1．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．49的算術(shù)平方根是7
B．0、1和﹣1的立方根都與本身相同
C．0沒有平方根
D．4的平方根是±2
2．拋物線y＝（x+2）2+1的頂點坐標是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
3．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．正六邊形B．平行四邊形
C．正三角形D．等腰梯形
4．7名學生的平均成績是x，如果另外3名學生每人得92分，那么整個組的平均成績是（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示是一個幾何體的三視圖，這個幾何體的名稱是（ ）
A．圓柱體B．三棱錐C．球體D．圓錐體
6．威立到小吃店買水餃，他身上帶的錢恰好等于15粒蝦仁水餃或20粒韭菜水餃的價錢，若威立先買了9粒蝦仁水餃，則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
8．如圖，將拋物線y＝x2﹣4x位于x軸下方的圖象沿x軸翻折，直線l∥x軸，與圖象交于A、B、C、D四點，若，則AD的長為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題，本大題共2個小題，每題有多個答案，漏選得2分，選多、錯選不得分（共8分）
（多選）9．△ABC在方格紙（每個小正方形的邊長為1）上的位置如圖所示，頂點都在格點上，AD交BC于點D，D在格線上，下列選項中正確的是（ ）
A．B．tanβ＝1C．D．
（多選）10．如圖，已知頂點為（﹣3，﹣6）的拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣1，﹣4），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．b2＞4ac
B．a(chǎn)x2+bx+c≥﹣6
C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的兩根分別為﹣5和﹣1
D．若點（﹣2，m），（﹣5，n）在拋物線上，則m＞n
三、填空題（共24分）
11．計算：﹣6＝ ．
12．解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解 ．
13．已知非零實數(shù)x，y滿足，則的值等于 ．
14．如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同．若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是 ．
15．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣3，0），頂點是（﹣1，n），且n＜0，下列四個結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④點（t﹣2，y1），（t+1，y2）在拋物線上，當t＜﹣2時，y1＞y2．其中正確的是 （填寫序號）．
16．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（1，1）、（1，3）、（3，3）．若拋物線y＝ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是 ．
四、解答題（共86分）
17．先化簡，再求值：，其中x＝tan30°．
18．如圖，已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交點．
（1）求證：△ADC≌△BDH．
（2）若AD＝5，DH＝3，求：三角形的邊BC的長．
19．如圖，C為線段AB外一點．
（1）求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的四邊形ABCD中，CD的中點為N，連接BN，AN，BD，求證：BD與AN互相平分．
20．李老師為了解學生完成數(shù)學課前預習的具體情況，對部分學生進行了跟蹤調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：
（1）李老師一共調(diào)查了多少名同學？
（2）C類女生有 名，D類男生有 名，將下面條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）為了共同進步，李老師想從被調(diào)查的A類和D類學生中各隨機選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．
21．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad90°＝ ．
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是 ．
（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．
22．為了落實國務(wù)院惠農(nóng)的指示精神，最近市政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為40元/千克．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）有如下關(guān)系：y＝﹣2x+200．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元）．
（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）如果物價部門規(guī)定每天至少獲得1000元的銷售利潤，銷售價應(yīng)在什么范圍？
23．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，點E是對角線AC上一點，連接BE并延長交AD于點F，交CD的延長線于點G，連接DE．
（1）求證：EB2＝EF?EG；
（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的長．
24．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．
（1）求證：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度數(shù)；
（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．
25．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并且與x軸交于另一點C（點C在點A的右側(cè)），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PD∥y軸交AB于點D，點E為線段DB上一點，且DE＝，過點E作EF∥PD交拋物線于點F，當點P運動到什么位置時，四邊形PDEF的面積最大？并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，點F為AO的中點，連接BF，點G為y軸負半軸上一點，且GO＝2，沿x軸向右平移直線AG，記平移過程的直線為A'G'，直線A'G'交x軸于點M，交直線AB于點N．是否存在點M，使得△FMN為等腰三角形，若存在，直接寫出平移后點M的坐標；若不存在，請說明理由．
參考答案
一、單選題（共32分）
1．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．49的算術(shù)平方根是7
B．0、1和﹣1的立方根都與本身相同
C．0沒有平方根
D．4的平方根是±2
【分析】運用平方根和立方根知識進行逐一辨別、求解．
解：∵49的算術(shù)平方根是7，
∴選項A不符合題意；
∵0、1和﹣1的立方根都與本身相同，
∴選項B不符合題意；
∵0的平方根是0，
∴選項C符合題意；
∵4的平方根是±2，
∴選項D不符合題意，
故選：C．
【點評】此題考查了運用平方根和立方根知識解決問題的能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用以上知識．
2．拋物線y＝（x+2）2+1的頂點坐標是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】已知解析式是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標特點，直接寫出頂點坐標．
解：因為y＝（x+2）2+1是拋物線的頂點式，由頂點式的坐標特點知，頂點坐標為（﹣2，1）．
故選：B．
【點評】考查頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點坐標是（h，k），對稱軸是直線x＝h．要掌握頂點式的性質(zhì)．
3．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（ ）
A．正六邊形B．平行四邊形
C．正三角形D．等腰梯形
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故正確；
B、不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形．故錯誤；
C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故錯誤．
故選：A．
【點評】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．
軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；
中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
4．7名學生的平均成績是x，如果另外3名學生每人得92分，那么整個組的平均成績是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出這10名學生的總成績，然后求出這10名學生的平均成績即可．
解：由題意得整個組的平均成績是．
故選：B．
【點評】本題主要考查了求平均數(shù)，掌握平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
5．如圖所示是一個幾何體的三視圖，這個幾何體的名稱是（ ）
A．圓柱體B．三棱錐C．球體D．圓錐體
【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
解：由于主視圖和左視圖為長方形可得此幾何體為柱體，
由俯視圖為圓可得此幾何體為圓柱體．
故選：A．
【點評】本題考查了由三視圖來判斷幾何體，還考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了空間想象能力．
6．威立到小吃店買水餃，他身上帶的錢恰好等于15粒蝦仁水餃或20粒韭菜水餃的價錢，若威立先買了9粒蝦仁水餃，則他身上剩下的錢恰好可買多少粒韭菜水餃（ ）
A．6B．8C．9D．12
【分析】可設(shè)1粒蝦仁水餃為x元，1粒韭菜水餃為y元，由題意可得到y(tǒng)與x之間的關(guān)系式，再利用整體思想可求得答案．
解：
設(shè)1粒蝦仁水餃為x元，1粒韭菜水餃為y元，
則由題意可得15x＝20y，
∴3x＝4y，
∴15x﹣9x＝6x＝2×3x＝2×4y＝8y，
∴他身上剩下的錢恰好可買8粒韭菜水餃，
故選：B．
【點評】本題主要考查方程的應(yīng)用，利用條件找到1粒蝦仁水餃和1粒韭菜水餃的價錢之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的應(yīng)用．
7．如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數(shù)y＝和y＝的圖象的四個分支上，則實數(shù)n的值為（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】如圖，點B在函數(shù)y＝上，證明△AOC≌△OBD，根據(jù)k的幾何意義即可求解．
解：連接正方形的對角線，由正方形的性質(zhì)知對角線交于原點O，過點A，B分別作x軸的垂線．垂足分別為C、D，點B在函數(shù)y＝上，如圖：
∵四邊形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵點A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故選：A．
【點評】本題考查正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的k的幾何意義，熟練掌握以上性質(zhì)的解題關(guān)鍵．
8．如圖，將拋物線y＝x2﹣4x位于x軸下方的圖象沿x軸翻折，直線l∥x軸，與圖象交于A、B、C、D四點，若，則AD的長為（ ）
A．B．C．D．
【分析】設(shè)B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），由題意得﹣k＝x2﹣4x或k＝x2﹣4x，整理得：x2﹣4x+k＝0或x2﹣4x﹣k＝0，x1、x2是方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，x3、x4是方程x2﹣4x﹣k＝0的兩個根，根據(jù)BC＝AD，得出AD＝2BC，2×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出4[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即4（16﹣4k）＝16+4k，解得k＝2.4，進而即可根據(jù)AD＝|x3﹣x4|＝＝＝．即可求得AD的長度．
解：設(shè)B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），
由題意得﹣k＝x2﹣4x或k＝x2﹣4x，
整理得：x2﹣4x+k＝0或x2﹣4x﹣k＝0，
∴x1、x2是方程x2﹣4x+k＝0的兩個根，x3、x4是方程x2﹣4x﹣k＝0的兩個根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝k，x3+x4＝4，x3x4＝﹣k，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴2×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，
∴4（x1﹣x2）2＝（x3﹣x4）2，
∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即4（16﹣4k）＝16+4k，
解得k＝2.4，
AD＝|x3﹣x4|＝＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)圖象與幾何變換，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把交點問題轉(zhuǎn)換為方程根的問題是解題的關(guān)鍵．
二、多選題，本大題共2個小題，每題有多個答案，漏選得2分，選多、錯選不得分（共8分）
（多選）9．△ABC在方格紙（每個小正方形的邊長為1）上的位置如圖所示，頂點都在格點上，AD交BC于點D，D在格線上，下列選項中正確的是（ ）
A．B．tanβ＝1C．D．
【分析】根據(jù)題意和圖形，可以計算出各個選項中三角函數(shù)的值，從而可以判斷哪個選項符合題意．
解：由圖可得，
tanα＝，故選項A正確，符合題意；
tanβ＝＝1，故選項B正確，符合題意；
sinα＝＝，故選項C錯誤，不符合題意；
csβ＝＝＝，故選項D錯誤，不符合題意；
故選：AB．
【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
（多選）10．如圖，已知頂點為（﹣3，﹣6）的拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（﹣1，﹣4），則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．b2＞4ac
B．a(chǎn)x2+bx+c≥﹣6
C．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的兩根分別為﹣5和﹣1
D．若點（﹣2，m），（﹣5，n）在拋物線上，則m＞n
【分析】（1）由圖象可知拋物線與x軸的交點個數(shù)，從而確定相應(yīng)的一元二次方程根的情況即可；
（2）拋物線開口方向向上，即函數(shù)有最小值，從而知道選項是否正確；
（3）根據(jù)圖象分析出函數(shù)的對稱軸，然后分析出（﹣1，﹣4）關(guān)于對稱軸的對稱點，即可知道對應(yīng)的一元二次方程的兩個根；
（4）根據(jù)拋物線開口方向和對稱軸，判斷分析兩點離對稱軸的距離，即可得出結(jié)論．
解：A、根據(jù)函數(shù)對稱性，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，即對應(yīng)的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，選項正確；
B、拋物線開口方向向上，即函數(shù)有最小值﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，選項正確；
C、由函數(shù)圖象知，對稱軸為x＝﹣3，所以點（﹣1，﹣4）與（﹣5，﹣4）關(guān)于對稱軸對稱，即關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的兩根分別是﹣5和﹣1，選項正確；
D、因為拋物線開口向上，對稱軸為x＝﹣3，﹣5離對稱軸的距離大于﹣2離對稱軸的距離，所以m＜n，所以選項錯誤．
故選：ABC．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的對稱性等相關(guān)知識點，牢記相關(guān)知識點并能靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
三、填空題（共24分）
11．計算：﹣6＝ 2 ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
解：原式＝4﹣2
＝2，
故答案為：2
【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
12．解不等式組：，并寫出它的所有整數(shù)解 ﹣1，0 ．
【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
解：解不等式3（x+1）＞2x+1，得：x＞﹣2，
解不等式＞4x，得：x＜1，
則不等式組的解集為﹣2＜x＜1，
所以其整數(shù)解為﹣1、0，
故答案為：﹣1、0．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
13．已知非零實數(shù)x，y滿足，則的值等于 5 ．
【分析】由條件變形得，x﹣y＝xy，把此式代入所求式子中，化簡即可求得其值．
解：由得：xy+y＝x，
即x﹣y＝xy，
∴，
故答案為：5．
【點評】本題考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是根據(jù)條件，變形為x﹣y＝xy，然后整體代入．
14．如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形除顏色外都相同．若某人向游戲板投擲飛鏢一次（假設(shè)飛鏢落在游戲板上），則飛鏢落在陰影部分的概率是 ．
【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比值．
解：∵總面積為3×3＝9，其中陰影部分面積為4××1×2＝4，
∴飛鏢落在陰影部分的概率是，
故答案為：．
【點評】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來，一般用陰影區(qū)域表示所求事件（A）；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發(fā)生的概率．
15．已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過（﹣3，0），頂點是（﹣1，n），且n＜0，下列四個結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④點（t﹣2，y1），（t+1，y2）在拋物線上，當t＜﹣2時，y1＞y2．其中正確的是 ①③④ （填寫序號）．
【分析】由已知可得拋物線開口方向及對稱軸，從而可得a，b符號，由（﹣3，0）及拋物線對稱軸為直線x＝﹣1可得拋物線與x軸的另一交點坐標，從而可得c的符號，進而判斷①②，由a與b的關(guān)系可得ax2+bx＝0的解，從而判斷③，由拋物線的對稱軸及開口方向可得x＜﹣1時y隨x增大而減小，再根據(jù)t＜﹣2可得t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，從而判斷④．
解：∵拋物線經(jīng)過（﹣3，0），頂點是（﹣1，n），且n＜0，
∴頂點為最低點，即拋物線開口向上，a＞0，
由拋物線的對稱性可得拋物線經(jīng)過（1，0），
∴﹣3＜x＜1時，y＜0，
∴x＝0時，拋物線與y軸交點在x軸下方，即c＜0，
∵，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，①正確．
當x＞1時，y＞0，
∴x＝2時，y＝4a+2b+c＞0，②錯誤．
∵b＝2a，
∴ax2+bx＝ax2+2ax＝ax（x+2），
∴拋物線y＝ax2+bx與x軸交點坐標為（0，0），（﹣2，0），
∵a＞0，拋物線開口向上，
∴x＜﹣2或x＞0時，y＞0，③正確．
當t＜﹣2時，t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，
∵x＜﹣1時，y隨x增大而減小，
∴y1＞y2，④正確．
故答案為：①③④．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
16．如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（1，1）、（1，3）、（3，3）．若拋物線y＝ax2的圖象與正方形ABCD有公共點，則a的取值范圍是 ≤a≤3 ．
【分析】求出拋物線經(jīng)過兩個特殊點時的a的值即可解決問題．
解：∵正方形ABCD的頂點A、B、C的坐標分別為（1，1）、（1，3）、（3，3）．
∴D（3，1），
當拋物線經(jīng)過點B（1，3）時，則a＝3，
當拋物線經(jīng)過D（3，1）時，a＝，
觀察圖象可知≤a≤3，
故答案為：≤a≤3．
【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
四、解答題（共86分）
17．先化簡，再求值：，其中x＝tan30°．
【分析】先化簡括號內(nèi)的分式，再計算乘法，最后計算減法，化簡之后，計算x的值，再代入化簡好的分式中計算即可．
解：原式＝
＝
＝
＝，
，
∴原式＝．
【點評】本題考查分式的化簡求值和特殊角的三角函數(shù)值，正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交點．
（1）求證：△ADC≌△BDH．
（2）若AD＝5，DH＝3，求：三角形的邊BC的長．
【分析】（1）先證明AD＝BD，再證明∠HBD＝∠DAC，從而利用ASA證明△ADC≌△BDH可得到結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）△BDH≌△ADC，BD＝AD，DH＝CD，可以解決問題．
【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠HDB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵BE是△ABC的高，
∴BE⊥AC，
∴∠AEH＝90°，
∴∠DAC+∠AHE＝90°，
∵∠HDB＝90°，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
又∵∠BHD＝∠AHE，
∴∠HBD＝∠DAC，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS）；
（2）解：由（1）知：△BDH≌△ADC，
∴BD＝AD＝5，CD＝DH＝3，
∴BC＝BD+CD＝8．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△BDH≌△ADC．
19．如圖，C為線段AB外一點．
（1）求作四邊形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的四邊形ABCD中，CD的中點為N，連接BN，AN，BD，求證：BD與AN互相平分．
【分析】（1）先作∠ECF＝∠ABC得到CF∥AB，然后在CF上截取CD＝2AB；
（2）通過證明四邊形ABND為平行四邊形得到BD與AN互相平分．
【解答】（1）解：如圖，四邊形ABCD為所作；
（2）證明：∵CD的中點為N，CD＝2AB，
∴DN＝AB，
∵CD∥AB，
∴四邊形ABND為平行四邊形，
∴BD與AN互相平分．
【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．
20．李老師為了解學生完成數(shù)學課前預習的具體情況，對部分學生進行了跟蹤調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果分為四類，A：很好；B：較好；C：一般；D：較差．制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題：
（1）李老師一共調(diào)查了多少名同學？
（2）C類女生有 3 名，D類男生有 1 名，將下面條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）為了共同進步，李老師想從被調(diào)查的A類和D類學生中各隨機選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學恰好是一位男同學和一位女同學的概率．
【分析】（1）利用A類學生總數(shù)除以A類學生所占百分比可得調(diào)查學生總數(shù)；
（2）用調(diào)查的學生總數(shù)乘以C類所占的百分比，再減去C類的男生數(shù)，從而求出C類的女生數(shù)；用調(diào)查的學生總數(shù)減去A、B、C類的學生數(shù)和D類的女生數(shù)，從而求出D類的男生數(shù)，即可補全統(tǒng)計圖；
（3）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式即可得出答案．
解：（1）根據(jù)題意得：
3÷15%＝20（名），
答：李老師一共調(diào)查了20名同學；
故答案為：20；
（2）C類女生：20×25%﹣2＝3（名），
D類男生有20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（人），
如圖所示
；
故答案為：3，1；
（3）根據(jù)題意畫圖如下：
，
由樹狀圖可得共有6種可能的結(jié)果，其中恰好一名男同學和一名女同學的結(jié)果有3中，所以恰好是一名男同學和一名女同學的概率是＝．
【點評】此題主要考查了條形統(tǒng)計圖，以及概率，關(guān)鍵是掌握概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
21．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad90°＝ ．
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是 0＜sadA＜2 ．
（3）如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．
【分析】（1）當A＝90°，三角形為等腰直角三角形，底邊是腰的倍根據(jù)等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）即可得到答案；
（2）0°＜A＜180°，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到兩腰之和大于底邊即可得到0＜sadA＜2；
（3）如圖②中，在AB上截取AH＝AC，過H作HD⊥AC于D，由sinA＝＝，設(shè)HD＝3x，AH＝5x，可得AD＝＝4x，推出DC＝5x﹣4x＝x，在Rt△HDC中，HC＝＝x，根據(jù)sadA＝求值即可；
解：（1）根據(jù)正對定義，當頂角為90°時，等腰三角形底角為45°，
則三角形為等腰直角三角形，
則sad90°＝＝，
故答案為：．
（2）當∠A接近0°時，sadA接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為：0＜sadA＜2．
（3）如圖②中，在AB上截取AH＝AC，過H作HD⊥AC于D，
∴sinA＝＝，
設(shè)HD＝3x，AH＝5x，
∴AD＝＝4x，
∴DC＝5x﹣4x＝x，
在Rt△HDC中，HC＝＝x，
∴sadA＝＝；
【點評】本題考查了三角形綜合題、解直角三角形、角的正對定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會理由參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．
22．為了落實國務(wù)院惠農(nóng)的指示精神，最近市政府又出臺了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加．某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)副產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價為40元/千克．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與售價x（元/千克）有如下關(guān)系：y＝﹣2x+200．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤為w（元）．
（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）如果物價部門規(guī)定每天至少獲得1000元的銷售利潤，銷售價應(yīng)在什么范圍？
【分析】（1）根據(jù)題意可以寫出w與x的函數(shù)關(guān)系式，注意要求出x的取值范圍；
（2）將（1）中的函數(shù)關(guān)系式化為頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少；
（3）根據(jù)題意，可以令w＝1000，求出x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和題意，可以得到每天至少獲得1000元的銷售利潤時，銷售價應(yīng)在什么范圍．
解：（1）由題意得，
w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，
∵，
解得：40＜x＜100，
∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）；
（2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴當x＝70時，w取得最大值1800，
答：當售價定為70元/千克時，每天的銷售利潤最大，最大利潤為1800元；
（3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000，
解得x1＝50，x2＝90，
∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000，
∴50≤x≤90，
答：至少獲得1000元的銷售利潤，銷售價應(yīng)在50≤x≤90這個范圍內(nèi)．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程和求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
23．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，點E是對角線AC上一點，連接BE并延長交AD于點F，交CD的延長線于點G，連接DE．
（1）求證：EB2＝EF?EG；
（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的長．
【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，再用SAS證明△ABE≌△ADE得到ED＝EB，∠ABE＝∠ADE，進一步證明△EDF∽△EGD，得到ED2＝EF?EG，再由ED＝EB即可得到結(jié)論；
（3）先證明△ABC是等邊三角形．得到AC＝AB＝4．連接BD交AC于O，則AC⊥BD，，由勾股定理得到，求出OE＝1，則可求出，證明△EAF∽△ECB，推出．由（1）得EB2＝EF?EG，求出EG值，最后用BG＝BE+EG計算即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠EGD，
∴∠EGD＝∠ADE，
∵∠FED＝∠DEG，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF?EG；
∴EB2＝EF?EG；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形．
∴AC＝AB＝4．
連接BD交AC于O，如圖，則AC⊥BD，，
∴，
∵AE：EC＝1：3，
∴，
∴OE＝OA﹣AE＝1．
∴．
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC，
∴△EAF∽△ECB
∴，
∴．
由（2）得EB2＝EF?EG，
∴，
∴．
【點評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)進行求解．
24．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點．AO⊥BC于點O，交CD于點E．DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點M．
（1）求證：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度數(shù)；
（3）若N是AF的中點，如圖2，求證：ND＝NO．
【分析】（1）由DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn) 90° 得到的，得∠FDC＝90°，F(xiàn)D＝CD，∠DFC＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根據(jù)∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）設(shè)BC與DF的交點為I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC，，即，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，從而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延長ON交BF于點T，連接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而N是AF的中點，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），從而NT＝NO，F(xiàn)T＝AO，可證FT＝CO，△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故．
【解答】（1）證明：如圖：
∵DF是由線段DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn) 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，F(xiàn)D＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：設(shè)BC與DF的交點為I，如圖：
∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴＝，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）證明：延長ON交BF于點T，連接DT，DO，如圖：
∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中點，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，F(xiàn)T＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴．
【點評】本題考查相似三角形綜合應(yīng)用，涉及三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理．
25．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，并且與x軸交于另一點C（點C在點A的右側(cè)），點P是拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作PD∥y軸交AB于點D，點E為線段DB上一點，且DE＝，過點E作EF∥PD交拋物線于點F，當點P運動到什么位置時，四邊形PDEF的面積最大？并求出此時點P的坐標；
（3）如圖2，點F為AO的中點，連接BF，點G為y軸負半軸上一點，且GO＝2，沿x軸向右平移直線AG，記平移過程的直線為A'G'，直線A'G'交x軸于點M，交直線AB于點N．是否存在點M，使得△FMN為等腰三角形，若存在，直接寫出平移后點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）求出A、B的坐標，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），則D（t，t+4），過點E作EG⊥PD交于G，由DE＝，求出E（t﹣2，t+6），F(xiàn)（t﹣2，﹣t2+t+6），再由S四邊形PDEF＝×2×（PD+EF）＝﹣2（t+1）2+2，當t＝﹣1時，四邊形PDEF的面積最大，最大值為2，此時P（﹣1，6）；
（3）設(shè)直線AB向右平移m個單位長度，求出平移后的直線解析式為y＝﹣x+m﹣2，再分別求出M（﹣4+m，0），N（m﹣4，m），分三種情況討論：①當FM＝FN時，可求得M（﹣，0）；②當FM＝MN時，可求得M（，0）或（，0）；③當FN＝MN時，可求得M（﹣2，0）．
解：（1）令x＝0，則y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，則x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
將A（﹣4，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），
∵點P在第二象限內(nèi)，
∴﹣4＜t＜0，
∵PD∥y軸，
∴D（t，t+4），
∴PD＝﹣t2﹣4t，
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴∠PDE＝45°，
過點E作EG⊥PD交于G，
∵DE＝，
∴GE＝GD＝2，
∴E（t+2，t+6），
∵EF∥PD，
∴F（t+2，﹣t2﹣7t﹣6），
∴EF＝﹣t2﹣8t﹣12
∴S四邊形PDEF＝×2×（﹣t2﹣4t﹣t2﹣8t﹣12）＝﹣2（t+3）2+6，
∴當t＝﹣3時，四邊形PDEF的面積最大，最大值為6，
此時P（﹣3，4）；
（3）存在點M，使得△FMN為等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），點F為AO的中點，
∴F（﹣2，0），
∵GO＝2，點G在y軸負半軸上，
∴G（0，﹣2），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+h，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣2，
設(shè)直線AB向右平移m個單位長度，
∴平移后的直線解析式為y＝﹣x+m﹣2，
∴M（﹣4+m，0），
聯(lián)立方程組，
解得，
∴N（m﹣4，m），
∴FM2＝（2﹣m）2，F(xiàn)N2＝（m﹣2）2+（m）2，MN＝（m）2+（m）2，
①當FM＝FN時，（2﹣m）2＝（m﹣2）2+（m）2，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴M（﹣，0）；
②當FM＝MN時，（2﹣m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝或m＝，
∴M（，0）或（，0）；
③當FN＝MN時，（m﹣2）2+（m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣6（舍），
綜上所述：M點坐標為（﹣，0）或（，0）或（，0）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．

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