1．【2022年全國(guó)甲卷理科10】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP,AQ的斜率之積為14，則C的離心率為（ ）
A．32B．22C．12D．13
2．【2022年全國(guó)乙卷理科05】設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若AF=BF，則AB=（ ）
A．2B．22C．3D．32
3．【2022年全國(guó)乙卷理科11】雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且cs∠F1NF2=35，則C的離心率為（ ）
A．52B．32C．132D．172
4．【2021年全國(guó)甲卷理科5】已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）
A．72B．132C．7D．13
5．【2021年新高考1卷5】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|?|MF2|的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．【2021年全國(guó)乙卷理科11】設(shè)B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．[22,1)B．[12,1)C．(0,22]D．(0,12]
7．【2021年新高考2卷3】拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為2，則p=（ ）
A．1B．2C．22D．4
8．【2020年全國(guó)1卷理科04】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
9．【2020年全國(guó)1卷理科11】已知⊙M：x2+y2?2x?2y?2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為（ ）
A．2x?y?1=0B．2x+y?1=0C．2x?y+1=0D．2x+y+1=0
10．【2020年全國(guó)2卷理科05】若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x?y?3=0的距離為（ ）
A．55B．255C．355D．455
11．【2020年全國(guó)2卷理科08】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
12．【2020年全國(guó)3卷理科05】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2pxp>0交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．14,0B．12,0C．(1,0)D．(2,0)
13．【2020年全國(guó)3卷理科11】設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
14．【2019年新課標(biāo)3理科10】雙曲線C：x24?y22=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為（ ）
A．324B．322C．22D．32
15．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科08】若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝（ ）
A．2B．3C．4D．8
16．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科11】設(shè)F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為（ ）
A．2B．3C．2D．5
17．【2019年新課標(biāo)1理科10】已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）
A．x22+y2＝1B．x23+y22=1
C．x24+y23=1D．x25+y24=1
18．【2018年新課標(biāo)1理科08】設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為23的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM→?FN→=（ ）
A．5B．6C．7D．8
19．【2018年新課標(biāo)1理科11】已知雙曲線C：x23?y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝（ ）
A．32B．3C．23D．4
20．【2018年新課標(biāo)2理科05】雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為3，則其漸近線方程為（ ）
A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x
21．【2018年新課標(biāo)2理科12】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為（ ）
A．23B．12C．13D．14
22．【2018年新課標(biāo)3理科06】直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是（ ）
A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]
23．【2018年新課標(biāo)3理科11】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=6|OP|，則C的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
24．【2017年新課標(biāo)1理科10】已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）
A．16B．14C．12D．10
25．【2017年新課標(biāo)2理科09】若雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為（ ）
A．2B．3C．2D．233
26．【2017年新課標(biāo)3理科05】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1 （a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=52x，且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為（ ）
A．x28?y210=1B．x24?y25=1
C．x25?y24=1D．x24?y23=1
27．【2017年新課標(biāo)3理科10】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab＝0相切，則C的離心率為（ ）
A．63B．33C．23D．13
28．【2016年新課標(biāo)1理科05】已知方程x2m2+n?y23m2?n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（0，3）
29．【2016年新課標(biāo)1理科10】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn)．已知|AB|＝42，|DE|＝25，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．2B．4C．6D．8
30．【2016年新課標(biāo)2理科04】圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（ ）
A．?43B．?34C．3D．2
31．【2016年新課標(biāo)2理科11】已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2?y2b2=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則E的離心率為（ ）
A．2B．32C．3D．2
32．【2016年新課標(biāo)3理科11】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）
A．13B．12C．23D．34
33．【2015年新課標(biāo)1理科05】已知M（x0，y0）是雙曲線C：x22?y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1→?MF2→＜0，則y0的取值范圍是（ ）
A．(?33，33)B．(?36，36)C．(?223，223)D．(?233，233)
34．【2015年新課標(biāo)2理科07】過三點(diǎn)A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝（ ）
A．26B．8C．46D．10
35．【2015年新課標(biāo)2理科11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
36．【2014年新課標(biāo)1理科04】已知F為雙曲線C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（ ）
A．3B．3C．3mD．3m
37．【2014年新課標(biāo)1理科10】已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=4FQ→，則|QF|＝（ ）
A．72B．3C．52D．2
38．【2014年新課標(biāo)2理科10】設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）
A．334B．938C．6332D．94
39．【2013年新課標(biāo)1理科04】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為52，則C的漸近線方程為（ ）
A．y=±14xB．y=±13xC．y＝±xD．y=±12x
40．【2013年新課標(biāo)1理科10】已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則E的方程為（ ）
A．x245+y236=1B．x236+y227=1
C．x227+y218=1D．x218+y29=1
41．【2013年新課標(biāo)2理科11】設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
42．【2022年新高考1卷11】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,?1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為y=?1B．直線AB與C相切
C．|OP|?|OQ|>|OA2D．|BP|?|BQ|>|BA|2
43．【2022年新高考2卷10】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線AB的斜率為26B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．∠OAM+∠OBMn>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為n
C．若mn0，則C是兩條直線
47．【2020年海南卷09】已知曲線C:mx2+ny2=1.（ ）
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為n
C．若mn0，則C是兩條直線
48．【2022年全國(guó)甲卷理科14】若雙曲線y2?x2m2=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2?4y+3=0相切，則m=_________．
49．【2022年全國(guó)乙卷理科14】過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(?1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．
50．【2022年新高考1卷14】寫出與圓x2+y2=1和(x?3)2+(y?4)2=16都相切的一條直線的方程________________．
51．【2022年新高考1卷16】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12．過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|=6，則△ADE的周長(zhǎng)是________________．
52．【2022年新高考2卷15】設(shè)點(diǎn)A(?2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
53．【2022年新高考2卷16】已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|MN|=23，則l的方程為___________．
54．【2021年全國(guó)甲卷理科15】已知F1,F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________．
55．【2021年新高考1卷14】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，則C的準(zhǔn)線方程為______.
56．【2021年全國(guó)乙卷理科13】已知雙曲線C:x2m?y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0，則C的焦距為_________．
57．【2021年新高考2卷13】已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________
58．【2020年全國(guó)1卷理科15】已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.
59．【2020年山東卷13】斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=________．
60．【2020年海南卷13】斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=________．
61．【2019年新課標(biāo)3理科15】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為 ．
62．【2019年新課標(biāo)1理科16】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若F1A→=AB→，F(xiàn)1B→?F2B→=0，則C的離心率為 ．
63．【2018年新課標(biāo)3理科16】已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝
．
64．【2017年新課標(biāo)1理科15】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為 ．
65．【2017年新課標(biāo)2理科16】已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝ ．
66．【2016年新課標(biāo)3理科16】已知直線l：mx+y+3m?3=0與圓x2+y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝23，則|CD|＝ ．
67．【2015年新課標(biāo)1理科14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
68．【2014年新課標(biāo)2理科16】設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是 ．
模擬好題
1．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作C的漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)P，PF1=5a，則C的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
2．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，F(xiàn)1F2為半徑的圓與E交于點(diǎn)P，若tan∠F1PF2=22，則E的離心率為（ ）
A．3B．2C．22D．3
3．已知拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線E的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線E上，若∠PAF=30°，則sin∠PFA=（ ）
A．12B．33C．34D．32
4．已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x軸相交的弦長(zhǎng)為6，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．4B．42C．5D．52
5．已知C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其離心率為52，P為C上一動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過點(diǎn)P的直線l1，l2分別經(jīng)過雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知直線l1的斜率k1∈1,32，則直線l2的斜率k2的取值范圍為（ ）
A．56,54B．815,45C．83,4D．16,14
6．已知P3,4?22，過點(diǎn)P作圓C:x?a2+y?a?12=1（a為參數(shù)，且a∈R）的兩條切線分別切圓C于點(diǎn)A、B，則sin∠APB的最大值為（ ）
A．1B．12C．32D．64
7．橢圓x25+y2=1的左右焦點(diǎn)為F1,F2,Px0,y0x0>0,y0>0為橢圓上一點(diǎn)，直線PF1,PF2分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)直線MN的斜率為?19時(shí)，x0y0=（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．已知雙曲線C:x2?3y2=1的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，P是C在第一象限的圖象上的點(diǎn)，記∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，則（ ）
A．tanα+tanβ+tanγ=0B．tanα+tanβ?tanγ=0
C．3tanα+3tanβ+4tanγ=0D．2tanα+2tanβ+3tanγ=0
9．已知斜率為12的直線l與橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，若C，D恰好是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓E的離心率e為（ ）
A．12B．22C．32D．33
10．已知拋物線：x2=2pyp>0的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，且OA?OB=?3，過拋物線上一點(diǎn)P（非原點(diǎn)）作拋物線的切線，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，PH⊥l．垂足為H．下列命題：
①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y
②△OMN的面積為定值
③M為PN的中點(diǎn)
④四邊形PFNH為菱形
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（ ）
A．①③④B．①④
C．①②③D．②③
11．“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C，其方程為x2+y2=4，y>0x24+y29=1，y≤0．則下列說法正確的是（ ）
A．曲線C包含的封閉圖形內(nèi)部(不含邊界)有11個(gè)整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))
B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值與最小值之和為5
C．若A(0，－5)、B(0，5)，P是曲線C下半部分中半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cs∠APB的最小值為－19
D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A；那么曲線C中下半部分半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓C'：x24+y29=1(?3≤y≤3)后，橢圓C'的蒙日?qǐng)A方程為：x2+y2=13
12．已知直線l過拋物線C:x2=?4y的焦點(diǎn)F，且直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)G，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．yA?yB=4B．以線段AB為直徑的圓與直線y=32相離
C．當(dāng)AF=2FB時(shí)，|AB|=5D．△GAB面積的取值范圍為4,+∞
13．已知橢圓x29+y25=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2=2px(p>0)與橢圓共焦點(diǎn)，若兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則下列說法正確的是（ ）
A．p=4B．PF1+PF2=6
C．PF2=3D．△PF1F2的面積為25
14．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過F的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2B．若|AF|=4，則|OA|=21
C．若|AF|?|BF|=4p2，則l的斜率為±33D．過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，若x軸平分∠HFB，則|AF|=5
15．已知圓O:x2+y2=49，直線l過點(diǎn)N(2,6)，且交圓O于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)M的軌跡是圓B．|PQ|的最小值為6
C．使|PQ|為整數(shù)的直線l共有9條D．使|PQ|為整數(shù)的直線l共有16條
16．如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為O'，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，OE=3．若光線與地面所成角為θ，橢圓的離心率e=__________．
17．已知點(diǎn)F為拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為22，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_________________．
18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足F1F2→?PF2→=0，△PF1F2的面積為32，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q，且PF1→=73F1Q→，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
19．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線y2?x24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F2作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為N，則點(diǎn)N到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是__________．
20．①已知點(diǎn)A3,0，直線l:x=433，動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與到直線l的距離之比為32；
②已知圓C的方程為x2+y2=4，直線l為圓C的切線，記點(diǎn)A3,0，B?3,0到直線l的距離分別為d1，d2，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=d1，PB=d2；
③點(diǎn)S，T分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且ST=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=23OS+13OT；
在①，②，③這三個(gè)條件中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W為橢圓的是______．
21．已知拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A?4,0，點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則sin∠PAFsin∠AFP的最小值為___________．
22．已知圓C:x2+y2?4x+3=0，定點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足以FQ為直徑的圓與y軸相切．過點(diǎn)F的直線l與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E，圓C順次交于A，M，N，B四點(diǎn)．則|AN|+4|BM|的最小值為________．
23．已知焦距為6的雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，其中一條漸近線的斜率為22，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)M為△F1AB的內(nèi)切圓圓心，則S△F1ABS△MAB的最大值為___________.
24．給定曲線族4sinθ?2csθ+6x2?8sinθ+csθ+1y=0，θ為參數(shù)，則這些曲線在直線y=2x上所截得的弦長(zhǎng)的最大值是_____
25．設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為Fc,0，直線l：y=2x?c與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn).若AF=tFBt>0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________.
大數(shù)據(jù)之十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題（新高考卷與新課標(biāo)理科卷）
專題13平面解析幾何選擇填空題
真題匯總命題趨勢(shì)
1．【2022年全國(guó)甲卷理科10】橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP,AQ的斜率之積為14，則C的離心率為（ ）
A．32B．22C．12D．13
【答案】A
【解析】
解：A?a,0，
設(shè)Px1,y1，則Q?x1,y1，
則kAP=y1x1+a,kAQ=y1?x1+a，
故kAP?kAQ=y1x1+a?y1?x1+a=y12?x12+a2=14，
又x12a2+y12b2=1，則y12=b2a2?x12a2，
所以b2a2?x12a2?x12+a2=14，即b2a2=14，
所以橢圓C的離心率e=ca=1?b2a2=32.
故選：A.
2．【2022年全國(guó)乙卷理科05】設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B(3,0)，若AF=BF，則AB=（ ）
A．2B．22C．3D．32
【答案】B
【解析】
由題意得，F(xiàn)1,0，則AF=BF=2，
即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=?1的距離為2，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為?1+2=1，
不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，A1,2，
所以AB=3?12+0?22=22.
故選：B
3．【2022年全國(guó)乙卷理科11】雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過F1作D的切線與C的兩支交于M，N兩點(diǎn)，且cs∠F1NF2=35，則C的離心率為（ ）
A．52B．32C．132D．172
【答案】C
【解析】
解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過F1作圓D的切線切點(diǎn)為G，
所以O(shè)G⊥NF1，因?yàn)閏s∠F1NF2=35>0，所以N在雙曲線的右支，
所以O(shè)G=a，OF1=c，GF1=b，設(shè)∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
由cs∠F1NF2=35，即csα=35，則sinα=45，sinβ=ac，csβ=bc，
在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sinπ?α?β=sinα+β
=sinαcsβ+csαsinβ=45×bc+35×ac=3a+4b5c，
由正弦定理得2csinα=NF2sinβ=NF1sin∠F1F2N=5c2，
所以NF1=5c2sin∠F1F2N=5c2×3a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sinβ=5c2×ac=5a2
又NF1?NF2=3a+4b2?5a2=4b?2a2=2a，
所以2b=3a，即ba=32，
所以雙曲線的離心率e=ca=1+b2a2=132
故選：C
4．【2021年全國(guó)甲卷理科5】已知F1,F2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為（ ）
A．72B．132C．7D．13
【答案】A
因?yàn)閨PF1|=3|PF2|，由雙曲線的定義可得|PF1|?|PF2|=2|PF2|=2a，
所以|PF2|=a，|PF1|=3a；
因?yàn)椤螰1PF2=60°,由余弦定理可得4c2=9a2+a2?2×3a?a?cs60°，
整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=72.
故選：A
5．【2021年新高考1卷5】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則|MF1|?|MF2|的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
由題，a2=9,b2=4，則|MF1|+|MF2|=2a=6，
所以|MF1|?|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9（當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
6．【2021年全國(guó)乙卷理科11】設(shè)B是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|PB|≤2b，則C的離心率的取值范圍是（ ）
A．[22,1)B．[12,1)C．(0,22]D．(0,12]
【答案】C
設(shè)P(x0,y0)，由B(0,b)，因?yàn)閤02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以
|PB|2=x02+(y0?b)2=a2(1?y02b2)+(y0?b)2=?c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，
因?yàn)?b≤y0≤b，當(dāng)?b3c2≤?b，即b2≥c2時(shí)，|PB|max2=4b2，即|PB|max=2b，符合題意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0?b，即b20)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為2，則p=（ ）
A．1B．2C．22D．4
【答案】B
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(p2,0)，
其到直線x?y+1=0的距離：d=|p2?0+1|1+1=2，
解得：p=2(p=?6舍去).
故選：B.
8．【2020年全國(guó)1卷理科04】已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A到C的焦點(diǎn)的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】
設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知|AF|=xA+p2=12，即12=9+p2，解得p=6.
故選：C.
9．【2020年全國(guó)1卷理科11】已知⊙M：x2+y2?2x?2y?2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，當(dāng)|PM|?|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為（ ）
A．2x?y?1=0B．2x+y?1=0C．2x?y+1=0D．2x+y+1=0
【答案】D
【解析】
圓的方程可化為x?12+y?12=4，點(diǎn)M到直線l的距離為d=2×1+1+222+12=5>2，所以直線l與圓相離．
依圓的知識(shí)可知，四點(diǎn)A,P,B,M四點(diǎn)共圓，且AB⊥MP，所以PM?AB=2S△PAM=2×12×PA×AM=2PA，而PA=MP2?4，
當(dāng)直線MP⊥l時(shí)，MPmin=5，PAmin=1，此時(shí)PM?AB最?。?br>∴MP:y?1=12x?1即y=12x+12，由y=12x+122x+y+2=0解得，x=?1y=0．
所以以MP為直徑的圓的方程為x?1x+1+yy?1=0，即x2+y2?y?1=0，
兩圓的方程相減可得：2x+y+1=0，即為直線AB的方程．
故選：D.
10．【2020年全國(guó)2卷理科05】若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2x?y?3=0的距離為（ ）
A．55B．255C．355D．455
【答案】B
【解析】
由于圓上的點(diǎn)2,1在第一象限，若圓心不在第一象限，
則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，
設(shè)圓心的坐標(biāo)為a,a，則圓的半徑為a，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?a2+y?a2=a2.
由題意可得2?a2+1?a2=a2，
可得a2?6a+5=0，解得a=1或a=5，
所以圓心的坐標(biāo)為1,1或5,5，
圓心到直線2x?y?3=0的距離均為d=?25=255；
所以，圓心到直線2x?y?3=0的距離為255.
故選：B.
11．【2020年全國(guó)2卷理科08】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D,E兩點(diǎn)，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【解析】
∵C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，
∴雙曲線的漸近線方程是y=±bax
∵直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)
不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限
聯(lián)立x=ay=bax，解得x=ay=b
故D(a,b)
聯(lián)立x=ay=?bax，解得x=ay=?b
故E(a,?b)
∴|ED|=2b，
∴△ODE面積為：S△ODE=12a×2b=ab=8
∵雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)
∴其焦距為2c=2a2+b2≥22ab=216=8
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22取等號(hào)
∴C的焦距的最小值：8
故選：B.
12．【2020年全國(guó)3卷理科05】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=2與拋物線C：y2=2pxp>0交于D，E兩點(diǎn)，若OD⊥OE，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．14,0B．12,0C．(1,0)D．(2,0)
【答案】B
【解析】
因?yàn)橹本€x=2與拋物線y2=2px(p>0)交于E,D兩點(diǎn)，且OD⊥OE，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可以確定∠DOx=∠EOx=π4，所以D2,2，
代入拋物線方程4=4p，求得p=1，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(12,0)，
故選：B.
13．【2020年全國(guó)3卷理科11】設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為5．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【解析】
∵ca=5，∴c=5a，根據(jù)雙曲線的定義可得PF1?PF2=2a，
S△PF1F2=12|PF1|?PF2=4，即|PF1|?PF2=8，
∵F1P⊥F2P，∴|PF1|2+PF22=2c2，
∴PF1?PF22+2PF1?PF2=4c2，即a2?5a2+4=0，解得a=1，
故選：A.
14．【2019年新課標(biāo)3理科10】雙曲線C：x24?y22=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為（ ）
A．324B．322C．22D．32
【答案】解：雙曲線C：x24?y22=1的右焦點(diǎn)為F（6，0），漸近線方程為：y=±22x，不妨P在第一象限，
可得tan∠POF=22，P（62，32），
所以△PFO的面積為：12×6×32=324．
故選：A．
15．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科08】若拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)是橢圓x23p+y2p=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】解：由題意可得：3p﹣p＝（p2）2，解得p＝8．
故選：D．
16．【2019年全國(guó)新課標(biāo)2理科11】設(shè)F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為（ ）
A．2B．3C．2D．5
【答案】解：如圖，
由題意，把x=c2代入x2+y2＝a2，得PQ=2a2?c24，
再由|PQ|＝|OF|，得2a2?c24=c，即2a2＝c2，
∴c2a2=2，解得e=ca=2．
故選：A．
17．【2019年新課標(biāo)1理科10】已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為（ ）
A．x22+y2＝1B．x23+y22=1
C．x24+y23=1D．x25+y24=1
【答案】解：∵|AF2|＝2|BF2|，∴|AB|＝3|BF2|，
又|AB|＝|BF1|，∴|BF1|＝3|BF2|，
又|BF1|+|BF2|＝2a，∴|BF2|=a2，
∴|AF2|＝a，|BF1|=32a，
在Rt△AF2O中，cs∠AF2O=1a，
在△BF1F2中，由余弦定理可得cs∠BF2F1=4+(a2)2?(32a)22×2×a2，
根據(jù)cs∠AF2O+cs∠BF2F1＝0，可得1a+4?2a22a=0，解得a2＝3，∴a=3．
b2＝a2﹣c2＝3﹣1＝2．
所以橢圓C的方程為：x23+y22=1．
故選：B．
18．【2018年新課標(biāo)1理科08】設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為23的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FM→?FN→=（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】解：拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），過點(diǎn)（﹣2，0）且斜率為23的直線為：3y＝2x+4，
聯(lián)立直線與拋物線C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），F(xiàn)M→=(0，2)，F(xiàn)N→=(3，4)．
則FM→?FN→=（0，2）?（3，4）＝8．
故選：D．
19．【2018年新課標(biāo)1理科11】已知雙曲線C：x23?y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝（ ）
A．32B．3C．23D．4
【答案】解：雙曲線C：x23?y2＝1的漸近線方程為：y=±33x，漸近線的夾角為：60°，不妨設(shè)過F（2，0）的直線為：y=3(x?2)，
則：y=?33xy=3(x?2)解得M（32，?32），
y=33xy=3(x?2)解得：N（3，3），
則|MN|=(3?32)2+(3+32)2=3．
故選：B．
20．【2018年新課標(biāo)2理科05】雙曲線x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為3，則其漸近線方程為（ ）
A．y＝±2xB．y＝±3xC．y＝±22xD．y＝±32x
【答案】解：∵雙曲線的離心率為e=ca=3，
則ba=b2a2=c2?a2a2=(ca)2?1=3?1=2，
即雙曲線的漸近線方程為y＝±bax＝±2x，
故選：A．
21．【2018年新課標(biāo)2理科12】已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為36的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為（ ）
A．23B．12C．13D．14
【答案】解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），
直線AP的方程為：y=36（x+a），
由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，則P（2c，3c），
代入直線AP：3c=36（2c+a），整理得：a＝4c，
∴題意的離心率e=ca=14．
故選：D．
22．【2018年新課標(biāo)3理科06】直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是（ ）
A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]
【答案】解：∵直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=4+4=22，
∵點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，∴設(shè)P（2+2csθ，2sinθ），
∴點(diǎn)P到直線x+y+2＝0的距離：
d=|2+2csθ+2sinθ+2|2=|2sin(θ+π4)+4|2，
∵sin（θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d=|2sin(θ+π4)+4|2∈[2，32]，
∴△ABP面積的取值范圍是：
[12×22×2，12×22×32]＝[2，6]．
故選：A．
23．【2018年新課標(biāo)3理科11】設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=6|OP|，則C的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
【答案】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y=bax，
∴點(diǎn)F2到漸近線的距離d=bca2+b2=b，即|PF2|＝b，
∴|OP|=|OF2|2?|PF2|2=c2?b2=a，cs∠PF2O=bc，
∵|PF1|=6|OP|，
∴|PF1|=6a，
在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O，
∴6a2＝b2+4c2﹣2×b×2c×bc=4c2﹣3b2＝4c2﹣3（c2﹣a2），
即3a2＝c2，
即3a＝c，
∴e=ca=3，
故選：C．
24．【2017年新課標(biāo)1理科10】已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（ ）
A．16B．14C．12D．10
【答案】解：如圖，l1⊥l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，
直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，
要使|AB|+|DE|最小，
則A與D，B，E關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線DE的斜率為1，
又直線l2過點(diǎn)（1，0），
則直線l2的方程為y＝x﹣1，
聯(lián)立方程組y2=4xy=x?1，則y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|=1+1k2?|y1﹣y2|=2×32=8，
∴|AB|+|DE|的最小值為2|DE|＝16，
方法二：設(shè)直線l1的傾斜角為θ，則l2的傾斜角為 π2+θ，
根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得|AB|=2psin2θ=4sin2θ
|DE|=2psin2(π2+θ)=2pcs2θ=4cs2θ
∴|AB|+|DE|=4sin2θ+4cs2θ=4sin2θcs2θ=16sin22θ，
∵0＜sin22θ≤1，
∴當(dāng)θ＝45°時(shí)，|AB|+|DE|的最小，最小為16，
故選：A．
25．【2017年新課標(biāo)2理科09】若雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為（ ）
A．2B．3C．2D．233
【答案】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線不妨為：bx+ay＝0，
圓（x﹣2）2+y2＝4的圓心（2，0），半徑為：2，
雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，
可得圓心到直線的距離為：22?12=3=|2b|a2+b2，
解得：4c2?4a2c2=3，可得e2＝4，即e＝2．
故選：A．
26．【2017年新課標(biāo)3理科05】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1 （a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=52x，且與橢圓x212+y23=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為（ ）
A．x28?y210=1B．x24?y25=1
C．x25?y24=1D．x24?y23=1
【答案】解：橢圓x212+y23=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)（±3，0），
則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），可得c＝3，
雙曲線C：x2a2?y2b2=1 （a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=52x，
可得ba=52，即c2?a2a2=54，可得ca=32，解得a＝2，b=5，
所求的雙曲線方程為：x24?y25=1．
故選：B．
27．【2017年新課標(biāo)3理科10】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab＝0相切，則C的離心率為（ ）
A．63B．33C．23D．13
【答案】解：以線段A1A2為直徑的圓與直線bx﹣ay+2ab＝0相切，
∴原點(diǎn)到直線的距離2aba2+b2=a，化為：a2＝3b2．
∴橢圓C的離心率e=ca=1?b2a2=63．
故選：A．
28．【2016年新課標(biāo)1理科05】已知方程x2m2+n?y23m2?n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（0，3）
【答案】解：∵雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，∴c＝2，
當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
∵方程x2m2+n?y23m2?n=1表示雙曲線，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范圍是：（﹣1，3）．
當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，
無解．
故選：A．
29．【2016年新課標(biāo)1理科10】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn)．已知|AB|＝42，|DE|＝25，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】解：設(shè)拋物線為y2＝2px，如圖：|AB|＝42，|AM|＝22，
|DE|＝25，|DN|=5，|ON|=p2，
xA=(22)22p=4p，
|OD|＝|OA|，
16p2+8=p24+5，
解得：p＝4．
C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4．
故選：B．
30．【2016年新課標(biāo)2理科04】圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離為1，則a＝（ ）
A．?43B．?34C．3D．2
【答案】解：圓x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圓心坐標(biāo)為：（1，4），
故圓心到直線ax+y﹣1＝0的距離d=|a+4?1|a2+1=1，
解得：a=?43，
故選：A．
31．【2016年新課標(biāo)2理科11】已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2?y2b2=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13，則E的離心率為（ ）
A．2B．32C．3D．2
【答案】解：由題意，M為雙曲線左支上的點(diǎn)，
則丨MF1丨=b2a，丨MF2丨=4c2+(b2a)2，
∴sin∠MF2F1=13，∴b2a4c2+b4a2=13，
可得：2b4＝a2c2，即2b2＝ac，又c2＝a2+b2，
可得2e2﹣e?2=0，
e＞1，解得e=2．
故選：A．
32．【2016年新課標(biāo)3理科11】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為（ ）
A．13B．12C．23D．34
【答案】解：由題意可設(shè)F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），
設(shè)直線AE的方程為y＝k（x+a），
令x＝﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x＝0，可得E（0，ka），
設(shè)OE的中點(diǎn)為H，可得H（0，ka2），
由B，H，M三點(diǎn)共線，可得kBH＝kBM，
即為ka2?a=k(a?c)?c?a，
化簡(jiǎn)可得a?ca+c=12，即為a＝3c，
可得e=ca=13．
另解：由△AMF∽△AEO，
可得a?ca=MFOE，
由△BOH∽△BFM，
可得aa+c=OHFM=OE2FM，
即有2(a?c)a=a+ca即a＝3c，
可得e=ca=13．
故選：A．
33．【2015年新課標(biāo)1理科05】已知M（x0，y0）是雙曲線C：x22?y2=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1→?MF2→＜0，則y0的取值范圍是（ ）
A．(?33，33)B．(?36，36)C．(?223，223)D．(?233，233)
【答案】解：由題意，MF1→?MF2→=（?3?x0，﹣y0）?（3?x0，﹣y0）＝x02﹣3+y02＝3y02﹣1＜0，
所以?33＜y0＜33．
故選：A．
34．【2015年新課標(biāo)2理科07】過三點(diǎn)A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝（ ）
A．26B．8C．46D．10
【答案】解：設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，則1+9+D+3E+F=016+4+4D+2E+F=01+49+D?7E+F=0，
∴D＝﹣2，E＝4，F(xiàn)＝﹣20，
∴x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0，
令x＝0，可得y2+4y﹣20＝0，
∴y＝﹣2±26，
∴|MN|＝46．
故選：C．
35．【2015年新課標(biāo)2理科11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，頂角為120°，則E的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
【答案】解：設(shè)M在雙曲線x2a2?y2b2=1的左支上，
且MA＝AB＝2a，∠MAB＝120°，
則M的坐標(biāo)為（﹣2a，3a），
代入雙曲線方程可得，
4a2a2?3a2b2=1，
可得a＝b，
c=a2+b2=2a，
即有e=ca=2．
故選：D．
36．【2014年新課標(biāo)1理科04】已知F為雙曲線C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（ ）
A．3B．3C．3mD．3m
【答案】解：雙曲線C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化為x23m?y23=1，
∴一個(gè)焦點(diǎn)為（3m+3，0），一條漸近線方程為x+my=0，
∴點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為3m+31+m=3．
故選：A．
37．【2014年新課標(biāo)1理科10】已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=4FQ→，則|QF|＝（ ）
A．72B．3C．52D．2
【答案】解：設(shè)Q到l的距離為d，則|QF|＝d，
∵FP→=4FQ→，
∴|PQ|＝3d，
∴不妨設(shè)直線PF的斜率為?22dd=?22，
∵F（2，0），
∴直線PF的方程為y＝﹣22（x﹣2），
與y2＝8x聯(lián)立可得x＝1，
∴|QF|＝d＝1+2＝3，
故選：B．
38．【2014年新課標(biāo)2理科10】設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為（ ）
A．334B．938C．6332D．94
【答案】解：由y2＝2px，得2p＝3，p=32，
則F（34，0）．
∴過A，B的直線方程為y=33（x?34），
即x=3y+34．
聯(lián)立 y2=3xx=3y+34，得4y2﹣123y﹣9＝0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則y1+y2＝33，y1y2=?94．
∴S△OAB＝S△OAF+S△OFB=12×34|y1﹣y2|=38(y1+y2)2?4y1y2=38×(33)2+9=94．
故選：D．
39．【2013年新課標(biāo)1理科04】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的離心率為52，則C的漸近線方程為（ ）
A．y=±14xB．y=±13xC．y＝±xD．y=±12x
【答案】解：由雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0），
則離心率e=ca=a2+b2a=52，即4b2＝a2，
故漸近線方程為y＝±bax=±12x，
故選：D．
40．【2013年新課標(biāo)1理科10】已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（3，0），過點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），則E的方程為（ ）
A．x245+y236=1B．x236+y227=1
C．x227+y218=1D．x218+y29=1
【答案】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
代入橢圓方程得x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1，
相減得x12?x22a2+y12?y22b2=0，
∴x1+x2a2+y1?y2x1?x2?y1+y2b2=0．
∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，kAB=y1?y2x1?x2=?1?01?3=12．
∴2a2+12×?2b2=0，
化為a2＝2b2，又c＝3=a2?b2，解得a2＝18，b2＝9．
∴橢圓E的方程為x218+y29=1．
故選：D．
41．【2013年新課標(biāo)2理科11】設(shè)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，|MF|＝5，若以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），則C的方程為（ ）
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
【答案】解：∵拋物線C方程為y2＝2px（p＞0），
∴焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（p2，0），可得|OF|=p2，
∵以MF為直徑的圓過點(diǎn)（0，2），
∴設(shè)A（0，2），可得AF⊥AM，
Rt△AOF中，|AF|=22+(p2)2=4+p24，
∴sin∠OAF=|OF||AF|=p24+p24，
∵根據(jù)拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點(diǎn)，
∴∠OAF＝∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=|AF||MF|=p24+p24，
∵|MF|＝5，|AF|=4+p24
∴4+p245=p24+p24，整理得4+p24=5p2，解之可得p＝2或p＝8
因此，拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x．
故選：C．
方法二：
∵拋物線C方程為y2＝2px（p＞0），∴焦點(diǎn)F（p2，0），
設(shè)M（x，y），由拋物線性質(zhì)|MF|＝x+p2=5，可得x＝5?p2，
因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，圓心橫坐標(biāo)為5?p2+p22=52，
由已知圓半徑也為52，據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)（0，2），故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
即M（5?p2，4），代入拋物線方程得p2﹣10p+16＝0，所以p＝2或p＝8．
所以拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝16x．
故選：C．
42．【2022年新高考1卷11】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上，過點(diǎn)B(0,?1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為y=?1B．直線AB與C相切
C．|OP|?|OQ|>|OA2D．|BP|?|BQ|>|BA|2
【答案】BCD
【解析】
將點(diǎn)A的代入拋物線方程得1=2p，所以拋物線方程為x2=y，故準(zhǔn)線方程為y=?14，A錯(cuò)誤；
kAB=1?(?1)1?0=2，所以直線AB的方程為y=2x?1，
聯(lián)立y=2x?1x2=y，可得x2?2x+1=0，解得x=1，故B正確；
設(shè)過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx?1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，
聯(lián)立y=kx?1x2=y，得x2?kx+1=0，
所以Δ=k2?4>0x1+x2=kx1x2=1，所以k>2或k2=|OA|2，故C正確；
因?yàn)閨BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|，
所以|BP|?|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5，而|BA|2=5，故D正確.
故選：BCD
43．【2022年新高考2卷10】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，若|AF|=|AM|，則（ ）
A．直線AB的斜率為26B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF|D．∠OAM+∠OBM2p=4OF，C正確；
對(duì)于D，OA?OB=(3p4,6p2)?(p3,?6p3)=3p4?p3+6p2??6p3=?3p24n>0，則mx2+ny2=1可化為x21m+y21n=1，
因?yàn)閙>n>0，所以1m0，則mx2+ny2=1可化為x2+y2=1n，
此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為nn的圓，故B不正確；
對(duì)于C，若mn0，則mx2+ny2=1可化為y2=1n，
y=±nn，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；
故選：ACD.
47．【2020年海南卷09】已知曲線C:mx2+ny2=1.（ ）
A．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為n
C．若mn0，則C是兩條直線
【答案】ACD
【解析】
對(duì)于A，若m>n>0，則mx2+ny2=1可化為x21m+y21n=1，
因?yàn)閙>n>0，所以1m0，則mx2+ny2=1可化為x2+y2=1n，
此時(shí)曲線C表示圓心在原點(diǎn)，半徑為nn的圓，故B不正確；
對(duì)于C，若mn0，則mx2+ny2=1可化為y2=1n，
y=±nn，此時(shí)曲線C表示平行于x軸的兩條直線，故D正確；
故選：ACD.
48．【2022年全國(guó)甲卷理科14】若雙曲線y2?x2m2=1(m>0)的漸近線與圓x2+y2?4y+3=0相切，則m=_________．
【答案】33
【解析】
解：雙曲線y2?x2m2=1m>0的漸近線為y=±xm，即x±m(xù)y=0，
不妨取x+my=0，圓x2+y2?4y+3=0，即x2+y?22=1，所以圓心為0,2，半徑r=1，
依題意圓心0,2到漸近線x+my=0的距離d=2m1+m2=1，
解得m=33或m=?33（舍去）．
故答案為：33．
49．【2022年全國(guó)乙卷理科14】過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(?1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．
【答案】x?22+y?32=13或x?22+y?12=5或x?432+y?732=659或x?852+y?12=16925；
【解析】
解：依題意設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若過0,0，4,0，?1,1，則F=016+4D+F=01+1?D+E+F=0，解得F=0D=?4E=?6，
所以圓的方程為x2+y2?4x?6y=0，即x?22+y?32=13；
若過0,0，4,0，4,2，則F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=?4E=?2，
所以圓的方程為x2+y2?4x?2y=0，即x?22+y?12=5；
若過0,0，4,2，?1,1，則F=01+1?D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=?83E=?143，
所以圓的方程為x2+y2?83x?143y=0，即x?432+y?732=659；
若過?1,1，4,0，4,2，則1+1?D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=?165D=?165E=?2，
所以圓的方程為x2+y2?165x?2y?165=0，即x?852+y?12=16925；
故答案為：x?22+y?32=13或x?22+y?12=5或x?432+y?732=659或x?852+y?12=16925；
50．【2022年新高考1卷14】寫出與圓x2+y2=1和(x?3)2+(y?4)2=16都相切的一條直線的方程________________．
【答案】y=?34x+54或y=724x?2524或x=?1
【解析】
圓x2+y2=1的圓心為O0,0，半徑為1，圓(x?3)2+(y?4)2=16的圓心O1為(3,4)，半徑為4，
兩圓圓心距為32+42=5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)閗OO1=43，所以kl=?34，設(shè)方程為y=?34x+t(t>0)
O到l的距離d=|t|1+916=1，解得t=54，所以l的方程為y=?34x+54，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為kx+y+p=0，其中p>0，kb>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為12．過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，|DE|=6，則△ADE的周長(zhǎng)是________________．
【答案】13
【解析】
∵橢圓的離心率為e=ca=12，∴a=2c，∴b2=a2?c2=3c2，∴橢圓的方程為x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2?12c2=0，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，如圖所示，∵AF2=a，OF2=c，a=2c，∴∠AF2O=π3，∴△AF1F2為正三角形，∵過F1且垂直于AF2的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，DE為線段AF2的垂直平分線，∴直線DE的斜率為33，斜率倒數(shù)為3， 直線DE的方程：x=3y?c，代入橢圓方程3x2+4y2?12c2=0，整理化簡(jiǎn)得到：13y2?63cy?9c2=0，
判別式?=63c2+4×13×9c2=62×16×c2，
∴CD=1+32y1?y2=2×?13=2×6×4×c13=6，
∴ c=138， 得a=2c=134，
∵DE為線段AF2的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，AD=DF2，AE=EF2，∴△ADE的周長(zhǎng)等于△F2DE的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到△F2DE周長(zhǎng)為DF2+|EF2|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=|DF1|+|DF2|+|EF1|+|EF2|=2a+2a=4a=13.
故答案為：13.
52．【2022年新高考2卷15】設(shè)點(diǎn)A(?2,3),B(0,a)，若直線AB關(guān)于y=a對(duì)稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【答案】13,32
【解析】
解：A?2,3關(guān)于y=a對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A'?2,2a?3，B0,a在直線y=a上，
所以A'B所在直線即為直線l，所以直線l為y=a?3?2x+a，即a?3x+2y?2a=0；
圓C:x+32+y+22=1，圓心C?3,?2，半徑r=1，
依題意圓心到直線l的距離d=?3a?3?4?2aa?32+22≤1，
即5?5a2≤a?32+22，解得13≤a≤32，即a∈13,32；
故答案為：13,32
53．【2022年新高考2卷16】已知直線l與橢圓x26+y23=1在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|MN|=23，則l的方程為___________．
【答案】x+2y?22=0
【解析】
解：令A(yù)B的中點(diǎn)為E，因?yàn)镸A=NB，所以ME=NE，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則x126+y123=1，x226+y223=1，
所以x126?x226+y123?y223=0，即x1?x2x1+x26+y1+y2y1?y23=0
所以y1+y2y1?y2x1?x2x1+x2=?12，即kOE?kAB=?12，設(shè)直線AB:y=kx+m，k0，
令x=0得y=m，令y=0得x=?mk，即M?mk,0，N0,m，所以E?m2k,m2，
即k×m2?m2k=?12，解得k=?22或k=22（舍去），
又MN=23，即MN=m2+2m2=23，解得m=2或m=?2（舍去），
所以直線AB:y=?22x+2，即x+2y?22=0；
故答案為：x+2y?22=0
54．【2021年全國(guó)甲卷理科15】已知F1,F2為橢圓C：x216+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為________．
【答案】8
因?yàn)镻,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
且|PQ|=|F1F2|，所以四邊形PF1QF2為矩形，
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n，則m+n=8,m2+n2=48，
所以64=(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn，
mn=8，即四邊形PF1QF2面積等于8.
故答案為：8.
55．【2021年新高考1卷14】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，若|FQ|=6，則C的準(zhǔn)線方程為______.
【答案】x=?32
拋物線C：y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)F(p2,0),
∵P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為p2，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為±p,
不妨設(shè)P(p2,p),
因?yàn)镼為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP，所以Q在F的右側(cè)，
又∵|FQ|=6，
∴Q(6+p2,0),∴PQ=(6,?p)
因?yàn)镻Q⊥OP，所以PQ?OP=p2×6?p2=0,
∵p>0,∴p=3，
所以C的準(zhǔn)線方程為x=?32
故答案為：x=?32.
56．【2021年全國(guó)乙卷理科13】已知雙曲線C:x2m?y2=1(m>0)的一條漸近線為3x+my=0，則C的焦距為_________．
【答案】4
由漸近線方程3x+my=0化簡(jiǎn)得y=?3mx，即ba=3m，同時(shí)平方得b2a2=3m2，又雙曲線中a2=m,b2=1，故3m2=1m，解得m=3,m=0（舍去），c2=a2+b2=3+1=4?c=2，故焦距2c=4
故答案為：4
57．【2021年新高考2卷13】已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________
【答案】y=±3x
因?yàn)殡p曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，
所以e=c2a2=a2+b2a2=2，所以b2a2=3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±3x.
故答案為：y=±3x.
58．【2020年全國(guó)1卷理科15】已知F為雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸.若AB的斜率為3，則C的離心率為______________.
【答案】2
【解析】
依題可得，BFAF=3，而BF=b2a，AF=c?a，即b2ac?a=3，變形得c2?a2=3ac?3a2，化簡(jiǎn)可得，e2?3e+2=0，解得e=2或e=1（舍去）．
故答案為：2．
59．【2020年山東卷13】斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=________．
【答案】163
【解析】
∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F(1,0)，
又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為3，∴直線AB的方程為：y=3(x?1)
代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2?10x+3=0，
解法一：解得x1=13,x2=3
所以|AB|=1+k2|x1?x2|=1+3?|3?13|=163
解法二：Δ=100?36=64>0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=103,
過A,B分別作準(zhǔn)線x=?1的垂線，設(shè)垂足分別為C,D如圖所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163
故答案為：163
60．【2020年海南卷13】斜率為3的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則AB=________．
【答案】163
【解析】
∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F(1,0)，
又∵直線AB過焦點(diǎn)F且斜率為3，∴直線AB的方程為：y=3(x?1)
代入拋物線方程消去y并化簡(jiǎn)得3x2?10x+3=0，
解法一：解得x1=13,x2=3
所以|AB|=1+k2|x1?x2|=1+3?|3?13|=163
解法二：Δ=100?36=64>0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2=103,
過A,B分別作準(zhǔn)線x=?1的垂線，設(shè)垂足分別為C,D如圖所示.
|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163
故答案為：163
61．【2019年新課標(biāo)3理科15】設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：x236+y220=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為 ．
【答案】解：設(shè)M（m，n），m，n＞0，橢圓C：x236+y220=1的a＝6，b＝25，c＝4，
e=ca=23，
由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2為等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6+23m＝8，即m＝3，n=15；
6?23m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，15）．
故答案為：（3，15）．
62．【2019年新課標(biāo)1理科16】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若F1A→=AB→，F(xiàn)1B→?F2B→=0，則C的離心率為 ．
【答案】解：如圖，
∵F1A→=AB→，且F1B→?F2B→=0，∴OA⊥F1B，
則F1B：y=ab(x+c)，
聯(lián)立y=ab(x+c)y=bax，解得B（a2cb2?a2，abcb2?a2），
則F1B2=(a2cb2?a2+c)2+(abcb2?a2)2，F(xiàn)2B2=(a2cb2?a2?c)2+(abcb2?a2)2，
∴(a2cb2?a2+c)2+(a2cb2?a2?c)2+2(abcb2?a2)2=4c2，
整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，
∴c2a2=4，e=ca=2．
故答案為：2．
63．【2018年新課標(biāo)3理科16】已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝
．
【答案】解：∵拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F（1，0），
∴過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y＝k（x﹣1），
聯(lián)立y2=4xy=k(x?1)可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則 x1+x2=4+2k2k2，x1x2＝1，
∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）=4k，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，
∵M(jìn)（﹣1，1），
∴MA→=（x1+1，y1﹣1），MB→=（x2+1，y2﹣1），
∵∠AMB＝90°，∴MA→?MB→=0
∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）＝0，
整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2＝0，
∴1+2+4k2?4?4k+2＝0，
即k2﹣4k+4＝0，
∴k＝2．
故答案為：2
64．【2017年新課標(biāo)1理科15】已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為 ．
【答案】解：雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），
以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．
若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcs30°=32b，
可得：|ab|a2+b2=32b，即ac=32，可得離心率為：e=233．
故答案為：233．
65．【2017年新課標(biāo)2理科16】已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝ ．
【答案】解：拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)F（2，0），M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，
可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：±22，
|FN|＝2|FM|＝2(1?2)2+(±22?0)2=6．
故答案為：6．
66．【2016年新課標(biāo)3理科16】已知直線l：mx+y+3m?3=0與圓x2+y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝23，則|CD|＝ ．
【答案】解：由題意，|AB|＝23，∴圓心到直線的距離d＝3，
∴|3m?3|m2+1=3，
∴m=?33
∴直線l的傾斜角為30°，
∵過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，
∴|CD|=2332=4．
故答案為：4．
67．【2015年新課標(biāo)1理科14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】解：一個(gè)圓經(jīng)過橢圓x216+y24=1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．
可知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），上下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，±2），
設(shè)圓的圓心（a，0），則(a?0)2+(0?2)2=4?a，解得a=32，
圓的半徑為：52，
所求圓的方程為：（x?32）2+y2=254．
故答案為：（x?32）2+y2=254．
68．【2014年新課標(biāo)2理科16】設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是 ．
【答案】解：由題意畫出圖形如圖：點(diǎn)M（x0，1），
要使圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，
則∠OMN的最大值大于或等于45°時(shí)一定存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，
而當(dāng)MN與圓相切時(shí)∠OMN取得最大值，
此時(shí)MN＝1，
圖中只有M′到M″之間的區(qū)域滿足MN≤1，
∴x0的取值范圍是[﹣1，1]．
模擬好題
1．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作C的漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)P，PF1=5a，則C的離心率為（ ）
A．5B．2C．3D．2
【答案】D
【解析】
由題意得F2(c,0)到一條漸近線bx?ay=0的距離為|PF2|=|bc|b2+a2=b，
則|OP|=a，cs∠PF2O=bc，在△F1PF2中，由余弦定理得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2?2|PF2|?|F1F2|cs∠PF2O，
即5a2=b2+4c2?2b?2c?bc，得5a2=4c2?3(c2?a2)，
則離心率e=ca=2，
故選：D
2．已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1為圓心，F(xiàn)1F2為半徑的圓與E交于點(diǎn)P，若tan∠F1PF2=22，則E的離心率為（ ）
A．3B．2C．22D．3
【答案】D
【解析】
設(shè)F1F2=2c ，根據(jù)題意可得PF1=2c，tan∠F1PF2=22>0，∠F1PF2為銳角
則PF2=2c?2a，設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為M，則PM=c?a．
在Rt△F1PM中，tan∠F1PM=22，
則F1M=22PM，所以PF1=F1M2+PM2=3PM,即2c=3c?a，
即2ca=3ca?1得E的離心率ca=3．
故選：D
3．已知拋物線E：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線E的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線E上，若∠PAF=30°，則sin∠PFA=（ ）
A．12B．33C．34D．32
【答案】B
【解析】
過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，由∠PAF=30°，可得∠APQ=30°，由題意如圖所示：
在Rt△AQP中，可cs∠APQ=|QP||PA|=32，
由拋物線的性質(zhì)可得|PQ|=|PF|，所以|PF||PA|=32，
在△PAF中，由正弦定理可得：|PA|sin∠PFA=|PF|sin∠PAF，
所以sin∠PFA=|AP||PF|?sin∠PAF=23?12=33，
故選：B．
4．已知點(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，若以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，且與x軸相交的弦長(zhǎng)為6，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A．4B．42C．5D．52
【答案】A
【解析】
設(shè)P(m,n)，設(shè)圓的半徑為r，
因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線C:y2=4x上，所以n2=4m，
以點(diǎn)P為圓心的圓與C的準(zhǔn)線相切，所以m+1=r,
圓P與x軸相交的弦長(zhǎng)為6，所以32+n2=r2，
所以m2?2m?8=0，又m≥0，
所以m=4，故n=±4，r=5,
所以點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，
故選： A.
5．已知C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其離心率為52，P為C上一動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過點(diǎn)P的直線l1，l2分別經(jīng)過雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知直線l1的斜率k1∈1,32，則直線l2的斜率k2的取值范圍為（ ）
A．56,54B．815,45C．83,4D．16,14
【答案】C
【解析】
設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b2=1a>0,b>0， Px0,y0為C上一動(dòng)點(diǎn)，上頂點(diǎn)A0,a,下頂點(diǎn)B0,?a,離心率為52，即54=1+b2a2,可得14=b2a2,
直線l1為直線PA, 直線l2為直線PB,
則k1k2=y0?ax0?y0+ax0=y02?a2x02=a2+a2?x02b2?a2x02=a2b2=4，
k2=4k1，又k1∈1,32，1k1∈23,1，可得k2=4k1∈83,4，
故選：C
6．已知P3,4?22，過點(diǎn)P作圓C:x?a2+y?a?12=1（a為參數(shù)，且a∈R）的兩條切線分別切圓C于點(diǎn)A、B，則sin∠APB的最大值為（ ）
A．1B．12C．32D．64
【答案】C
【解析】
圓心Ca,a+1，半徑為1，圓心C在直線y=x+1上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)∠APC=θ，則∠APB=2θ，由圓的幾何性質(zhì)可知tanθ=ACPA=1PA，
所以，sin∠APB=sin2θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2tanθ+1tanθ=21PA+PA，
當(dāng)直線PC與直線y=x+1垂直時(shí)，PC取最小值，則PA=PC2?1取最小值，
且PCmin=3?4?22+12=2，則PAmin=22?1=3，則PA≥3，
由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=x+1x在3,+∞上為增函數(shù)，且y=x+1x>0，
故函數(shù)fx=2x+1x在3,+∞上為減函數(shù)，
故當(dāng)PA=3時(shí)，sin∠APB取得最大值234=32.
故選：C.
7．橢圓x25+y2=1的左右焦點(diǎn)為F1,F2,Px0,y0x0>0,y0>0為橢圓上一點(diǎn)，直線PF1,PF2分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)直線MN的斜率為?19時(shí)，x0y0=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
由已知得F1(?2,0),F2(2,0)，
所以直線PF1的方程為：y=k1(x+2)（其中k1=y0x0+2），
與橢圓方程聯(lián)立得5k12+1x2+20k12x+20k12?5=0，
由韋達(dá)定理xM+x0=?20k125k12+1=?20y024x02+9，所以xM=?20y024x0+9?x0=?9x0+204x0+9，
故yM=y0x0+2xM+2=?y04x0+9；
類似得xN=9x0?204x0?9，yN=y04x0?9，
所以kMN=yM?yXxM?xM=x0y09x02?45=x0y095?5y02?45=?x045y0=?19?x0y0=5，
故選：D．
8．已知雙曲線C:x2?3y2=1的左，右頂點(diǎn)分別為A、B，P是C在第一象限的圖象上的點(diǎn)，記∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，則（ ）
A．tanα+tanβ+tanγ=0B．tanα+tanβ?tanγ=0
C．3tanα+3tanβ+4tanγ=0D．2tanα+2tanβ+3tanγ=0
【答案】C
【解析】
解：由雙曲線C:x2?3y2=1，
得A?1,0,B1,0，設(shè)Px,y,x>0,y>0，
則kPA?kPB=yx+1?yx?1=y2x2?1，
又x2?3y2=1，
所以kPA?kPB=y23y2+1?1=13，則tanαtanβ=?13，
所以tanγ=?tan(α+β)=tanα+tanβtanαtanβ?1=?3(tanα+tanβ)4，
即3tanα+3tanβ+4tanγ=0.
故選：C.
9．已知斜率為12的直線l與橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，若C，D恰好是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則橢圓E的離心率e為（ ）
A．12B．22C．32D．33
【答案】C
【解析】
如圖，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，∵C，D分別是線段AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴C?x1,0，D0,y12，則B?2x1,?y12，
得x2=?2x1,y2=?y12, k=y1?y2x1?x2=3y123x1=12?y1x1，
利用點(diǎn)差法，由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式相減得x1+x2x1?x2a2+y1+y2y1?y2b2=0，
整理得到y(tǒng)12x12=4b2a2，即4b2a2=4k2?a2?c2a2=k2=14，所以e=32.
故選：C．
10．已知拋物線：x2=2pyp>0的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，且OA?OB=?3，過拋物線上一點(diǎn)P（非原點(diǎn)）作拋物線的切線，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，PH⊥l．垂足為H．下列命題：
①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y
②△OMN的面積為定值
③M為PN的中點(diǎn)
④四邊形PFNH為菱形
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為（ ）
A．①③④B．①④
C．①②③D．②③
【答案】A
【解析】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，可知F0,p2，直線AB的方程為y=kx+p2，
聯(lián)立x2=2pyy=kx+p2，化為x2?2pkx?p2=0，
則x1+x2=2pk，x1x2=?p2，而y1y2=(x1x2)24p2=p24，
所以O(shè)A?OB=x1x2+y1y2=?34p2=?3，
所以p=2，故拋物線方程為x2=4y，故①正確；
設(shè)Px0,y0，拋物線方程為y=x24，則y'=12x，
則在P點(diǎn)處取得的切線方程斜率為y'|x=x0=x02，
所以以P點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y=x02x?y0，切線與x軸?y軸分別交于點(diǎn)M?N，
所以M2y0x0,0，N0,?y0，
所以S△OMN=12OMON=12×2y0x0×?y0=x0242x0=x0316，故面積不為定值，故②錯(cuò)誤；
因?yàn)镸2y0x0,0、Px0,y0、N0,?y0，可知，2?2y0x0=x02x0=x0+02?0=y0+(?y0)，
所以M為PN的中點(diǎn)，故③正確；
因?yàn)镻H⊥l，垂足為H ，所以Hx0,?1、N0,?y0、F0,1、Px0,y0，
因此FN=PH且FN//PH，所以四邊形PFNH為平行四邊形，
又根據(jù)拋物線定義PH=PF，故四邊形PFNH為菱形，故④正確.
故正確結(jié)論編號(hào)為：①③④.
故選：A.
11．“臉譜”是戲曲舞臺(tái)演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國(guó)傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C，其方程為x2+y2=4，y>0x24+y29=1，y≤0．則下列說法正確的是（ ）
A．曲線C包含的封閉圖形內(nèi)部(不含邊界)有11個(gè)整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))
B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值與最小值之和為5
C．若A(0，－5)、B(0，5)，P是曲線C下半部分中半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cs∠APB的最小值為－19
D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上，稱該圓為橢圓的蒙日?qǐng)A；那么曲線C中下半部分半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓C'：x24+y29=1(?3≤y≤3)后，橢圓C'的蒙日?qǐng)A方程為：x2+y2=13
【答案】BCD
【解析】
對(duì)于A：曲線x2+y2=4,y>0x24+y29=1,y≤0中，?2≤x≤2，當(dāng)x∈Z時(shí)，
分5類討論：x=?2,?1,0,1,2，分別代入曲線C方程，可得：
整數(shù)點(diǎn)為(－1，1)，(－1，0)，(－1，－1)．(－1，－2)，(0，0)，(1，1)，(1，0)、(1，－1)，(1，－2)，
所以：整數(shù)點(diǎn)有9個(gè)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：曲線C中，當(dāng)y>1時(shí)x2+y2=4，此時(shí)與原點(diǎn)距離為2，
當(dāng)y≤0，時(shí)x24+y29=1，設(shè)半橢圓上動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2csθ，3sinθ)，θ∈π,2π
則OP2=2csθ2+3sinθ2=4cs2θ+9sin2θ=9?5cs2θ≤9?2≤OP≤3，
最大值與最小值之和為5，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：又A(0，－5)、B(0，5)恰為橢圓x24+y29=1的兩個(gè)焦點(diǎn)．
那么PA+PB=6，PA?PB≤PA+PB22=9
當(dāng)且僅當(dāng)PA=PB，即P在x軸上時(shí)，等號(hào)成立，
在△PAB中，AB=25，由余弦定理知：
cs∠APB=PA|2+PB|2?|AB|22PA?PB=(PA+PB)2?AB2?2PA?PB2PA?PB
=62?20?2PA?PB2PA?PB=8PA?PB?1≥89?1=?19，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：由題意知：蒙日?qǐng)A的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓C'：x24+y29=1(?3≤y≤3)中取兩條切線：x=2和y=3，它們交點(diǎn)為(2，3)，
該點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，半徑為22+32=13
此時(shí)蒙日?qǐng)A方程為：x2+y2=13，選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
12．已知直線l過拋物線C:x2=?4y的焦點(diǎn)F，且直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線，兩切線交于點(diǎn)G，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)．則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．yA?yB=4B．以線段AB為直徑的圓與直線y=32相離
C．當(dāng)AF=2FB時(shí)，|AB|=5D．△GAB面積的取值范圍為4,+∞
【答案】BD
【解析】
拋物線C:x2=?4y的焦點(diǎn)F(0,?1)，準(zhǔn)線方程為y=1，
設(shè)直線l的方程為y=kx?1，與拋物線的方程聯(lián)立，可得x2+4kx?4=0，
可得xAxB=?4，xA+xB=?4k，yAyB=(xAxB)216=1，故A錯(cuò)誤；
由|AB|=2?yA?yB=2?k(xA+xB)+2=4+4k2，AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
d=1?yA+yB2=1??4k2?22=2+2k2，
可得d=12|AB|，即有以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線y=1相切，則它與直線y=32相離，故B正確；
由AF=2FB，可得0?xA=2(xB?0)，即xA=?2xB，又xAxB=?4，xA+xB=?4k，
解得xA=?22，yA=?2，xB=2，yB=?12，所以|AB|=2+2+12=92，故C錯(cuò)誤；
由x2=?4y即y=?14x2的導(dǎo)數(shù)為y'=?12x，可得A處的切線的方程為y=?xA2x+xA24，
B處的切線的方程為y=?xB2x+xB24，
聯(lián)立兩條切線的方程，解得xG=12(xA+xB)=?2k，yG=?14(xA2+xAxB)+xA24=?14xAxB=?14×(?4)=1，
即G(?2k,1)，G到AB的距離為d=|2+2k2|1+k2，|AB|=1+k2?16k2+16，
則△GAB的面積為S=12d?|AB|=12?21+k2?4(1+k2)=4(1+k2)32?4，當(dāng)k=0時(shí)，取得等號(hào)，
則△GAB面積的取值范圍為[4，+∞)，故D正確．
故選：BD．
13．已知橢圓x29+y25=1的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2=2px(p>0)與橢圓共焦點(diǎn)，若兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P，則下列說法正確的是（ ）
A．p=4B．PF1+PF2=6
C．PF2=3D．△PF1F2的面積為25
【答案】ABC
【解析】
由橢圓方程可得c=9?5=2，所以p2=2，即p=4，故A正確；
由橢圓定義可得PF1+PF2=2a=6，故B正確；
聯(lián)立方程x29+y25=1y2=8x，得x2+8x?9=0，
解得x=?9（舍去）或x=1，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP=1，
由拋物線定義可得PF2=xP+p2=1+2=3，故C正確；
將xP=1代入拋物線可得yP=22，所以S△PF1F2=12×2c×yP=42，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
14．已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過F的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線方程為x=?2B．若|AF|=4，則|OA|=21
C．若|AF|?|BF|=4p2，則l的斜率為±33D．過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H，若x軸平分∠HFB，則|AF|=5
【答案】BC
【解析】
因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，所以p=2，
所以拋物線方程為y2=4x，則焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x=?1，故A錯(cuò)誤；
若|AF|=4，則xA=3，所以yA2=4xA=12，所以|OA|=xA2+yA2=21，故B正確；
可設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
直線AB的方程為x=my+1，與拋物線y2=4x聯(lián)立，
消去x，可得y2?4my?4=0，
可得y1+y2=4m,y1y2=?4，
由拋物線的定義可得|AF|?|BF|=x1+1x2+1=my1+2my2+2=16，
即m2y1y2+2my1+y2+4=16，即?4m2+8m2+4=16，
解得m=±3，則直線AB的斜率為±33，故C正確；
對(duì)于D，若x軸平分∠HFB，則∠OFH=∠OFB，又AH∥x軸，
所以∠AHF=∠OFH=∠OFB=∠AFH，所以HF=AF=AH，
所以xA+xH2=xF，即xA=3，所以|AF|=xA+1=4，故D錯(cuò)誤；
故選：BC.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.
15．已知圓O:x2+y2=49，直線l過點(diǎn)N(2,6)，且交圓O于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)M的軌跡是圓B．|PQ|的最小值為6
C．使|PQ|為整數(shù)的直線l共有9條D．使|PQ|為整數(shù)的直線l共有16條
【答案】ABD
【解析】
因?yàn)橹本€l恒過點(diǎn)N(2,6)，且點(diǎn)M為弦PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥MN，則易得點(diǎn)M的軌跡是圓，故A對(duì)；
圓心O到直線l的距離為OM=ON2?MN2，故當(dāng)MN=0時(shí)有最大值，即OMmax=ON=22+62=210，故|PQ|的最小值為2r2?OMmax2=249?40=6，故B對(duì)；
由過定點(diǎn)最短弦與最長(zhǎng)弦有唯一性，以及長(zhǎng)度在最短弦與最長(zhǎng)弦之間的弦有對(duì)稱性可知，使|PQ|為整數(shù)的直線l有2+2×(14?6?1)=16（條），故C錯(cuò)，D對(duì).
故選：ABD
16．如圖，已知水平地面上有一半徑為4的球，球心為O'，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓O．如圖，橢圓中心為O，球與地面的接觸點(diǎn)為E，OE=3．若光線與地面所成角為θ，橢圓的離心率e=__________．
【答案】35##0.6
【解析】
連接OO',
因?yàn)椤螼'OE=θ,O'E=4,OE=3，
所以O(shè)'O=O'E2+OE2=42+32=5,
所以sinθ=O'EOO'=45,
在照射過程中，橢圓的短半軸長(zhǎng)是球的半徑，即b=4，
如圖，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a是AC，過點(diǎn)A向BC作垂線，垂足為B，
由題意得AB=2R=8,sin∠ACB=sinθ=45，
因?yàn)閟inθ=ABAC=45，所以AC=10，
所以2a=10，得a=5，
所以橢圓的離心率為e=ca=a2?b2a=25?165=35，
故答案為：35
17．已知點(diǎn)F為拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且橫坐標(biāo)為8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OFP的面積為22，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_________________．
【答案】x=?1
【解析】
拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F(p2,0)，
由y2=16p，可得y=±4p，不妨令P(8,4p)
則S△OFP=12×p2×4p=pp=22，解之得p=2
則拋物線方程為y2=4x，其準(zhǔn)線方程為x=?1
故答案為：x=?1
18．已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn)，滿足F1F2→?PF2→=0，△PF1F2的面積為32，直線PF1交橢圓C于另一點(diǎn)Q，且PF1→=73F1Q→，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
【答案】x24+y23=1
【解析】
設(shè)橢圓半焦距為c，由已知可得PF2⊥F1F2,△PF1F2為直角三角形，易知|PF2|=b2a，
∴S△PF1F2=12×2c×b2a=32，整理得3a=2b2c①，
設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則P(c,b2a)，而F1(?c,0)，
由PF1=73F1Q，可得Q(?13c7,?3b27a)在橢圓上，
代入橢圓C的方程得169c249a2+9b249a2=1②．又a2=b2+c2③，
由①②③可得a=2,b=3，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．
故答案為：x24+y23=1.
19．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線y2?x24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上任意一點(diǎn)，過F2作∠F1PF2平分線的垂線，垂足為N，則點(diǎn)N到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是__________．
【答案】1
【解析】
設(shè)點(diǎn)F2關(guān)于直線PN對(duì)稱的點(diǎn)為F2'，則PF2'=PF2
由定義可知F1F2'=PF2'?PF1=PF2?PF1=2a=2
F1(0,5),F2(0,?5)，設(shè)N(x,y)，則F'2(2x,2y+5)
則(2x)2+(2y)2=2，即x2+y2=1,ON=x2+y2=1
故答案為：1
20．①已知點(diǎn)A3,0，直線l:x=433，動(dòng)點(diǎn)P滿足到點(diǎn)A的距離與到直線l的距離之比為32；
②已知圓C的方程為x2+y2=4，直線l為圓C的切線，記點(diǎn)A3,0，B?3,0到直線l的距離分別為d1，d2，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=d1，PB=d2；
③點(diǎn)S，T分別在x軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且ST=3，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=23OS+13OT；
在①，②，③這三個(gè)條件中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W為橢圓的是______．
【答案】①②③
【解析】
對(duì)于①，
設(shè)P(x,y)，根據(jù)題意，(x?3)2+y2|x?433|=32，整理得x24+y2=1，
所以軌跡方程為x24+y2=1；
對(duì)于②，
設(shè)P(x,y)，直線l與圓相切于點(diǎn)H，則|PA|+|PB|=d1+d2=2|OH|=4>23=|AB|，
由橢圓定義知點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，所以2a=4,2c=|AB|=23，，
故a=2,c=3,b=1，所以軌跡方程為x24+y2=1；
對(duì)于③，
設(shè)P(x,y)，S(x',0)，T(0,y')，則(x')2+(y')2=3，
因?yàn)镺P=23OS+13OT，所以x=23x'y=13y'，整理得x'=32xy'=3y，
代入(x')2+(y')2=3得x24+y2=1，
所以軌跡方程為x24+y2=1；
故答案為：①②③
21．已知拋物線C:y2=16x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A?4,0，點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則sin∠PAFsin∠AFP的最小值為___________．
【答案】22##122
【解析】
解：
如圖，點(diǎn)A?4,0在拋物線C的準(zhǔn)線x=?4上，
設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為Q，由正弦定理和拋物線的性質(zhì)可知：
sin∠PAFsin∠AFP=PF2RAP2R=PFPA=PQPA=sin∠PAQ，
當(dāng)直線AP與拋物線C相切時(shí)∠PAQ最小，sin∠PAQ也最?。?br>設(shè)PA的方程為y=kx+4，與y2=16x聯(lián)立得k2x2+8k2?16x+16k2=0，
由Δ=8k2?162?64k4=0，解得k=±1，
當(dāng)k=±1時(shí)，sin∠PAQ=22．
故sin∠PAFsin∠AFP的最小值為22．
故答案為：22.
22．已知圓C:x2+y2?4x+3=0，定點(diǎn)F(2,0)，動(dòng)點(diǎn)Q滿足以FQ為直徑的圓與y軸相切．過點(diǎn)F的直線l與動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E，圓C順次交于A，M，N，B四點(diǎn)．則|AN|+4|BM|的最小值為________．
【答案】23
【解析】
解：設(shè)Qx,y，則FQ的中點(diǎn)為12x+1,12y，所以12x?22+y2=12x+1，整理得y2=8x，
即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡E為拋物線，焦點(diǎn)為F(2,0)，
由直線AB過拋物線的焦點(diǎn)，則1|AF|+1|BF|=2p=12，
其中1|AF|+1|BF|=2p的證明過程如下：
當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y=k(x?p2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，顯然k≠0．
由y=k(x?p2)y2=2px得:ky2?2py?kp2=0，∴y1y2=?p2，x1x2=y122p?y222p=p44p2=p24．
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB方程為x=p2，則y1=p，y2=?p，∴y1y2=?p2，同上也有x1x2=p24．
由拋物線的定義知：AF=x1+p2，BF=x2+p2，又AF+BF=AB，所以x1+x2=AB?p，且x1x2=p24．
所以1AF+1BF=AF+BFAF?BF=AB(x1+p2)(x2+p2)=ABx1x2+p2(x1+x2)+p24
=ABp24+p2(AB?p)+p24=ABp2×AB=2p
圓C:(x?2)2+y2=1圓心為(2,0)，半徑1，
|AN|+4|BM|=|AF|+1+4(|BF|+1)
=|AF|+4|BF|+5=2(|AF|+4|BF|)×(1|AF|+1|BF|)+5
=2(5+|AF||BF|+4|BF||AF|)+5?2(5+2|AF||BF|×4|BF||AF|)+5=23，
當(dāng)且僅當(dāng)|AF||BF|=4|BF||AF|，即|BF|=3，AF=6時(shí)取等號(hào)；
∴|AN|+4|BM|的最小值為23，
故答案為：23．
23．已知焦距為6的雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1,F2，其中一條漸近線的斜率為22，過右焦點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)M為△F1AB的內(nèi)切圓圓心，則S△F1ABS△MAB的最大值為___________.
【答案】6
【解析】
由題知ba=22，且2c＝6，根據(jù)a2+b2=c2，解得a2=6，b2=3，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26?y23=1．
如圖，設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓M與三角形三邊的切點(diǎn)分別是D,E,N，由切線長(zhǎng)性質(zhì)，可得
AF1?BF1=AD?BE=AN?BN，
因?yàn)锳F1?AF2=26=BF1?BF2，所以AF1?BF1=AF2?BF2，所以F2與N重合，因此F2是△F1AB的內(nèi)切圓在AB邊上的切點(diǎn)，所以MF2⊥AB．
因?yàn)镾△F1ABS△MAB=12MF2?AF1+BF1+AB12MF2?AB=26+AF2+26+BF2+ABAB=46AB+2，
ABmin=2b2a=6,則AB≥6，
所以S△F1ABS△MAB的的最大值為: 6.
故答案為：6.
24．給定曲線族4sinθ?2csθ+6x2?8sinθ+csθ+1y=0，θ為參數(shù)，則這些曲線在直線y=2x上所截得的弦長(zhǎng)的最大值是_____
【答案】85
【解析】
聯(lián)立方程4sinθ?2csθ+6x2?8sinθ+csθ+1y=0y=2x，
解得：x=0或x=8sinθ+csθ+12sinθ?csθ+3，
所以弦長(zhǎng)d=1+k2x1?x2=5x，由x=8sinθ+csθ+12sinθ?csθ+3,得：(2x?8)sinθ?(x+1)csθ=1?3x，由輔助角公式(2x?8)2+(x+1)2sin(θ+φ)=1?3x,
∴1?3x≤(2x?8)2+(x+1)2，平方整理得，x2+6x?16≤0，
解得：?8≤x≤2，所以x≤8,d=5x≤85，
即弦長(zhǎng)的最大值是85
故答案為：85
25．設(shè)雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的右焦點(diǎn)為Fc,0，直線l：y=2x?c與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn).若AF=tFBt>0，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為___________.
【答案】0,2?3∪2+3,+∞
【解析】
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立y=2x?cx2a2?y2b2=1消去x整理得b2?2a2y2+22b2cy+2b4=0，
Δ>0，
所以y1+y2=?22b2cb2?2a2①，y1y2=2b4b2?2a2②.
因?yàn)锳F=tFBt>0，所以?y1=ty2③，
將③代入①②兩式整理得?t22b2cb2?2a21?t2=2b4b2?2a2，
則e2=31?t21+t2.又雙曲線的離心率e∈1,+∞，
所以e2=31?t21+t2∈1,+∞，
解得t∈0,2?3∪2+3,+∞.
故答案為：0,2?3∪2+3,+∞

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