第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．在下列集合E到集合F的對(duì)應(yīng)中，不能構(gòu)成E到F的函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．若正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
5．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
6．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“，”的否定為“，”；
②“”是“”的充要條件；
③集合，表示同一集合．
A．0B．1C．2D．3
7．已知函數(shù)，若在區(qū)間I上恒負(fù)，且是減函數(shù)，則區(qū)間I可以是（ ）
A．B．C．D．
8．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202～1261）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱(chēng)為“三斜求積”的方法寫(xiě)在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中．具體的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從隅，開(kāi)平方得積．”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式，就是．現(xiàn)將一根長(zhǎng)為的木條，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為，則該三角形面積的最大值為（ ）．
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．命題“”的否定是“”
C．“”的充要條件是“”
D．“”是“”的必要不充分條件
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域?yàn)镽
B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．6B．C．D．3
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù).若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為 .
13．已知關(guān)于的不等式，若此不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
14．已知關(guān)于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（13分）
設(shè)集合．
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．（15分）
設(shè)，已知集合，.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.
17．（15分）
我市為推動(dòng)美麗鄉(xiāng)村建設(shè)，發(fā)展農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)，鼓勵(lì)農(nóng)產(chǎn)品加工，某食品企業(yè)生產(chǎn)一種飲料，每瓶成本為10元，售價(jià)為15元，月銷(xiāo)售8萬(wàn)瓶.
(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若售價(jià)每提高1元，月銷(xiāo)售量將減少2000瓶，要使月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)（月總利潤(rùn)月銷(xiāo)售總收入月總成本），該飲料每瓶售價(jià)最多為多少元？
(2)為提高月總利潤(rùn)，企業(yè)決定下月進(jìn)行營(yíng)銷(xiāo)策略改革，計(jì)劃每瓶售價(jià)元，并投萬(wàn)元作為營(yíng)銷(xiāo)策略改革費(fèi)用.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每瓶售價(jià)每提高1元，月銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少萬(wàn)瓶，則當(dāng)每瓶售價(jià)為多少時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大？并求出下月最大總利潤(rùn).
18．（17分）
已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
(1)若，求出實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19．（17分）
已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性并用定義證明；
(2)若在區(qū)間上的最大值為．
（i）求實(shí)數(shù)a的值；
（ii）若函數(shù)，是否存在正實(shí)數(shù)b，使得對(duì)區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r，s，t，都存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形？若存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．連城一中2024-2025學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)月考1數(shù)學(xué)試卷
參考答案
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿(mǎn)分：150分 命題人 黃開(kāi)瑋 審題人 羅宏軍）
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．25 13． 14．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（13分）
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，而，因此，
所以或（5分）
（2）由，得，
當(dāng)時(shí)，則，解得，滿(mǎn)足，因此；（9分）
當(dāng)時(shí)，由，得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是（13分）
16．（15分）
【詳解】（1），解得，（2分）
當(dāng)時(shí)，得，（4分）
所以（5分）
（2）若“”是“”的必要不充分條件，所以，（7分）
解方程得或，（9分）
當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意；（11分）
當(dāng)，即時(shí)，，
因?yàn)椋?，解得；?3分）
當(dāng)，即時(shí)，，顯然不滿(mǎn)足題意.
綜上，的取值范圍為（15分）
17．（15分）
【詳解】（1）設(shè)提價(jià)元，由題意知每瓶飲料利潤(rùn)為元，
則月銷(xiāo)量為萬(wàn)瓶，
所以提價(jià)后月總銷(xiāo)售利潤(rùn)為萬(wàn)元，（2分）
因?yàn)樵瓉?lái)月銷(xiāo)售總利潤(rùn)為萬(wàn)元，且要求月總利潤(rùn)不低于原來(lái)的月總利潤(rùn)，
所以，即，解得，
所以售價(jià)最多為元，
故該飲料每瓶售價(jià)最多為元；（5分）
（2）由題意，每瓶利潤(rùn)為元，
月銷(xiāo)售量為萬(wàn)瓶，
設(shè)下月總利潤(rùn)為，，（8分）
整理得：，
，
，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故當(dāng)售價(jià)元時(shí)，下月的月總利潤(rùn)最大為萬(wàn)元（15分）
18．（17分）
【詳解】（1）因?yàn)椋?，?分）
又的兩根分別為，
故，
故；（7分）
（2）因?yàn)?，所以，?分）
又的兩根分別為，
故，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是（17分）
19．（17分）
【詳解】（1）由題意得．
設(shè)且，則，
因?yàn)?，所以，?br>當(dāng)時(shí)，，即.
所以在上單調(diào)遞增；
同理可得，在上單調(diào)遞增.
故在和上單調(diào)遞增（5分）
（2）（i）在區(qū)間上的最大值為．
①當(dāng)時(shí)，同理（1）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，解得（舍去）；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴，解得．
綜上所述，． （9分）
（ii）由（i）知，，且在區(qū)間上單調(diào)遞增．
∴，即，
∴在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br>討論函數(shù)：
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，所以，為增函數(shù)；
∴在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
令，則，∴．
在區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r，s，t，都存在以，，為邊長(zhǎng)的三角形，等價(jià)于，．
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴，
由，即，得，∴；
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，由，即，得，解得，∴；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，由，即，得，解得，∴；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
∴，由，即，解得，∴．
綜上所述，存在實(shí)數(shù)b的取值范圍為．（17分）
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，故選：C.
2．在下列集合E到集合F的對(duì)應(yīng)中，不能構(gòu)成E到F的函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，中的每一個(gè)元素在中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，
顯然A、B、C符合題意，
而D選項(xiàng)中，E中的元素在中有兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義.
故選：D
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】不等式等價(jià)于等價(jià)于，所以，
即，解得或，
故能推出成立，但是成立不一定有，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
4．若正數(shù)，滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【詳解】由正數(shù)，滿(mǎn)足，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故選：B.
5．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以.
故選：A.
6．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“，”的否定為“，”；
②“”是“”的充要條件；
③集合，表示同一集合．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】①全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，命題“，”的否定為“，”，正確；
②且，則，反之，如，但此時(shí)，因此不是充要條件 ，錯(cuò)誤；
③集合，不是同一集合．錯(cuò)誤，
正確的命題只有一個(gè)．
故選：B.
7．已知函數(shù)，若在區(qū)間I上恒負(fù)，且是減函數(shù)，則區(qū)間I可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】函數(shù)，如圖所示：
所以在區(qū)間I上恒負(fù)，且是減函數(shù)，區(qū)間I可以是，.
故選C.
8．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202～1261）獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的由三角形三邊求面積的公式，他把這種稱(chēng)為“三斜求積”的方法寫(xiě)在他的著作《數(shù)書(shū)九章》中．具體的求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上．以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從隅，開(kāi)平方得積．”如果把以上這段文字寫(xiě)成公式，就是．現(xiàn)將一根長(zhǎng)為的木條，截成三段構(gòu)成一個(gè)三角形，若其中有一段的長(zhǎng)度為，則該三角形面積的最大值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】令，則，
代入得，
由基本不等式：所以，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以時(shí)，面積取得最大值．
故選：A．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．命題“”的否定是“”
C．“”的充要條件是“”
D．“”是“”的必要不充分條件
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，，解得，
即，正確；
對(duì)于B，根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題知：
命題“”的否定為：，錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，反之若，則，
所以“”的充要條件是“”，正確；
對(duì)于D，若，則不一定成立，如，但，
反之，若，則，所以“”是“”的必要不充分條件，正確.
故選：ACD.
10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù)的定義域?yàn)镽
B．函數(shù)的值域?yàn)?br>C．
D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
【答案】AC
【詳解】，故定義域?yàn)镽，A正確，
由于，故，故B錯(cuò)誤，
，C正確，
由于在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤，
故選：AC
11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值可以是（ ）
A．3B．C．D．6
【答案】BD
【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，
當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，，fx=2fx-2=2x-22-x-2=2x-24-x，
當(dāng)時(shí)，，fx=2fx-2=4x-2-24-x-2=4x-46-x；
作出函數(shù)的部分圖象如下圖所示：
由類(lèi)周期函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，恒成立；
解方程4x-46-x=3可得或；
又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有，利用圖象可知，
因此選項(xiàng)BD符合題意.
故選：BD
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y＝其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù).若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為 .
【答案】25
【詳解】令y＝60，若4x＝60，則x＝15＞10，不合題意；
若2x＋10＝60，則x＝25，滿(mǎn)足題意；
若1.5x＝60，則x＝40＜100，不合題意.
故該公司擬錄用25人.
故答案為：25.
13．已知關(guān)于的不等式，若此不等式的解集為，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】當(dāng)時(shí)，，與客觀事實(shí)矛盾，
故此時(shí)不等式的解集為，符合；
當(dāng)時(shí)，為一元二次不等式，若此不等式的解集為，
則有，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
14．已知關(guān)于的不等式組的解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解，則的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】由，得或，
所以的解集與或的交集中存在整數(shù)解，且只有一個(gè)整數(shù)解.
當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿(mǎn)足要求；
當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)不滿(mǎn)足題設(shè)；
當(dāng)時(shí)，的解集為，此時(shí)，即，滿(mǎn)足要求.
綜上，的取值范圍為.
故答案為：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
A
B
C
A
9
10
11
ACD
AC
BD

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