【清單01】 比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a、b長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a:b=m:n ，或?qū)懗桑?br>2．成比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．
3．比例的基本性質(zhì)：
（1）若a:b=c:d ，則ad=bc；
（2）若a:b=b:c ，則 =ac（b稱為a、c的比例中項(xiàng)）．
【清單02】 黃金分割比
1.黃金分割的定義： 點(diǎn)C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比.
注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值)
【清單03】 平行線分線段成比例
類型1 平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
幾何語(yǔ)言：
圖一
拓展：
.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；
.經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊；

圖二
3）經(jīng)過(guò)梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過(guò)另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。
圖三
類型2 平行線分線段成比例定理
（1）定理1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

圖四 圖五

（2）定理2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例

【清單04】 相似三角形的相關(guān)概念
在和中，如果
我們就說(shuō)與相似，記作
∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.
【清單05】 相似圖形
在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
注意：(1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩 個(gè)圖形是全等；
【清單06】 相似多邊形
相似多邊形的概念：如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說(shuō)它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．
相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比．
【清單07】 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
3．判定方法（3）：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.
判定方法（4）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
注意：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可，對(duì)于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.
【清單08】 相似三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.
性質(zhì)2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.
相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.
注意：要特別注意“對(duì)應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段.
性質(zhì)3：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比
如圖一： ∽，則
由比例性質(zhì)可得：
圖一
性質(zhì)4：相似三角形面積的比等于相似比的平方
如圖二，∽，則分別作出與的高和，則

圖二
注意：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.
【清單09】 射影定理
射影定理：如圖，Rt△ABC，∠C＝90o，CD⊥AB
則，1．CD2＝AD·BD
2．BC2＝BD·AB
AC2＝AD·AB
．
【清單10】 利用相似三角形測(cè)量高度
測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.
注意：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法：
平面鏡測(cè)量法 影子測(cè)量法 手臂測(cè)量法 標(biāo)桿測(cè)量法
【清單11】 位似圖形
1.位似圖形的概念
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．
2. 位似圖形的性質(zhì)
位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；
（2) 位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行.
注意：
（1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未
必能構(gòu)成位似圖形.
（2）位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律:在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.
3. 作位似圖形的步驟
第一步：在原圖上找若干個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并任取一點(diǎn)作為位似中心；
第二步：作位似中心與各關(guān)鍵點(diǎn)連線；
第三步：在連線上取關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使之滿足放縮比例；
第四步：順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn).
注意：
位似中心可以取在多邊形外、多邊形內(nèi)，或多邊形的一邊上、或頂點(diǎn)，下面是位似中心不同的畫(huà)法.

【考點(diǎn)題型一】比例性質(zhì)
【典例1】若ab=32，則aa+b=（ ）
A．13B．23C．35D．53
【答案】C
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)變形即可求解，熟知比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵ab=32，
∴設(shè)a=3k，b=2k，
∴aa+b=3k3k+2k=35，
故選：C．
【變式1-1】已知xy=34，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．xx+y=37B．x?yy=14C．x+3y+4=34D．4x=3y
【答案】B
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)(內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì))是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
根據(jù)比例的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：∵xy=34，∴4x=3y，x?yy=34?1=?14，xy=x+3y+4=34，xx+y=33+4=37.
∴不成立的是B．
故答案為：B．
【變式1-2】若a5=b8，則b?aa等于（ ）
A．35B．53C．85D．58
【答案】A
【分析】本題考查比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)直接計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：∵a5=b8，
設(shè)a=5k,b=8k
∴b?aa=8k?5k5k=35，
故選：A．
【變式1-3】若ab=34，則a+b3a?2b的值為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，用b表示出a是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式用b表示出a，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：∵ab=34，
∴a=34b，
∴ a+b3a?2b=34b+b3×34b?2b=7．
故答案為：7
【考點(diǎn)題型二】比例線段
【典例2-1】若a、b、c、d是成比例線段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求線段d的長(zhǎng)是（ ）．
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】D
【分析】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc)，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．利用比例線段的定理得到3:2=6:d，然后利用比例的性質(zhì)求d即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得a:b=c:d，即3:2=6:d，
所以d=2×63=4(cm)．
故選：D．
【典例2-2】】?jī)汕Ф嗄昵?，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)：如圖，將一條線段AB分割成長(zhǎng)、短兩條線段AP、PB，若短段與長(zhǎng)段的長(zhǎng)度之比等于長(zhǎng)段的長(zhǎng)度與全長(zhǎng)之比，即PBAP=APAB（此時(shí)線段AP叫做線段PB,AB的比例中項(xiàng)）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．若AB=2cm，則BP的長(zhǎng)為 cm．
【答案】3?52
【分析】本題考查了黃金分割的定義；根據(jù)已知線段的比例關(guān)系BPAP=APAB與已知條件AB=2cm，設(shè)AP=x，代入轉(zhuǎn)化一元二次方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)AP=x，
依題意，BPAP=APAB，AB=2cm
∴2?xx=x2
∴x2=4?2x
即x2+2x?4=0
解得：x=5?12或x=?5?12（舍去）
∴BP=AB?AP=2?5?12=3?52
故答案為：3?52．
【變式2-1】下列四組線段中，是成比例線段的一組是（ ）
A．a(chǎn)=1,b=2,c=3,d=4B．a(chǎn)=1,b=2,c=3,d=6
C．a(chǎn)=5,b=6,c=7,d=8D．a(chǎn)=4,b=6,c=6,d=8
【答案】B
【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時(shí)候，要讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進(jìn)行判斷．
根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【詳解】解：A、∵1×4≠2×3，
∴ad≠bc，
∴四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵1×6=2×6，
∴ad=bc，
∴四條線段成比例，故本選項(xiàng)符合題意；
C、∵5×8≠6×7，
∴ad≠bc，
∴四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵4×4≠6×6，
∴ad≠bc，
∴四條線段不成比例，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【變式2-2】如果線段c是a、b的比例中項(xiàng)，且a=4，b=6，則c= ．
【答案】26
【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列式計(jì)算即可．
本題考查了比例中項(xiàng)即c2=ab，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵線段c是a、b的比例中項(xiàng)，
∴c2=ab，
∵a=4，b=6，
∴c2=4×6=24，
解得c=26,c=?26（舍去），
故答案為：26．
【變式2-3】數(shù)學(xué)中，把5?12這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP>BP），若線段AB的長(zhǎng)為8cm，則BP的長(zhǎng)為 cm．
【答案】12?45
【分析】本題考查了黃金分割．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)(AP>BP)，線段AB的長(zhǎng)為8cm，
∴ APAB=5?12，
∴AP=5?12×8=45?4cm，
∴ BP=8?45?4=12?45cm
故答案為：12?45．
【考點(diǎn)題型三】平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用
【典例3】如圖，AD∥BE∥CF，直線m，n與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，則EF的長(zhǎng)為（ ）
A．12.5 B．12C．8D．4
【答案】C
【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理得到比例式，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF，
∴510=4EF，
解得：EF=8，
故選：C．
【變式3-1】如圖，AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么BF的長(zhǎng)為（ ）
A．154B．94C．52D．7
【答案】A
【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，
∴ACAE=BDBF，
即25?2=1.5DF，
解得：BF=154，
故選：A．
【變式3-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D,E,F分別是邊AB,AC,BC上的點(diǎn)，DE∥BC、EF∥AB，若AD:DB=3:5，則CF:CB等于（ ）
A．2:5B．3:8C．3:5D．5:8
【答案】D
【分析】本題考查平行線分線段成比例．由DE∥BC,AD:DB=3:5得AEEC=ADDB=35，故CEAC=58，再根據(jù)EF∥AB得CFBC=CEAC=58．
【詳解】解：∵DE∥BC,AD:DB=3:5
∴AEEC=ADDB=35
∴CEAC=58
∵EF∥AB
∴CFBC=CEAC=58．
故選：D．
【變式3-3】如圖，已知AB∥CD∥EF，AD:AF=3:5，BE=12，那么CE的長(zhǎng)等于（ ）

A．365B．245C．152D．92
【答案】B
【分析】本題主要考查平行線分得的線段成比例的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握這個(gè)定理是解答本題的關(guān)鍵．
由平行關(guān)系得到線段對(duì)應(yīng)成比例，再根據(jù)比例關(guān)系求出CE的長(zhǎng)．
【詳解】∵AB∥CD∥EF
∴ADAF=BCBE，即35=BC12，
∴BC=365，
∴CE=BE?BC=12?365=245．
故選B．
【考點(diǎn)題型四】相似圖形
【典例4】下列圖形中，不是相似圖形的一組是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同但大小不同的圖形，是相似圖形，依次判斷，即可求解，本題考查了相似圖形的識(shí)別，解題的關(guān)鍵是：明確相似圖形的定義．
【詳解】解：
A、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，
B、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，
C、具有相同的形狀，是相似圖形，不符合題意，
D、不具有相同的形狀，不是相似圖形，符合題意，
故選：D．
【變式4-1】下面幾對(duì)圖形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似圖形的形狀相同，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A，B，D三個(gè)選項(xiàng)中的圖形形狀不同，不相似，C選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形形狀相同，相似；
故選：C．
【變式4-2】下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．等邊三角形都是相似三角形B．矩形都是相似圖形
C．各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形D．邊長(zhǎng)相等的菱形都相似
【答案】A
【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，掌握相似多邊形的各邊對(duì)應(yīng)成比例、各角對(duì)應(yīng)相等是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)各邊對(duì)應(yīng)成比例、各角對(duì)應(yīng)相等的多邊形是相似多邊形逐項(xiàng)判斷即可解答．
【詳解】解：A、等邊三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例，等邊三角形都是相似三角形，故A符合題意；
B、矩形的長(zhǎng)和寬不一定對(duì)應(yīng)成比例，矩形不一定都相似，故B不符合題意；
C、多邊形各邊對(duì)應(yīng)成比例，但多邊形的各角不一定對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的多邊形不一定是相似多邊形，故C不符合題意；
D、菱形的各角不一定對(duì)應(yīng)相等，邊長(zhǎng)相等的菱形不一定都相似，故D不符合題意．
故選：A．
【考點(diǎn)題型五】相似多邊形的性質(zhì)
【典例5】如圖，已知五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′相似，且五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′的相似比為3:4，CD=2.4cm，則C′D′的長(zhǎng)為 cm．
【答案】3.2
【分析】題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】∵五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′相似，相似比為3:4，CD=2.4cm
∴CDC′D′=34，即2.4C′D′=34
∴C′D′=3.2cm．
故答案為：3.2．
【變式5-1】如圖，矩形ABCD的邊AB=2，點(diǎn)E、F分別在邊BC、AD上，且四邊形ABEF為正方形．若矩形CDFE與矩形ABCD相似，則AD的長(zhǎng)為 ．

【答案】5+1/1+5
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似圖形的性質(zhì)，先由正方形和矩形的性質(zhì)得到AF=EF=AB=CD=2，再根據(jù)相似圖形的性質(zhì)得到DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形ABEF是正方形，
∴AF=EF=AB=2，
∵四邊形CDFE為矩形，
∴CD=EF=2，
∵矩形CDFE與矩形ABCD相似，
∴DFCD=CDAD，即DF2=2DF+2，
解得DF=5?1或DF=?5?1（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)，DF=5?1是原方程的解，
∴AD=AF+DF=5+1，
故答案為：5+1．
【變式5-2】五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，相似比為1：3，若AB=2，則A′B′= ．
【答案】6
【分析】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟記相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比即為相似比是解本題的關(guān)鍵．利用相似五邊形的對(duì)應(yīng)邊之比等于相似比求解即可．
【詳解】解：∵五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′相似比為1:3．
∴ ABA′B′=13，
∵AB=2，
∴A′B′=6．
故答案為：6

【考點(diǎn)題型六】相似三角形的判定
【典例6】如圖，已知：D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC外部，且∠BAE=∠CAD，∠ACD=∠ADC=∠ADE，DE交AB于點(diǎn)F．
(1)求證：AB=AE；
(2)如果AD=AF，求證：EF2=BF?AB．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
（1）由∠ACD=∠ADC得到AC=AD，根據(jù)“角邊角”推得△ABC≌△AED，即可證得答案；
（2）先證明ABD≌△AEF，得到BD=EF，再證明△BDF∽△BAD，得到BDBA=BFBD，所以BD2=BF?AB，由此即得答案．
【詳解】（1）∵∠ACD=∠ADC，
∵AC=AD，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
∵∠ACD=∠ADE，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
∴AB=AE；
（2）∵AD=AF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴∠DAF=180°?2∠ADF，
∵∠ACD=∠ADC，
∴∠CAD=180°?2∠ADC，
∵∠ADC=∠ADE，
∴∠CAD=∠DAF，
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵AB=AE，
∴△ABD≌△AEF(SAS)，
∴BD=EF，∠BAD=∠EAF，
∵∠B=∠E，∠AFE=∠DFB，
∴∠BDF=∠BAE，
∴∠BDF=∠EAF=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAD，
∴BDBA=BFBD，
∴BD2=BF?AB，
∴EF2=BF?AB．
【變式6-1】如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個(gè)條件，不正確的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．APAB=ABACD．APAB=ACCB
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當(dāng)∠ABP=∠C時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、當(dāng)∠APB=∠ABC時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、當(dāng)APAB=ABAC時(shí)，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)APAB=ACCB時(shí)，無(wú)法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【變式6-2】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AE：點(diǎn)F為線段AE上一點(diǎn)，且∠DFE=∠C．求證：△ADF∽△EAB．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代換可得∠B=∠AFD，再根據(jù)相似三角形的判定即可得證．
【詳解】證明：在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，
∴∠B=∠AFD，
∴△ADF∽△EAB．
【變式6-3】如圖，AC為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC平分∠BCD；點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，∠E=∠ABC．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形．
(2)求證：△ACD∽△BAE．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得∠BCA=∠DCA=∠BAC，BC=BA，從而即可得證；
（2）由菱形的性質(zhì)可得，∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D．則∠D=∠E．由∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，證明三角形相似即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=∠BAC，
∴BC=BA，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D，
∵∠E=∠ABC，
∴∠D=∠E，
∵∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，
∴△ACD∽△ABE．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，菱形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
【考點(diǎn)題型七】相似三角形的性質(zhì)
【典例7】如圖，△ABC∽△EDC，若AC:EC=2:3，AB=6，則DE的長(zhǎng)度是 ．
【答案】9
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，找到對(duì)應(yīng)的邊成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程即可求解．
【詳解】解：∵△ABC∽△EDC，AC:EC=2:3．
∴ ABED=ACEC=BCDC=23，
∴當(dāng)AB=6時(shí)，DE=32×6=9．
故答案為：9
【變式7-1】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，則EF的長(zhǎng)為 ．
【答案】3
【分析】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到EFAE=DEAB，把AB=6，AE=9，DE=2代入，即得EF的值．
【詳解】∵△ABE∽△DEF，
∴EFAE=DEAB，
∵AB=6，AE=9，DE=2，
∴EF=3．
故答案為：3．
【變式7-2】如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知OAA′A=25，若四邊形ABCD的周長(zhǎng)為8，則四邊形A′B′C′D′的周長(zhǎng)為 ．
【答案】28
【分析】本題考查位似圖形，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握位似圖形的性質(zhì)，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)位似的性質(zhì)，得到AB∥A′B′，推出△OAB∽△OA′B′，進(jìn)而求出四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′的相似比，利用周長(zhǎng)比等于相似比，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵OAAA′=25，
∴OAOA′=27，
∵四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是位似圖形，
∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=27，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)：四邊形A′B′C′D′的周長(zhǎng)=2:7，
∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)是8，
∴四邊形A′B′C′D′的周長(zhǎng)為28，
故答案為：28．
【考點(diǎn)題型八】相似三角形的判定和性質(zhì)綜合
【典例8】在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F．
(1)求證：△ABC∽△FCD；
(2)若DE=3，BC=8，求△FCD的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)92
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.：
（1）由DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可證得△ABC∽△FCD；
（2）首先過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．
【詳解】（1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC,
∴BE=CE,
∴∠B=∠DCF,
∵AD=AC,
∴∠FDC=∠ACB,
∴△ABC∽△FCD
（2）解：過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G，如圖，
∵AD=AC,
∴DG=CG,
∴BD:BG=2:3,
∵ED⊥BC,
∴ED∥AG,
∴△BDE∽△BGA,
∴ED:AG=BD:BG=2:3,
∵DE=3，
∴AG=92
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴S△FCDS△ABC=CDBC2=14，
又S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18，
∴S△FCD=14S△ABC=92
【變式8-1】如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．
(1)求證：△ABM∽△EFA；
(2)若AB=8,BM=6，求AE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)253
【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理求出AM，可求出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，即可求出AE的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=8,BM=6，
∴∠B=90°，AD=AB=8，
∴AM=AB2+BM2=10，
∵F是AM的中點(diǎn)，
∴AF=12AM=5，
∵△ABM∽△EFA，
∴BMFA=MAAE，
即65=10AE，
∴AE=253．
【變式8-2】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接BE，AF交于點(diǎn)O，且∠ABE=∠DAF．

(1)求證：AF⊥BE；
(2)若AB=2，AD=3，DF=12BF，求DE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)73
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合同角的余角，求出∠AOE=90°，即可得證；
（2）延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，證明△AFB∽△GFD，得到DGAB=DFBF=12，再證明△ABE∽△DAG，求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵∠ABE=∠DAF，
∴∠AOE=∠BAF+∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴AF⊥BE；
（2）解：延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，

∵矩形ABCD，
∴AB∥CD,∠BAD=∠ADG=90°，
∴△AFB∽△GFD，
∴DGAB=DFBF=12，
∴DG=12AB=1，
∵∠BAD=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAF，
∴△ABE∽△DAG，
∴ABAD=AEDG=23，
∴AE=23DG=23，
∴DE=AD?AE=3?23=73．
【變式8-3】已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，C，E在同一條直線上時(shí)，AE與CD的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；
【問(wèn)題探究】
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，C，E在同一條直線上時(shí)，BE，CD交于點(diǎn)F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求CFBF的值；
【拓展延伸】
（3）如圖3，連接CE，AD，G是線段CE的中點(diǎn)，連接BG，求BGAD的值．
【答案】（1）AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）（2）CFBF=34?26（3）BGAD=12
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，并靈活運(yùn)用．
（1）通過(guò)證明△ABE≌△CBD，即可得出結(jié)論；
（2）先證明△ABE≌△CBDSAS，得出AE=CD，∠CEF=∠BDF，再證明△CEF∽△BDF，則CFBF=CEBD．設(shè)CE=m，則AE=CD=m+2．在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，列出方程，求出m的值，即可解答；
（3）延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F，使BG=FG，連接EF，CF．易證四邊形BEFC是平行四邊形，則BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．通過(guò)證明△ABD≌△FEBSAS，得出AD=BF，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）延長(zhǎng)BC交AE于點(diǎn)P，
∵BE=BD，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC．
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠CDB=90°，
∴∠APD=90°，即AE⊥CD，
故答案為∶ AE=CD（或相等）AE⊥CD（或垂直）；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC=2，
∴AC=AB2+BC2=22+22=2．
∵△BDE是等腰直角三角形，且BE=BD=32，
∴DE=BE2+BD2=322+322=6．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∵BE=BD，∠ABE=∠CBD，AB=BC．
∴ △ABE≌△CBDSAS，
∴AE=CD，∠CEF=∠BDF．
∵∠CFE=∠BFD，
∴∠DCE=∠DBE=90°，△CEF∽△BDF，
∴CFBF=CEBD．
設(shè)CE=m，則AE=CD=m+2．
在Rt△DCE中，由勾股定理，得CE2+CD2=DE2，
即m2+m+22=62，
解得m1=17?1，m2=?17?1（舍去），
∴CE=17?1，
∴CFBF=CEBD=17?132=34?26．
（3）如圖，延長(zhǎng)BG至點(diǎn)F，使BG=FG，連接EF，CF．
∵G是CE的中點(diǎn)，
∴CG=EG．
∴四邊形BEFC是平行四邊形，
∴BC=EF，∠CBE+∠BEF=180°．
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABD+∠CBE=180°，
∴∠ABD=∠BEF．
∵AB=BC，
∴AB=EF，
又∵BD=BE，
∴△ABD≌△FEBSAS，
∴AD=BF．
∵BG=GF，
∴BG=12BF，
∴BG=12AD，
∴BGAD=12．
【考點(diǎn)題型九】相似三角形的應(yīng)用綜合
【典例9】如圖1，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小麗從燈桿的底部B處沿直線前進(jìn)4m到達(dá)D點(diǎn)，在D處測(cè)得自己的影長(zhǎng)DE=1m．小麗身高CD=1.2m．
(1)求燈桿AB的長(zhǎng)；
(2)若小麗從D處繼續(xù)沿直線前進(jìn)4m到達(dá)G處（如圖2），求此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)．
【答案】(1)燈桿AB的高度為6m
(2)此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)是2m
【分析】本題考查了中心投影及相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，本題只要把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出．
（1）根據(jù)題意得出AB∥CD，由平行線得出△EAB∽△ECD，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．
（2）根據(jù)相似三角形△HGF∽△HBA的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，代入相關(guān)數(shù)值解答即可．
【詳解】（1）解：如圖1，根據(jù)題意得：AB∥CD，BE=1+4=5（米)，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ABCD=BEDE，
即AB1.2=51，
解得：AB=6（米)；
答：燈桿AB的高度為6m；
（2）如圖2，根據(jù)題意得：AB∥FG，BE=1+4=5（米)，
∴△HGF∽△HBA，
∴ ABFG=BHGH，
即61.2=8+GHGH，
解得：GH=2（米)；
答：此時(shí)小麗的影長(zhǎng)GH的長(zhǎng)是2m．
【變式9-1】如圖，小華和小康想用標(biāo)桿來(lái)測(cè)量校園中的一棵樹(shù)AB的高，小康在F處豎立了一根標(biāo)桿EF，小華走到C處時(shí)，站立在C處恰好看到標(biāo)桿頂端E和樹(shù)的頂端B在一條直線上，此時(shí)測(cè)得小華的眼睛到地面的距離DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，F(xiàn)A=16米，點(diǎn)C、F、A在一條直線上，CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出樹(shù)AB的高度．．
【答案】樹(shù)AB的高度為8.8米
【分析】過(guò)D作DP⊥AB于P，交EF于N，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)度量是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過(guò)D作DP⊥AB于P，交EF于N，
則DN=CF=2米，AP=DC=1.6米，
DP=AC=CF+AF=18（米)，EN=EF?CD=2.4?1.6=0.8（米)，
由題意得，∠EDN=∠BDP，∠BPD=∠END=90°，
∴△DEN∽△DBP，
∴ BPEN=DPDN，
∴ AB?，
∴AB=8.8（米)，
答：樹(shù)AB的高度為8.8米
【變式9-2】有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=100mm，高AD=60mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上，求加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)．
【答案】37.5mm
【分析】本題主要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程即可求出邊長(zhǎng)．
【詳解】解：∵正方形邊長(zhǎng)QM在BC上，
∴PN∥BC，
∵AD⊥BC，
∴AE⊥PN
∴△APN～△ABC，
∴PNBC=AEAD，
設(shè)ED=x，
則PN=MN=ED=x，
∴x100=60?x60，
∴x=37.5mm，
∴加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為37.5mm．
【變式9-3】如圖所示的是一圓柱形筆筒在燈光P下的投影，已知該筆筒底面圓的直徑BC=6，筆筒的高CD=8，點(diǎn)D在燈光P下的投影為點(diǎn)B，點(diǎn)A在燈光P下的投影為點(diǎn)A′，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BE于點(diǎn)E，CE=4，點(diǎn)A′，B，C，E在同一直線上．
(1)求PE的長(zhǎng)；
(2)求點(diǎn)A′到CD的距離．
【答案】(1)403
(2)21
【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，
（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
解題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．
【詳解】（1）解：∵筆筒的高CD=8，即CD⊥BE，PE⊥BE，
∴CD∥PE，∠BCD=∠BEP=90°，
∴∠BDC=∠BPE，
∴△BCD∽△BEP，
∴CDPE=BCBE，
∵BC=6，CE=4，點(diǎn)A′，B，C，E在同一直線上，
∴8PE=66+4，
∴PE=403
經(jīng)檢驗(yàn)，PE=403是原方程的解且符合題意，
答：PE的長(zhǎng)為403；
（2）根據(jù)題意：AB∥PE，
∴∠A′AB=∠A′PE，∠A′BA=∠A′EP，
∴△A′BA∽△A′EP，
∴ABPE=A′BA′E，
∵筆筒的高CD=8，BC+CE=6+4=10，
∴8403=A'BA'B+10，
解得：A'B=15，
經(jīng)檢驗(yàn)，A'B=15是原方程的解且符合題意，
∴A'C=A'B+BC=15+6=21．
答：點(diǎn)A′到CD的距離為21．
【考點(diǎn)題型十】圖形的位似
【典例10-1】在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A1,2，B1,1，C3,1，以原點(diǎn)O為位似中心，作△ABC的位似圖形△DEF，若△DEF與△ABC的相似比為3:1，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（ ）
A．2,4或?2,?4B．9,3或?9,?3
C．6,2或?6,?2D．7,2
【答案】B
【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或?k．
根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF位似，△DEF與△ABC的相似比為3:1，
∴ △ABC與△DEF的相似比為3:1，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為C3,1，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為3×3,1×3或?3×3,?3×1，
即9,3或?9,?3，
故選：B
【典例10-2】如圖，在△ABC中，A,B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是?1,0，以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，使得△A′B′C的邊長(zhǎng)是△ABC的邊長(zhǎng)的2倍．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)是?3,12，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（ ）
A．3,?1B．4,?1C．5,?2D．6,?1
【答案】A
【分析】本題考查了位似變換、相似三角形的判定及性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握位似變換的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．作BD⊥x軸于D，B′D′⊥x軸于D′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CD′，B′D′的長(zhǎng)，得到點(diǎn)B′的坐標(biāo)．
【詳解】解：作BD⊥x軸于D，B′D′⊥x軸于D′，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是(?1,0) ,點(diǎn)B的坐標(biāo)是?3,12，
∴CD=3?1=2，BD= 12，
∵△ABC的位似圖形為△A′B′C， △A′B′C的邊長(zhǎng)是△ABC的邊長(zhǎng)的2倍
由題意得： △ABC∽△A′B′C ,相似比為1:2，
∴BCB′C=12，
∵BD⊥x軸于D，B′D′⊥x軸于D′，
∴∠BDC=∠B′D′C=90° ,
∵∠BCD=∠B′CD′ ,
∴△BCD∽△B′CD′ ,
∴BDB′D′=CDCD′=BCB′C=12
∴CD′=2×2=4，B′D′=1，
∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為3,?1，
故選：A．
【變式10-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△FDE是位似圖形，則它們位似中心的坐標(biāo)是（ ）．
A．3,1B．4,2C．5,2D．6,0
【答案】C
【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是位似中心，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：如圖，點(diǎn)G為位似中心，則它們位似中心的坐標(biāo)是5,2，
故選：C．
【變式10-2】如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，以下說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．△ABC∽△A′B′C′
B．點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C′三點(diǎn)在同一直線上
C．AB∥A′B′
D．AO:AA′=1:2
【答案】D
【分析】此題考查了位似變換，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC與△A′B′C′是位似圖形，
∴△ABC∽△A′B′C′，A選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；
點(diǎn)C、點(diǎn)O、點(diǎn)C′三點(diǎn)在同一直線上，B選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；
AB∥A′B′，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；
AO:AA′=1:3，D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【變式10-3】如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心，若OA:OD=1:2，則△ABC與△DEF的面積比為（ ）
A．1:2B．1:4C．4:1D．2：1
【答案】B
【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出△ABC與△DEF的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個(gè)三角形是相似三角形、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，OA:OD=1:2，
∴△ABC與△DEF的位似比是1:2．
∴△ABC與△DEF的相似比為1:2，
∴△ABC與△DEF的面積比為1:4，
故選：B．

【考點(diǎn)題型十一】作圖-位似
【典例11】如圖，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B的坐標(biāo)分別為3,1、2,?1．
(1)畫(huà)出△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到的圖形．
(2)在y軸的左側(cè)以O(shè)為位似中心作△OAB的位似三角形OCD，使新圖與原圖的相似比為2:1，并分別寫(xiě)出A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析，D?4,2,C?6,?2
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，位似圖形：
（1）根據(jù)題意找到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，即可；
（2）根據(jù)題意找到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再順次連接，即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，△OA′B′即為所求；
（2）解：如圖所示△OCD即為所求，
D?4,2,C?6,?2．
【變式1-1】如圖，格點(diǎn)圖形中每一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為?3,?1、1,?3；
(2)以點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)出△ABC的位似三角形△A1B1C1，使得△A1B1C1與△ABC相似比為2:1；
(3)將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A2B2C2，請(qǐng)畫(huà)出△A2B2C2．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，畫(huà)位似圖形，畫(huà)旋轉(zhuǎn)圖形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)A、B的坐標(biāo)確定原點(diǎn)的位置以及x、y的軸的位置，然后建立坐標(biāo)系即可；
（2）把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘以2得到A1,B1,C1的坐標(biāo)，再順次連接即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2,B2,C2，再順次連接即可．
【詳解】（1）解：如圖，如圖所示坐標(biāo)系即為所求；
（2）解：如圖所示，△A1B1C1即為所求；

（3）解：如圖，△A2B2C2即為所求．
【變式11-2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,2),B(4,0),C(4,?4)．

(1)畫(huà)出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1．
(2)在y軸右側(cè)畫(huà)出以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)12后得到的△A2B2C2．
【答案】(1)見(jiàn)詳解
(2)見(jiàn)詳解
【分析】本題考查了作作圖?位似變換：畫(huà)位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接下來(lái)根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．也考查了軸對(duì)稱變換．
（1）把A、B、C的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)可得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
（2）把A、B、C的橫縱坐標(biāo)分別乘以12可得到A2、B2、C2的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；
【詳解】（1）解：如圖， △A1B1C1為所作；
（2）如圖， △A2B2C2為所作；

【變式11-3】如圖，△ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A0,4，B2,2，C4,6（正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．
(1)畫(huà)出△ABC向下平移5個(gè)單位得到的△A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫(huà)出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為1:2，直接寫(xiě)出△A2B2C2的面積．
【答案】(1)見(jiàn)詳解，B12,?3
(2)見(jiàn)詳解，S△A2B2C2=32
【分析】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中的平移作圖和位似變換作圖．
（1）將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C依次向下平移5個(gè)單位，即可得A1、B1、C1，再順次連接A1、B1、C1即可得△A1B1C1，寫(xiě)出點(diǎn)B1的坐標(biāo)即可；
（2）將△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C 的橫縱坐標(biāo)分別乘以?12 即可得到A2、B2、C2 ，再順次連接A2、B2、C2即可得△A2B2C2，利用割補(bǔ)法解即可求出△A2B2C2的面積．
平面直角坐標(biāo)系中，將一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都乘以同一個(gè)數(shù)kk≠0，所對(duì)應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，它們的相似比是k．正確的求出A2、B2、C2的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求作的三角形，且B12,?3
（2）如圖，△A2B2C2即為所求作的三角形，
S△A2B2C2=2×2?12×1×1?12×2×1?12×2×1=32 ．

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