的影長.
【清單04】 中心投影
若一束光線是從一點發(fā)出的，像這樣的光線照射在物體上所形成的投影，叫做中心投影.這個“點”就是中心，相當于物理上學習的“點光源”.生活中能形成中心投影的點光源主要有手電筒、路燈、臺燈、投影儀的燈光、放映機的燈光等.相應地，我們會得到兩個結論：
(1)等高的物體垂直地面放置時，如圖1所示，在燈光下，離點光源近的物體它的影子短，離點光源遠的物體它的影子長.

(2)等長的物體平行于地面放置時，如圖2所示.一般情況下，離點光源越近，影子越長；離點光源越遠，影子越短，但不會比物體本身的長度還短.
在中心投影的情況下，還有這樣一個重要結論：點光源、物體邊緣上的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上，根據(jù)其中兩個點，就可以求出第三個點的位置.
注意：
光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).
【清單05】 正投影
正投影的定義：

如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影.
(1)線段的正投影分為三種情況.如圖所示.

①線段AB平行于投影面P時，它的正投影是線段A1B1，與線段AB的長相等；
②線段AB傾斜于投影面P時，它的正投影是線段A2B2，長小于線段AB的長；
③線段AB垂直于投影面P時，它的正投影是一個點.
(2)平面圖形正投影也分三種情況，如圖所示.

①當平面圖形平行于投影面Q時，它的正投影與這個平面圖形的形狀、大小完全相同，即正投影與這個平面圖形全等；
②當平面圖形傾斜于投影面Q時，平面圖形的正投影與這個平面圖形的形狀、大小發(fā)生變化，即會縮小，是類似圖形但不一定相似.
③當平面圖形垂直于投影面Q時，它的正投影是直線或直線的一部分.
(3)立體圖形的正投影.
物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，立體圖形的正投影與平行于投影面且過立體圖形的最大截面全等.
【清單06】 三視圖
視圖的定義
從某一角度觀察一個物體時，所看到的圖象叫做物體的一個視圖.
（2）正面、水平面和側(cè)面
用三個互相垂直的平面作為投影面，其中正對我們的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右邊的面叫做側(cè)面.
（3）三視圖
一個物體在三個投影面內(nèi)同時進行正投影，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.
（4）畫圖方法：
畫一個幾何體的三視圖時，要從三個方面觀察幾何體，具體畫法如下：
(1)確定主視圖的位置，畫出主視圖；
(2)在主視圖的正下方畫出俯視圖，注意與主視圖“長對正”；
(3)在主視圖的正右方畫出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
幾何體上被其他部分遮擋而看不見的部分的輪廓線應畫成虛線.
注意：
畫一個幾何體的三視圖，關鍵是把從正面、上方、左邊三個方向觀察時所得的視圖畫出來，所以，首先要注意觀察時視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實踐，多與同學交流探討，多總結；最后，按三視圖的位置和大小要求從整體上畫出幾何體的三視圖.
【考點題型一】概率有關運算
【典例1-1】某校九年級計劃組織學生外出開展研學活動，在選擇研學活動地點時，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，要求被調(diào)查的學生從A、B、C、D四個研學活動地點中選擇自己最喜歡的一個．根據(jù)調(diào)查結果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
(1)此次被調(diào)查的學生共有__________人，研學活動地點A所在扇形的圓心角的度數(shù)為__________；
(2)若該年級共有800名學生，請估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù)；
(3)九（1）班研學歸來，班主任組織學生進行研學收獲及感悟交流分享會，A小組有兩名男同學和兩名女同學，從A小組中隨機選取2人談收獲及感悟，請用列表法或畫樹狀圖法，求恰好抽中兩名同學為一男一女的概率．
【答案】(1)100；72°
(2)估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù)大約有320人
(3)列表見解析，剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為23
【分析】本題主題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、利用樣本估計總體、列表法求概率等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．
（1）利用“選擇地點B的學生人數(shù)其÷其占比15%”求解即可；利用“360°×選擇地點A的學生占比”求解即可；
（2）利用“該校學生總數(shù)×選擇地點C的學生占比”，即可求得答案；
（3）根據(jù)題意列表，結合表格即可獲得答案．
【詳解】（1）解：此次被調(diào)查的學生共有15÷15%=100（人）；
研學活動地點A所在扇形的圓心角的度數(shù)為20100×360°=72°．
故答案為：100；72°；
（2）解：40÷100×100%×800=320（人），
答：估計最喜歡去C地研學的學生人數(shù)大約有320人．
（3）解：列表如下：
由上表可知共有12種等可能的結果，其中剛好抽中一男一女的結果有8種，
∴剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為：P（一男一女）=812=23．
答：剛好抽中兩名同學為一男一女的概率為23．
【典例1-2】一個不透明的盒子里裝有除顏色外其它都相同的四個球，其中1個白球、1個黑球、2個紅球，攪勻后隨機從盒子中摸出兩個球，則摸出兩個紅球的概率是（ ）
A．12B．14C．16D．19
【答案】C
【分析】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與摸出兩個紅球的情況，再利用概率公式計算即可．
【詳解】解：畫樹狀圖得：
因為共有12種等可能的結果，其中摸出兩個紅球的有2種情況，
所以摸出1個白球的概率是212=16．
故選：C．
【變式1-1】某科室有3名醫(yī)生，其中2名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生，現(xiàn)隨機選派兩名醫(yī)生前往某地震災區(qū)參與救援工作，則選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的概率是（ ）
A．13B．12C．23D．16
【答案】C
【分析】本題考查用列表或畫樹狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵．先列表，表示出所有可能的情況，再找出符合題意的情況，最后根據(jù)概率公式計算即可．
【詳解】解：將兩名男醫(yī)生分別記為男1，男2，列表如下：
由表格可知，共有6種等可能的結果，其中選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的結果有4種，
所以選派的兩名醫(yī)生恰好是一男一女的概率為46=23．
故選C
【變式1-2】同學們，你們知道“石頭、剪子、布”的游戲吧！甲、乙兩人做這種游戲，隨機出手一次，則甲獲勝的概率是（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【分析】此題主要考查了列表法和樹狀圖法求概率知識，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與甲獲勝的情況數(shù)，再利用概率公式即可求得答案．
【詳解】解：畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，甲獲勝的情況數(shù)是3種，
∴一次游戲中甲獲勝的概率是：39=13．
故選：B．
【變式1-3】某同學手中有6張撲克牌，6張撲克牌上的數(shù)字依次為1，2，3，4，5，6．若從中同時取出兩張牌，則牌面數(shù)字均為偶數(shù)的概率是 ．
【答案】15
【分析】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，列出表格，共有30種等可能的情況，其中牌面數(shù)字均為偶數(shù)的情況有6種，利用概率公式計算即可．
【詳解】解：列表如下：
由表格可知，共有30種等可能的情況，其中牌面數(shù)字均為偶數(shù)的情況有6種，
∴牌面數(shù)字均為偶數(shù)的概率是630=15．
故答案為：15
【變式1-4】南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．
(1)甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為______；
(2)求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．
【答案】(1)14
(2)14
【分析】題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：先列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結果數(shù)m，再找出某事件所占有的可能數(shù)n，然后根據(jù)概率的概念即可得到這個事件的概率=nm．
（1）直接利用概率公式計算可得；
（2）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再利用概率公式可得答案．
【詳解】（1）解：∵有標識為1、2、3、4的四個出入口，
∴甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為14，
故答案為：14；
（2）解：畫樹狀圖如下：
共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動有4種結果，
∴甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率為416=14．
【變式1-5】我校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內(nèi)容．為學生開設五類社團活動（要求每人必須參加且只參加一類活動）音樂社團、體育社團、美術社團、文學社團、電腦編程社團．
(1)小明從中任選一類社團活動，選到“體育社團”的概率是 ；
(2)現(xiàn)從“文學社團”里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名參加演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學的概率．
【答案】(1)15
(2)16
【分析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
（1）直接利用概率公式計算；
（2）先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出恰好選中甲和乙兩名同學的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意：小明從中任選一類社團活動，選到“體育社團”的概率是15；
（2）解：畫樹狀圖為：
共有12種等可能的結果，其中恰好選中甲和乙兩名同學的結果數(shù)為2種，
所以恰好選中甲和乙兩名同學的概率212=16．
【考點題型二 】利用頻率估計概率
【典例2-1】某同學現(xiàn)有一裝有若干個黃球的袋子．為了估計袋子中黃球的數(shù)量，該同學向這袋黃球中放入了30個綠球(所有球除顏色外其余均相同)，搖勻后隨機抓取60個，其中綠球共計10個，則袋子中黃球的數(shù)量約為（ ）
A．200個B．180個C．240個D．150個
【答案】D
【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，設黃球的數(shù)量為x，根據(jù)題意可得3030+x=1060，求出解即可．
【詳解】設黃球的數(shù)量為x，根據(jù)題意得
3030+x=1060
解得x=150．
經(jīng)檢驗是方程的解且符合題意 ，
所以袋子中黃球有150．
故選：D．
【典例2-2】某數(shù)學小組做“用頻率估計概率”的試驗時，統(tǒng)計了某一事件發(fā)生的頻率并繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，該事件最有可能是（ ）
A．擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)大于3
B．一個均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成10份，分別標有1~10這10個數(shù)字，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字是3的倍數(shù)
C．暗箱中有1張紅桃K，1張黑桃K，1張梅花K，3張牌除花色外一模一樣，從中任取1張牌是紅桃 K
D．一個路口的紅綠燈，紅燈時間為30秒，黃燈時間為5秒，綠燈時間為40秒，隨機經(jīng) 過該路口時，遇到紅燈的概率
【答案】C
【分析】本題主要考查概率公式的應用，用頻率估計概率，解答本題的關鍵是求出各事件發(fā)生的概率．根據(jù)統(tǒng)計圖可知發(fā)生的頻率接近13，得出該事件發(fā)生的概率為13，然后逐項進行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)圖象可知：發(fā)生的頻率接近13，即該事件發(fā)生的概率為13；
A．擲一枚均勻的骰子，擲出的點數(shù)大于3的概率為12，故A不符合題意；
B．一個均勻的轉(zhuǎn)盤被等分成10份，分別標有1~10這10個數(shù)字，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指向的數(shù)字是3的倍數(shù)的概率為310，故B不符合題意；
C．暗箱中有1張紅桃K，1張黑桃K，1張梅花K，3張牌除花色外一模一樣，從中任取1張牌是紅桃 K的概率為13，故C符合題意；
D．一個路口的紅綠燈，紅燈時間為30秒，黃燈時間為5秒，綠燈時間為40秒，隨機經(jīng) 過該路口時，遇到紅燈的概率3030+5+40=3075=25，故D不符合題意．
故選：C．
【變式2-1】為考察一種枸杞幼苗的成活率，在同一條件下進行移植試驗，結果如下表所示：
估計這種幼苗移植成活的概率是 （結果精確到0.1）．
【答案】0.9
【分析】本題考查了根據(jù)頻率估計概率，正確理解概率是解題的關鍵，根據(jù)概率定義求解即可．
【詳解】解：由表可得成活的頻率mn在0.9的附近波動，
∴這種幼樹移植成活率的概率為0.9．
故答案是：0.9
【變式2-2】一個袋子中有黑球、白球共10個，這些球除顏色外其余都相同，規(guī)定：每次只能從袋子里摸一個球出來，看過顏色后必須放回去．小明同學按規(guī)定摸出一個球．記錄顏色，放回去，重復該步驟2000次．最終記錄結果為黑球620次，白球1380次．由此可以估計．袋子里有 個白球．
【答案】7
【分析】本題考查了可能性的大?。豪脤嶒灥姆椒ㄟM行概率估算．當實驗次數(shù)非常大時，實驗頻率可作為事件發(fā)生的概率的估計值，即大量實驗頻率穩(wěn)定于理論概率．先計算出到白球的頻率為0.7，利用頻率估計概率，則摸到白球的概率為0.7，然后利用概率公式計算出口袋中白球的個數(shù)即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，摸到白球的頻率為13802000=69100=0.69≈0.7，
估計摸到白球的概率約為0.7，
所以口袋中白球的個數(shù)為0.7×10=7（個），
即袋子里有7個白球的可能性最大．
故答案為：7
【變式2-3】在一個不透明的暗箱中裝有紅、黃、藍三種除顏色外完全相同的小球，其中紅球5個，黃球7個，藍球a個，隨機摸出一個小球記下顏色后，放回盒子里，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%左右，則a的值約為 ．
【答案】8
【分析】此題是利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．
【詳解】解：由題意可得：
55+7+a×100%=25%
解得，a=8，
經(jīng)檢驗：a=8是原方程的解，且符合題意，
則a的值約為8．
故答案為8．
【變式2-3】老師將本題答案制作了一個二維碼，并打印成面積為20cm2的正方形（如圖所示），為了估計圖中黑色部分的面積，他在紙內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入白色部分的頻率穩(wěn)定在0.4左右，據(jù)此可以估計黑色部分的面積約是 ．
【答案】12cm2
【分析】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．總面積乘以落入黑色部分的頻率穩(wěn)定值即可．
【詳解】解：估計黑色部分的面積約為20×1?0.4=12cm2，
故答案為：12cm2．
【考點題型三】正投影
【典例3-1】某同學身高140cm，那么這名同學的正投影的長（ ）．
A．小于140cmB．等于140cmC．大于140cmD．小于或等于140cm
【答案】D
【分析】本題考查了正投影的定義，在物體的平行投影中，投影線垂直于投影面，則該平行投影稱為正投影，分兩種情況：當投影線垂直于地面時，當投影線平行于地面時，即可得出答案，熟練掌握正投影的定義是解此題的關鍵．
【詳解】解：當投影線垂直于地面時，此時這名同學的正投影的長為小于140cm，
當投影線平行于地面時，此時這名同學的正投影的長為等于140cm，
綜上所述，某同學身高140cm，那么這名同學的正投影的長小于或等于140cm，
故選：D．
【典例3-2】物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關．一個三角板的正投影不可能是（ ）
A．一條線段B．一個與原三角板全等的三角形
C．一個等腰三角形D．一個小圓點
【答案】D
【分析】由三角板所在的平面與投影光線的關系逐一分析可得答案．
【詳解】解：當三角板所在的平面與投影光線平行時，可得投影是一條線段，故A不符合題意；
當三角板所在的平面與投影光線垂直時，可得投影是一個與原三角板全等的三角板，故B不符合題意；
當三角板所在的平面與投影光線成一定的角度時，可得投影是一個變形的三角板，可能為等腰三角形，不可能是一個點，故C不符合題意；D符合題意；
故選D
【點睛】本題考查的是投影的含義，理解物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關是解本題的關鍵．
【變式3-1】一個正五棱柱如下圖擺放，光線由上到下照射此正五棱柱時的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】正投影即投影線垂直于頂面產(chǎn)生的投影，據(jù)此直接選擇即可．
【詳解】光線由上向下照射，此正五棱柱的正投影是
故選：B．
【點睛】此題考查平行投影，解題關鍵此五棱柱的正投影與頂面的形狀大小完全相同．
【變式3-2】一個矩形木框在地面上形成的投影不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)投影的特點進行判斷即可．
【詳解】解：一個矩形木框在地面上形成的投影可能是一條線段、一個矩形、一個平行四邊形，而不可能是一個梯形，故A符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了投影與視圖，解題的關鍵是熟練掌握投影的特點．
【變式3-3】把一個正六棱柱如圖水平放置，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正投影的特點及圖中正六棱柱的擺放位置即可直接得出答案．
【詳解】解：把一個正六棱柱如圖擺放，一束水平方向的平行光線照射此正六棱柱時的正投影是矩形．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正投影的性質(zhì)，一個幾何體在一個平面上的正投影是一個平面圖形．
【變式3-4】如圖，若投影線的方向如箭頭所示，則圖中物體的正投影是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正投影的定義，得出圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，即可求解．
【詳解】解：觀察圖中的兩個立體圖形，圓柱的正投影為長方形，正方體的正投影為正方形，
故選：C．
【點睛】本題考查了正投影，掌握正投影的定義是解題的關鍵．正投影是指平行投射線垂直于投影面．
【考點題型四】平行投影
【典例4-1】下列四幅圖形中，表示兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行投影的定義判斷即可．本題考查平行投影，解題的關鍵是掌握平行投影的定義．
【詳解】解：這里屬于平行投影，兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是：
故選：A．
【典例4-2】小軍和小文利用陽光下的影于來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為20米，0A的影長OD為24米，小軍的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且OA⊥OD，EF⊥FG．
(1)①圖中陽光下的影子屬于 （填“中心投影”或“平行投影”）②線段AD、線段BC與線段EG之間的位置關系為 ．
(2)已知小軍的身高E為1.8米，求旗桿的高AB．
【答案】(1)①平行投影；②AD∥BC∥EG（或答“平行”）
(2)旗桿AB的長為3米
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關鍵掌握相似三角形的判定．
（1）根據(jù)平行投影和中心投影的定義即可做出判斷．
（2）證明△AOD～△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC～△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．
【詳解】（1）①根據(jù)題意可知是平行投影；
②AD∥BC∥EG（或答“平行”）；
故答案為：①平行投影；②AD∥BC∥EG（或答“平行”）．
（2）∵OA⊥OD，EF⊥FG，
∴∠AOD＝∠EFG＝90°，
∵AD∥EG，
∴∠D=∠G，
∴△AOD～△EFG，
∴OAEF=ODFG，
∴OA1.8=242.4．
∴OA=18
CD=OD?OC=4，
∵AD∥BC，
∴ABOA=CDOD，
∴AB18=424，
∴AB=3（米），
所以，旗桿AB的長為3米，
【變式4-1】小紅同學在校運會的第一天下午先參加了200米的比賽，一小時后再參加了400米的比賽，攝影老師在同一個位置拍攝了她參加這兩場比賽的照片（如圖），其中她參加400米比賽的照片是 （填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【分析】本題考查平行投影的特點和規(guī)律．在不同時刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同，不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西-西北-北-東北-東，影長由長變短，再變長．在不同時刻，同一物體在太陽光下形成的影子的大小和方向不同，依此進行分析．
【詳解】解：∵太陽光線是平行光線，
∴下午的影子隨時間的變化，由短變長，
∴她參加400米比賽的照片是甲．
故答案為：甲．
【變式4-2】在陽光下，身高1.6米的小明在地面上的影長為0.4米，同一時刻旗桿的影長為3米，則旗桿的高度為 米．
【答案】12
【分析】本題考查平行投影，根據(jù)同一時刻，同一地點，物高與影長對應成比例，進行求解即可．
【詳解】解：設旗桿的高度為x米，由題意，得：，
解得：x=12；
故答案為：12．
【變式4-3】古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長32米，它的影長FD是3米，同一時測得OA是274米，則金字塔的高度BO是 米．
【答案】137
【分析】本題考查平行投影，根據(jù)同一時刻，物高與影長對應成比例，列出比例式進行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：EFFD=OBOA，
即：323=OB274，
∴OB=137；
故答案為：137．
【變式4-4】某學校旁有一根電線桿AB和一塊長方形廣告牌，有一天小明發(fā)現(xiàn)在太陽光照射下，電線桿頂端A的影子剛好落在長方形廣告牌的上邊中點G處，而長方形廣告牌的影子剛好落在地面上E點（如圖），已知BC=5米，長方形廣告牌的長HF=4米，高HC=3米，DE=4米，則電線桿AB的高度是 米．
【答案】334/814/8.25
【分析】此題考查的平行投影，相似三角形的應用舉例，在平行光線下，不同時刻，同一物體的影子長度不同；同一時刻，不同物體的影子長度與它們本身的高度成比例．過點G作GQ⊥BE于點Q，GP⊥AB于點P，得出四邊形BQGP是矩形，由題意得△APG∽△FDE，然后根據(jù)實際高度和影長成正比例列式，求解即可．
【詳解】如圖， 過點G作GQ⊥BE于點Q，GP⊥AB于點P，
根據(jù)題意得出，四邊形BQGP是矩形，BP=GQ=3米，
根據(jù)實際高度和影長成正比例，得出△APG∽△FDE，
∴APDF=PGDE，
∴AP3=5+24，
∴AP=214，
∴AB=214+3=334米．
故答案為：334．
【變式4-5】【基礎解答】如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱．AB=6m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=2m，DE在陽光下的投影長為3m．根據(jù)題中信息，求立柱DE的長．

【拓展拔高】如圖，古樹AB在陽光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，還有一部分影子在建筑物的墻上，墻上的影高CD為1m，同一時刻，豎直于地面上的1m長的竹竿，影長為2m，求這棵古樹AB的高．

【答案】立柱DE=9m，古樹AB=3m．
【分析】本題主要考查了投影的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，
基礎解答：根據(jù)太陽光投影中，光線都是平行的，即可得DF∥AC，據(jù)此判定△ABC∽△DEF，問題隨之得解；
拓展拔高：畫出圖形，根據(jù)光線都是平行的，根據(jù)“基礎解答”的方法，同理可得：△ABG∽△MNH，△DCG∽△MNH，問題隨之得解．
【詳解】基礎解答
如圖，

∵DF∥AC，
∴∠ACB=∠DFE，
又∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴ABBC=DEEF，
∵AB=6m，BC=2m，EF=3m，
∴62=DE3
解得：DE=9m；
拓展拔高
如圖，

根據(jù)題意有：BC=4m，CD=1m，MN=1m，NH=2m，
根據(jù)【基礎解答】，同理可得：△ABG∽△MNH，△DCG∽△MNH，
∴ABBG=MNNH，CDCG=MNNH，
即有：AB4+CG=12，1CG=12，
解得：CG=2，
即有AB=3（m），
即古樹AB=3m．
【考點題型五】中心投影
【典例5-1】如圖，晚上小明在路燈下沿路從A處徑直走到B處，這一過程中他在地上的影子（ ）
A．一直都在變短B．先變短后變長C．一直都在變長D．先變長后變短
【答案】B
【分析】本題考查了中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影．根據(jù)中心投影的特征可得小亮在地上的影子先變短后變長．
【詳解】解：在小亮從A處徑直走到路燈下時，他在地上的影子逐漸變短；當他走到路燈下，再走到B處時，他在地上的影子逐漸變長，
∴小亮在地上的影子先變短后邊長，
故選：B．
【典例5-2】如圖，一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB:BB1=2:3，則△A1B1C1的面積是（ ）
A．90 cm2B．135 cm2C．150 cm2D．375 cm2
【答案】D
【詳解】解：∵一塊面積為60 cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，OB:BB1=2:3，
∴OBOB1=25，
∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5，
∵三角形硬紙板的面積為60 cm2，
∴S△ABCS△A1B1C1=252=425，
∴△A1B1C1的面積為375 cm2．
故選：D．
【變式5-1】如圖，在直角坐標系中，點P2，2 是一個光源．木桿AB 兩端的坐標分別為0，1、3，1 ．則木桿AB 在x軸上的投影長為（ ）

A．3B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中心投影；利用中心投影，延長PA、PB分別交x軸于A′，B′，作PE⊥x軸于E，交AB于D，如圖，證明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出A′B′的長．
【詳解】解：延長PA、PB 分別交x軸于A′，B′ ，作PE⊥x 軸于E，交AB于D，如圖

∵P2,2，A0,1，B3,1 ．
∴PD=1，PE=2，AB=3，
∵AB∥A′B′ ，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA′B′=ADAE，即3A′B′=12
∴A′B′=6，
故選：C．
【變式5-2】手影游戲利用的物理原理是：光是沿直線傳播的，圖1中小狗手影就是我們小時候常玩的游戲．在一次游戲中，小明距離墻壁4米，爸爸拿著的光源與小明的距離為2米，如圖2所示．若在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒t光源與小明的距離應（ ）
A．增加0.5米B．增加1米C．增加2米D．減少1米
【答案】C
【分析】本題考查了中心投影、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題是關鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應邊成比例列出方程，建立適當?shù)臄?shù)學模型來解答問題，根據(jù)題意作出圖形，然后利用相似三角形的性質(zhì)構建方程求解即可．
【詳解】解：如圖：點O為光源，AB為小明的手，CD表示小狗手影，則AB∥CD，作OE⊥AB，延長OE交CD于F，則OF⊥CD，
，∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=OEOF，
∵OE=2米，OF=6米，
∴ABCD=OEOF=26=13，
令AB=k，則CD=3k，
∵在光源不動的情況下，要使小狗手影的高度變?yōu)樵瓉淼囊话耄鐖D，
，
即AB=k，C′D′=32k，△OAB∽△OC′D′，
∴ABC′D′=OE′OF′=k32k=23，則OE′6=23，
∴OE′=4米，
∴光源與小明的距離應增加4?2=2米，
故選：C．
【變式5-3】下列各種現(xiàn)象屬于中心投影現(xiàn)象的是（ ）
A．中午烈日下用來乘涼的樹影B．上午陽光下人走在路上的影子
C．晚上人走在路燈下的影子D．早上太陽下升旗時地面上旗桿的影子
【答案】C
【分析】本題考查了中心投影的性質(zhì)，根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到是燈光的光源即可，解題的關鍵是理解中心投影的形成光源為燈光．
【詳解】解：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，在各選項中只有C選項得到的投影為中心投影，
故選：C．
【變式5-4】綜合與實踐．
現(xiàn)實生活中，人們可以借助光源來測量物體的高度．首先根據(jù)光源確定人在地面上的影子；再測量出相關數(shù)據(jù)，如高度，影長等；最后利用相似三角形的相關知識，可求出所需要的數(shù)據(jù)．已知燈柱AB，在燈柱AB上有一盞路燈 P，在路燈下，人站在點 D和點 G的位置都有影子，B、D、G三點在同一水平線上．根據(jù)上述內(nèi)容，解答下列問題：
(1)已知人站在點D時路燈下的影子為DE，請畫出路燈P及人站在點 G時路燈下的影子GH；
(2)如圖， 若身高為1.7米的小明站在點D影長DE為3m， 沿BD方向走5m到點 G， DG=5m， 此時影長GH為4m， 求路燈 P到地面的高度PB；
【答案】(1)見解析
(2)路燈P離地面的高度為10.2m
【分析】本題主要考查了相似三角形的應用以及中心投影的性質(zhì)：
（1）利用中心投影的性質(zhì)進而得出P點和H點位置；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△EPB∽△ECD，同理可得△HFG∽△HPB，進而得出答案．
【詳解】（1）解：如圖所示，點P、線段GH即為所求，
延長EC于點P，找到路燈 P 的位置，連接PF并延長，交射線BD于點H，即為人FG在路燈下的影子．
（2）解：∵CD∥AB，
∴△EPB∽△ECD，
∴CDPB=DEBE，即 1.7PB=33+BD ①
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HPB，
∴FGPB=HGHB， 即 1.7PB=44+5+BD ②
由①②得 33+BD=44+5+BD，
解得BD=15
∴1.7PB=33+15，
解得PB=10.2．
答：路燈P離地面的高度為10.2m．
【考點題型六】幾何體的視圖
【典例6】如圖幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖．找到從上面看所得到的圖形即可．
【詳解】解：這個組合體的俯視圖是兩個同心圓．
故選：B．
【變式6-1】從各個不同的方向觀察如圖所示的實物幾何體，看到的主視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖， 根據(jù)正視圖是從前面向后看求解即可．
【詳解】解：從前向后看，左邊一列有上下兩塊小正方形，右邊一列只有下面一個小正方形．
故選：C．
【變式6-2】如圖，該幾何體的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查的是三視圖，俯視圖，從上面看到的平面圖形，注意能看到的棱都要畫成實線，不能看到的線畫成虛線．
【詳解】解：從上面看這個幾何體看到的是三個長方形，
所以俯視圖是：
故選C
【變式6-3】如圖，是有一塊馬蹄形磁鐵和一塊條形磁鐵構成的幾何體，該幾何體的左視圖是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】左視圖是從左邊看得出的圖形，結合所給圖形及選項即可得出答案．
【詳解】該幾何體的左視圖如圖所示：
故選：D．
【點睛】此題考查了簡單幾何體的三視圖，解答本題的關鍵是掌握左視圖的觀察位置．注意：被遮擋的線條需要用虛線表示．
【變式6-4】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題主要考查由三視圖判斷幾何體．根據(jù)三視圖的定義即可判斷．
【詳解】解：根據(jù)三視圖的形狀，結合三視圖的定義以及幾何體的形狀特征可得該幾何體為D選項．
故選：D．

【考點題型七】由三視圖判斷幾何體
【典例7】如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（ ）
A．長方體 B．三棱柱C．四棱錐D．圓柱
【答案】A
【分析】本題考查了根據(jù)幾何體的三視圖還原幾何體．熟練掌握根據(jù)幾何體的三視圖還原幾何體是解題的關鍵．
由三視圖可知，這個幾何體是長方體，然后作答即可．
【詳解】解：由三視圖可知，這個幾何體是長方體，
故選：A．
【變式7-1】某幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體，掌握各種幾何體的特征是解題的關鍵．根據(jù)該幾何體的主視圖和俯視圖，結合四個選項的幾何體判斷即可．
【詳解】解：A．該幾何體的主視圖的上層是三角形，選項A的幾何體的上層是矩形，故本選項不符合題意；
B．該幾何體的俯視圖是同心圓，選項B的俯視圖不是同心圓，故本選項不符合題意；
C．該幾何體的俯視圖是一個圓（帶圓心），故本選項不符合題意；
D．該幾何體的主視圖和俯視圖符合題意，故本選項符合題意．
故選：D
【變式7-2】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了由幾何體的三視圖還原幾何體．根據(jù)三視圖逐項判定即可．
【詳解】解：由題意知，該幾何體分上下兩層，上層為圓柱，下層為長方體，故選項A，B，D均不符合題意，則該幾何體如下；

故選：C．
【考點題型八】作圖-三視圖
【典例8】如圖，以下是由大小形狀相同的正方體組成的立體圖形．
(1)請在網(wǎng)格中畫出該立體圖形的三視圖；
(2)現(xiàn)量得小正方體的棱長為3cm，現(xiàn)在要給該立體圖形表面涂色（不含底面），求涂上顏色部分的總面積．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)216cm2
【分析】本題主要考查了三視圖，視圖中每一個閉合的線框都表示物體上的一個平面，而相連的兩個閉合線框常不在一個平面上．
1分別畫出從正面看、左面看、上面看的圖形，注意所看到的棱都要表示到三視圖中；
2從三個方向考慮求面積即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
；
（2）涂上顏色部分的總面積為：3×3×5+3×3×16+3×3×3=216cm2，
答：涂上顏色部分的總面積為216cm2．
【變式8-1】一個幾何體的三種視圖如圖所示，
（1）這個幾何體的名稱是______，其側(cè)面積為______；
（2）在右面方格圖中畫出它的一種表面展開圖；
（3）求出左視圖中AB的長．
【答案】（1）正三棱柱，72；（2）畫圖見解析；（3）23
【分析】（1）由三視圖所表現(xiàn)特征可知幾何體為正三棱柱，正三棱柱側(cè)面積為三個矩形，則側(cè)面積為72．
（2）如圖所示，答案不唯一．
（3）△EFG中過E點作FG垂線，垂足為H，可求得FH=2，再由勾股定理即可求得FH=23．
【詳解】（1）該幾何體由主視圖和左視圖可判斷為棱柱，由俯視圖可判斷為正三棱柱
S側(cè)=3×4×6=72
（2）如圖所示
（3）如圖所示，△EFG中過E點作FG垂線，垂足為H
∵△EFG為等邊三角形
∴FH=2，∠EHF=∠EHG=90°
∴EH=EF2?FH2=42?22=23
【點睛】本題考查了三視圖以及勾股定理，三視圖是從正面、左面、上面以平行視線觀察物體所得的圖形，判斷三視圖時應結合實物，變換角度去觀察，結合空間想象能力，由三視圖求幾何體的側(cè)面積或表面積時，首先要根據(jù)三視圖描述幾何體，再根據(jù)三視圖“長對正、高平齊、寬相等”的關系和輪廓線的位置確定各個面的尺寸，然后求表面積或側(cè)面積．
【變式8-2】如圖是用10個棱長是1cm，大小相同的小正方體搭成的幾何體．
(1)請你畫出該幾何體的三種視圖（不要涂成陰影）．
(2)這個幾何體的表面積是 cm2（包含底部）；
(3)如果要保證俯視圖和左視圖不變，最多可以增加 個小正方體；
(4)如果要保證三個視圖都不變，最多可以增加 個小正方體．
【答案】(1)畫圖見解析
(2)36
(3)4
(4)1
【分析】本題主要考查簡單幾何題的三視圖的畫法，熟練掌握主視圖、左視圖、俯視圖的畫法是解題的關鍵．
（1）根據(jù)三視圖的概念求解即可；
（2）直接利用三視圖分別乘以2求解即可；
（3）根據(jù)俯視圖和左視圖求解即可；
（4）根據(jù)主視圖，俯視圖和左視圖求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，
（2）解：∵小正方體的棱長是1cm，
∴6+6+6×2=36cm2
這個幾何體的表面積是36cm2；
（3）解：要使俯視圖和左視圖不變，
即在主視圖的的上面加放小立方體，
故最多可加4個；
（4）解：要使主視圖，俯視圖和左視圖不變，
只能最下面一層的中間小正方體上增加1個小正方體
故最多可加1個．
男1
男2
女1
女2
男1
男1男2
男1女1
男1女2
男2
男2男1
男2女1
男2女2
女1
女1男1
女1男2
女1女2
女2
女2男1
女2男2
女2女1
男1
男2
女
男1
男1，男2
男1，女
男2
男2，男1
男2，女
女
女，男1
女，男2
1
2
3
4
5
6
1
1，2
1，3
1，4
1，5
1，6
2
2，1
2，3
2，4
2，5
2，6
3
3，1
3，2
3，4
3，5
3，6
4
4，1
4，2
4，3
4，5
4，6
5
5，1
5，2
5，3
5，4
5，6
6
6，1
6，2
6，3
6，4
6，5
移植總數(shù)n
40
150
300
500
700
1000
1500
成活數(shù)m
35
134
271
451
631
899
1350
成活的頻率mn
0.875
0.893
0.903
0.902
0.901
0.899
0.900

相關試卷

清單04 圖形的相似（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版）：

這是一份清單04 圖形的相似（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版），共40頁。

清單02 一元二次方程（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版）：

這是一份清單02 一元二次方程（12個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版），共35頁。

清單01 特殊平行四邊形（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版）：

這是一份清單01 特殊平行四邊形（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）-2024-2025學年九年級數(shù)學上學期期中考點大串講（北師大版）（解析版），共72頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

清單03 旋轉(zhuǎn)（12個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（人教版）

清單03 旋轉(zhuǎn)（12個考點梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（人教版）
專題03 概率投影和視圖（考點清單）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）

專題03 概率投影和視圖（考點清單）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）
猜題03 概率、投影和視圖（易錯必刷30題7種題型專項訓練）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）

猜題03 概率、投影和視圖（易錯必刷30題7種題型專項訓練）-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）
考點串講03 概率投影和視圖【6大考點】-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）課件PPT

考點串講03 概率投影和視圖【6大考點】-九年級上學期數(shù)學期末考點大串講（北師大版）課件PPT
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部