1.下列各組線段(單位：cm)中，成比例線段的是( )
A. 1、2、2、3B. 1、2、3、4C. 1、2、2、4D. 3、5、9、13
2.4sin60°的值為( )
A. 3B. 1C. 32D. 2 3
3.若n是方程x2?x?2=0的一個根，則代數(shù)式n2?n的值是( )
A. ?1B. 2C. ?1或2D. ?1與2
4.若兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為4：9，則這兩個三角形的周長的比為( )
A. 2：3B. 4：9C. 16：81D. 不能確定
5.如圖，△ABC∽△AED，∠ADE=80°，∠A=60°，則∠C等于( )
A. 40°
B. 60°
C. 80°
D. 100°
6.如圖，某地修建一座高BC=5m的天橋，已知天橋斜面AB的坡度為1： 3，則斜坡AB的長度為( )
A. 10mB. 10 3mC. 5mD. 5 3m
7.如圖，△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、A′的坐標分別為(?1,0)、(?2,0)，△ABC的面積是6，則△A′B′C′的面積為( )
A. 18
B. 12
C. 24
D. 9
8.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，ME⊥AM，ME交AD的延長線于點E.若AB=12，BM=5，則DE的長為( )
A. 18
B.
C.
D.
9.自然數(shù)n滿足(n2?2n?2)n2+47=(n2?2n?2)16n?16，這樣的n的個數(shù)是( )
A. 2B. 1C. 3D. 4
10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，過C作CE⊥AD于點E，延長CE交AB于點F，連接FD；若AC=4，則CF+FD的值是( )
A. 2 5B. 5C. 2 3D. 92
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11.已知ab=73，則a+ba?b= ______．
12.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，連結(jié)DE.若DE=2，則BC= ______．
13.20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果.如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，BE>AE.已知AB為2米，則線段BE的長為______米.
14.如圖，△ABC中，點D、E分別為AB、AC的中點，連接DE，線段BE、CD相交于點O，若OD=2，則OC= ______．
15.在銳角三角形ABC中，2AB2=2AC2+BC2，則tanBtanC的值為______．
16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且AE=3，沿直線EF翻折，點A的對應(yīng)點A′恰好落在對角線AC上，點B的對應(yīng)點為B′，點M為線段AA′上一動點，則EM+ 55A′M的最小值為______．
三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題8分)
計算：| 3?1|+(2022?π)0+(12)?1?tan60°．
18.(本小題8分)
解方程：
(1)x2?2x?4=0；
(2)(x?3)2=5(3?x)．
19.(本小題8分)
如圖，中山路MN一側(cè)有A，B兩個送奶站，C為中山路上一供奶站，測得AC=8km，BC=15km，AB=17km，∠ACM=30°.小明從點C處出發(fā)，沿中山路MN向東一直行走，求小明與B送奶站的最近距離．
20.(本小題7分)
如圖，四邊形ABCD中，AB/?/CD，且AB=2CD，E、F分別是AB、BC的中點，EF與BD相交于點M.求證：△EDM∽△FBM．
21.(本小題8分)
已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2m+1)x?2=0．
(1)求證：無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(2)若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1+x2+x1x2=1，求m的值．
22.(本小題10分)
某商店經(jīng)營一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場調(diào)查，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，設(shè)每件商品漲價x元，銷售利潤為y元．
(1)求y與x的函數(shù)表達式；(不要求寫出自變量x的取值范圍)
(2)每千克水產(chǎn)品定價為多少元時，該商店每月獲得最大利潤？
23.(本小題10分)
閱讀下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：asinA=bsinB．
證明：如圖1，過點C作CD⊥AB于點D，則：
在Rt△BCD中，CD=asinB
在Rt△ACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
∴asinA=bsinB
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，求證：bsinB=csinC；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．(結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
24.(本小題13分)
風(fēng)能是一種清潔無公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保.如圖1所示，是一種風(fēng)力發(fā)電裝置；如圖2為簡化圖，塔座OD建在山坡DF上(坡比i=3：4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三點共線)，坡面DF長10m，三個相同長度的風(fēng)輪葉片OA，OB，OC可繞點O轉(zhuǎn)動，每兩個葉片之間的夾角為120°；當(dāng)葉片靜止，OA與OD重合時，在坡底F處向前走25米至點M處，測得點O處的仰角為53°，又向前走23.5米至點N處，測得點A處的仰角為30°(點E，F(xiàn)，M，N在同一水平線上)．
(1)求葉片OA的長；
(2)在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點O順時針轉(zhuǎn)動90°時(如圖3)，求葉片OC頂端C離水平地面EF的距離．
(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43， 3≈1.7，結(jié)果保留整數(shù))
25.(本小題14分)
【問題情境】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，點D在邊BC上，將線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段DE(旋轉(zhuǎn)角小于180°)，連接BE，CE，以CE為底邊在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，連接AF．
【特例感知】
(1)如圖1，當(dāng)α=60°時，則AF與BE的數(shù)量關(guān)系為______；
【嘗試探究】(2)如圖2，寫出AF與BE的數(shù)量關(guān)系(用含α的三角函數(shù)表示)，并說明理由；
【拓展應(yīng)用】(3)如圖4，當(dāng)α=30°，且點B，E，F(xiàn)三點共線時，若BC=4 7，BD=15BC，請直接寫出AF的長．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、1×3≠2×2，故選項錯誤；
B、1×4≠2×3，故選項錯誤；
C、1×4=2×2，故選項正確；
D、3×13≠5×9，故選項錯誤．
故選C．
如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對選項一一分析，排除錯誤答案．
此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．
2.【答案】D
【解析】解：原式=4× 32=3 3．
故選：D．
根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值達人計算即可．
本題考查特殊角的三角函數(shù)值及實數(shù)的運算，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．
3.【答案】B
【解析】解：把x=n代入方程x2?x?2=0，
可得：n2?n?2=0，
∴n2?n=2．
故選：B．
根據(jù)方程的解的定義，n是方程的解，則n的值一定適合方程，將n代入方程中，然后利用整體思想即可求出代數(shù)式的值．
本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
4.【答案】B
【解析】解：∵兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為4：9，
∴這兩個三角形的相似比為4：9，
∴兩個相似三角形的周長比為4：9；
故選：B．
根據(jù)相似三角形周長的比、兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比解答即可．
本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】C
【解析】解：∵△ABC∽△AED，
∴∠C=∠ADE=80°，
故選：C．
根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，即可求解．
本題考查了相似三角形的性質(zhì)，題目比較簡單．
6.【答案】A
【解析】【分析】
直接利用坡度的定義得出AC的長，再利用勾股定理得出AB的長．
此題主要考查了解直角三角的應(yīng)用，由坡度的定義正確得出AC的長是解題關(guān)鍵．
【解答】
解：如圖所示：
∵i=1： 3，BC=5m，
∴BCAC=5AC=1 3，
解得：AC=5 3(m)，
則AB= BC2+AC2= 52+(5 3)2=10(m)，
故選：A．
7.【答案】C
【解析】解：∵△ABC與△A′B′C′是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、A′的坐標分別為(?1,0)、(?2,0)，
∴△ABC∽△A′B′C′且相似比為1：2，
∴△ABC的面積：△A′B′C′的面積=1：4，
∵△ABC的面積是6，
∴△A′B′C′的面積為24，
故選：C．
由題意可知，△ABC與△A′B′C′是位似比為1：2的位似圖形，則根據(jù)面積比等于位似比的平方即可求解．
本題考查了位似變換的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，掌握相似三角形的的面積比等于位似比的平方是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】C
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，
∴MC=12?5=7．
∵ME⊥AM，
∴∠AME=90°，
∴∠AMB+∠CMG=90°．
∵∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴=，即=，解得CG=，
∴DG=12?=．
∵AE//BC，
∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，
∴△MCG∽△EDG，
∴=，即=，解得DE=．
故選：C．
先根據(jù)題意得出△ABM∽△MCG，故可得出CG的長，再求出DG的長，根據(jù)△MCG∽△EDG即可得出結(jié)論．
本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．
9.【答案】C
【解析】解：①當(dāng)n2?2n?2=1時，無論指數(shù)為何值等式成立．
解方程得n1=3，n2=?1(不合題意，舍去)；
②當(dāng)n2?2n?2=?1時，n不為自然數(shù)；
③當(dāng)n2?2n?2≠±1時，當(dāng)n為自然數(shù)，則n2?2n?2≠0，所以n2+47=16n?16等式成立．
解方程得n1=7，n2=9．
綜上所述，滿足條件的n值有3個，故選C．
分類討論：①n2?2n?2=1；②n2?2n?2=?1；③n2?2n?2≠±1．
此題從底數(shù)和指數(shù)兩個方面分類綜合考慮問題，考查學(xué)生嚴謹?shù)乃季S能力．
10.【答案】A
【解析】解：如圖，過點B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，
∵∠ACB=90°，CE⊥AD，
∴∠ACE+∠DCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠DCE=∠CAE，且AC=BC，∠ACD=∠CBH=90°，
∴△ACD≌△CBH(ASA)，
∴CD=BH，
∵AC=BC=4，D為BC的中點，
∴CD=DB=BH=2，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴∠HBF=∠DBF，且BF=BF，BH=BD，
∴△DBF≌△HBF(SAS)
∴DF=FH，
∵CH= BC2+BH2= 42+22=2 5，
∴CF+DF=CF+FH=CH=2 5，
故選：A．
如圖，過點B作BH⊥BC，交CF的延長線于H，由ASA可證△ACD≌△CBH，可得CD=BH，由SAS可證△DBF≌△HBF，可得DF=FH，即可求解．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
11.【答案】52
【解析】解：設(shè)a=7t，則b=3t(t≠0)，
∴a+ba?b=7t+3t7t?3t=10t4t=52．
故答案為52．
由已知設(shè)a=7t，則b=3t(t≠0)，再代入所求代數(shù)式化簡即可．
本題考查了代數(shù)式的求值，將a=73b直接代入，會產(chǎn)生繁分式，計算麻煩，可以采用參數(shù)的方法，使運算簡便．
12.【答案】4
【解析】解：∵在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE=12BC，
∵DE=2，
∴BC=4．
故答案為：4．
由在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，可得DE是△ABC的中位線，然后由三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．
此題考查了三角形中位線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13.【答案】( 5?1)
【解析】解：∵E為邊AB的黃金分割點，BE>AE，AB為2米，
∴BE= 5?12AB= 5?12×2=( 5?1)米，
故答案為：( 5?1)．
根據(jù)黃金分割的定義進行計算，即可解答．
本題考查了黃金分割，數(shù)學(xué)常識，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】4
【解析】解法一：∵點D、E分別為AB、AC的中點，線段BE、CD相交于點O，
∴O點為△ABC的重心，
∴OC=2OD=4；
解法二：∵點D、E分別為AB、AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE/?/BC，DE=12BC，
∴∠ODE=∠OCB，∠OED=∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴OD：OC=DE：BC=1：2，
∴OC=2OD=4．
故答案為4．
解法一：由題意，知O點為△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)可得出OC=2OD；
解法二：由題意，知DE為△ABC的中位線，則DE/?/BC，DE=12BC，再證明△ODE∽△OCB，由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得出OC=2OD．
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，重心的定義與性質(zhì)，難度中等．
15.【答案】13
【解析】解：如圖所示，過點A作BC的垂線，垂足為M，
在Rt△ABM中，
AB2=AM2+BM2．
在Rt△ACM中，
AC2=AM2+MC2．
∵2AB2=2AC2+BC2，
∴2(AM2+BM2)=2(AM2+MC2)+(BM+MC)2，
整理得，3MC2+2BM?MC?BM2=0，
∴3(MCBM)2+2?MCBM?1=0，
解得MCBM=13或?1(舍去)，
∴MCBM=13．
在Rt△ABM中，
tanB=AMBM，
在Rt△ACM中，
tanC=AMMC，
∴tanBtanC=AMBMAMMC=MCBM=13．
故答案為：13．
根據(jù)題意畫出示意圖，并過點A作AM⊥BC于點M，根據(jù)正切的定義表示出tanBtanC，再根據(jù)2AB2=2AC2+BC2得出MC和BM之間的關(guān)系即可解決問題．
本題考查解直角三角形及勾股定理，能根據(jù)題意畫出示意圖并熟知勾股定理及正切的定義是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】125
【解析】解：作A′H⊥AB于H，作ML⊥A′H于L，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=4 5，
∵沿直線EF翻折，點A的對應(yīng)點A′恰好落在對角線AC上，
∴∠AGE=90°，A′G=AG，
∴∠AGE=∠ADC，
∵∠EAG=∠CAD，
∴△AGE∽△ADC，
∴AGAD=AEAC，
∴AG8=34 5，
∴AG=6 55，
∴AA′=2AG=12 55，
∵∠AA′H=∠ACB，
∴sin∠AA′H=sin∠ACB，
∴MLA′M= 55，
∴ML= 55A′M，
∴當(dāng)E、M、L三點共線時，EM+ 55A′M最小，最小值為AH的長，
∴AH= 55×12 55=125，
∴EM+ 55A′M的最小值為125，
故答案為：125．
作A′H⊥AB于H，作ML⊥A′H于L，首先利用勾股定理得AC的長，再根據(jù)△AGE∽△ADC，求出AG的長，再利用∠AA′H=∠ACB，得MLA′M= 55，則當(dāng)E、M、L三點共線時，EM+ 55A′M最小，最小值為AH的長，進而解決問題．
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，熟練掌握胡不歸的基本模型是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】解：原式= 3?1+1+2? 3
=2．
【解析】先去絕對值，計算零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪以及特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減運算即可．
本題考查特殊角的三角函數(shù)值的運算，掌握實數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】解：(1)x2?2x?4=0，
∴x2?2x+1=5，
∴(x?1)2=5，
∴x?1=± 5，
解得：x1=1+ 5，x2=1? 5；
(2)(x?3)2=5(3?x)，
∴(x?3)2+5(x?3)=0，
∴(x?3)(x?3+5)=0，
∴(x?3)(x+2)=0，
∴x?3=0或x+2=0，
解得：x1=3，x2=?2；
【解析】(1)把方程化為x2?2x+1=5，再利用配方法解方程即可；
(2)把方程化為(x?3)2+5(x?3)=0，再利用因式分解的方法解方程即可．
本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適、簡便的方法求解．
19.【答案】解：∵AC2=64，BC2=225，AB2=289，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
過點B作BD⊥MN于點D，則BD的長即為小明與B送奶站的最近距離，

∵∠ACM=30°，∠ACB=90°，
∴∠BCD=60°．
在Rt△BCD中，∠CBD=180°?∠BDC?∠BCD=30°，
∴CD=12BC=152km，
∴BD= BC2?CD2=15 32km，
即小明與B送奶站的最近距離為15 32km．
【解析】由勾股定理逆定理，即可得到∠ACB=90°；過點B作BD⊥MN于點D，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，和勾股定理求出BD的長即可得解．
本題考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，熟練掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】證明：∵AB=2CD，E是AB的中點，
∴DC=EB，
又∵AB/?/CD，
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∴ED/?/BC，
∴∠EDB=∠FBM，
又∵∠DME=∠BMF，
∴△EDM∽△FBM．
【解析】首先證明四邊形BCDE為平行四邊形，從而得到ED/?/BC，于是得到∠EDB=∠FBM，又因為∠DME=∠BMF，從而可證明△EDM∽△FBM．
此題考查了相似三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵．
21.【答案】(1)證明：∵Δ=[?(2m+1)]2?4×1×(?2)
=(2m+1)2+8>0，
∴無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(2)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得出：x1+x2=2m+1，x1x2=?2，
∵x1+x2+x1x2=1，
∴2m+1?2=1，
解得：m=1．
【解析】(1)根據(jù)根的判別式得出Δ，據(jù)此可得答案；
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2=2m+1，x1x2=?2，代入x1+x2+x1x2=1得出關(guān)于m的方程，解之可得答案．
本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=?p，x1x2=q．
22.【答案】解：(1)由題意可得：y=(50+x?40)(500?10x)
=(10+x)(500?10x)
=?10x2+400x+5000；
(2)y=?10x2+400x+5000
=?10(x?20)2+9000，
∵?10

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這是一份2024-2025學(xué)年廣西柳州三十五中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共14頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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這是一份2023-2024學(xué)年福建省泉州五中九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（有答案），共20頁。

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