A．B．C．D．
2．（3分）下列圖形中的角是圓心角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：8D．1：16
4．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．50°D．65°
5．（3分）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，則DE的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．3C．4D．
6．（3分）將拋物線y＝x2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝（x+3）2+4B．y＝（x﹣3）2﹣4
C．y＝（x﹣3）2+4D．y＝（x+3）2﹣4
7．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，AC＝1，則tanB的值為（ ）
A．B．2C．D．
8．（3分）在一次炮彈發(fā)射演習(xí)中，記錄到一門(mén)迫擊炮發(fā)射的炮彈的飛行高度y米與飛行時(shí)間x秒的關(guān)系式為，當(dāng)炮彈落到地面時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
9．（3分）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）第二十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)徽的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)是1700多年前中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖，在由四個(gè)全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中間一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，連接BE．設(shè)∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1：n，tanα＝tan2β，則n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空題（每小題4分，共24分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．
11．（4分）已知＝，那么的值為 ．
12．（4分）已知某斜坡AB的坡度i＝1：1，則斜坡AB的坡角α的大小為 °．
13．（4分）如圖，CD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AC，DC的中點(diǎn)，EF＝3，則BD的長(zhǎng)為 ．
14．（4分）如圖，在△ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，且∠APC＝∠ACB，若AP＝4，AC＝6，則AB的長(zhǎng)為 ．
15．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，⊙O的直徑為5，，AC＝3，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．則CD的長(zhǎng)為 ．
16．（4分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是 .（只填寫(xiě)序號(hào)）
三、解答題（共86分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．
17．（8分）計(jì)算：．
18．（8分）如圖，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D．求證：△ABC∽△ADE．
19．（18分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，1），B（1，2），C（4，3）以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)畫(huà)出△ABC的位似圖形△A1B1C1，使它與△ABC的相似比為2：1．
20．（8分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣（m﹣2）x﹣3，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若這個(gè)二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C，請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABC的面積．
21．（9分）2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過(guò)程中，飛船從地面O處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面C處的雷達(dá)站測(cè)得AC的距離是8km，仰角為30°；10s后飛船到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得仰角為45°．
（1）求點(diǎn)A離地面的高度AO；
（2）求飛船從A處到B處的平均速度．（結(jié)果精確到0.1km/s，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）
22．（9分）如圖，OA＝OB，AB交⊙O于點(diǎn)C，D，OE是半徑，且OE⊥AB于點(diǎn)F．
（1）求證：AC＝BD．
（2）若OF＝2EF，CD＝8，求⊙O直徑的長(zhǎng)．
23．（10分）某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開(kāi)始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號(hào)設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件．設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為z萬(wàn)元/件，售價(jià)z與x之間的函數(shù)解析式是，其中x是正整數(shù)．當(dāng)x＝16時(shí)，z＝14；當(dāng)x＝20時(shí)，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為y件，且y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+20．當(dāng)12＜x≤20時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大？最大的利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？
24．（12分）在平行四邊形ABCD中（頂點(diǎn)A，B，C，D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，AB＝24，AD＝20，∠B為銳角，且．（1）如圖1，求AB邊上的高CH的長(zhǎng)；
（2）P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，C，D點(diǎn)，同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)C′，D′，
①如圖2，當(dāng)C′落在射線CA上時(shí)，求BP的長(zhǎng)；
②當(dāng)△AC′D′是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BP的長(zhǎng)．
25．（14分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)，c＞1）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC，垂足為N．
（1）若b＝﹣2，c＝3．
①點(diǎn)P坐標(biāo)為 ；點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ；
②點(diǎn)G為拋物線y＝﹣x2+bx+c對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則GB+GC的最小值為 ；
③當(dāng)時(shí)，求m的值；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣c，0），且MP∥AC，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
2023-2024學(xué)年福建省泉州五中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（單項(xiàng)選擇，每小題3分，共40分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．
1．【解答】解：sin30°＝，
故選：B．
2．【解答】解：由圓心角的定義得到：A、C、D圖形的角不是圓心角，故A、C、D不符合題意；
B圖形中的角是圓心角，故B符合題意．
故選：B．
3．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，
∴這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1：4，
故選：B．
4．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝130°，
∴∠A＝50°，
故選：C．
5．【解答】解：∵直線l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，
∴＝，
∴DE＝，
故選：D．
6．【解答】解：根據(jù)題意可得，拋物線平移后的解析式為：y＝（x+3）2﹣4，
故選：D．
7．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AC＝1，
∴BC＝＝＝2，
∴tanB＝＝，
故選：A．
8．【解答】解：在y＝﹣x2+10x中，令y＝0得：
0＝﹣x2+10x，
解得x＝0（舍去）或x＝50，
∴當(dāng)炮彈落到地面時(shí)，經(jīng)過(guò)的時(shí)間為50秒；
故選：C．
9．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則k＞0，
∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x＝＞0，
由圖象可知，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（1，k）和（k，1），
∴﹣1+b＝k，
∴k﹣b＝﹣1，
∴b＝k+1，
∴對(duì)于函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，
∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），
∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程＝﹣x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，
∴k﹣1≠0，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝k﹣1≠0，
∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象不過(guò)原點(diǎn)，
∴符合以上條件的只有A選項(xiàng)．
故選：A．
10．【解答】解：設(shè)AE＝a，DE＝b，則BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故選：C．
二、填空題（每小題4分，共24分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．
11．【解答】解：∵＝，
∴＝+1
＝+1
＝，
故答案為：．
12．【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：1，坡角為α，
∴tanα＝1，
∴α＝45°，
故答案為：45．
13．【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC、DC的中點(diǎn)，
∴EF是△ACD的中位線，
∴AD＝2EF＝6，
∵CD是△ABC的中線，
∴BD＝AD＝6；
故答案為：6．
14．【解答】解：∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
∴＝，
∵AP＝4，AC＝6，
∴62＝4AB，
∴AB＝9，
故答案為：9．
15．【解答】解：作直徑AE，連接BE，如圖，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，BE＝＝＝，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠C＝∠E，
∴△ACD∽△AEB，
∴＝，即＝
解得CD＝．
故答案為：．
16．【解答】解：由圖象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，
∴b＞0．
∴abc＜0．
∴①正確．
由題意，令ax2+bx+c＝kx，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．
又二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的兩根之和為﹣3+2＝﹣1，兩根之積為﹣3×2＝﹣6．
∴﹣＝﹣1，＝﹣6．
∴6a+c＝0．
又b＝2a，
∴3b+c＝0．
∴3b+2c＝c＜0．
∴②錯(cuò)誤，③正確．
∵﹣＝﹣1，b＝2a，
∴k＝a．
∴④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
三、解答題（共86分）．在答題卡上相應(yīng)題目的答題區(qū)域內(nèi)作答．
17．【解答】解：
＝1+﹣×
＝1+﹣1
＝．
18．【解答】證明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠D＝∠B，
∴△ABC∽△ADE．
19．【解答】解：如圖所示，△A1B1C1即為所求．
20．【解答】解：（1）∵該二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，﹣3），
∴﹣3＝22﹣（m﹣2）×2﹣3，
解得：m＝4．
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴二次函數(shù)頂點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，﹣3），
則AC∥x軸，如下圖；
則△ABC的面積＝AC×（yA﹣yB）＝2×（﹣3+4）＝1．
21．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴AO＝AC＝（km），
（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km，
∴OC＝AC＝4（km），
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠BCO＝∠OBC＝45°，
∴OB＝OC＝4（km），
∴AB＝OB﹣OA＝（4）km，
∴飛船從A處到B處的平均速度＝≈0.3（km/s）．
22．【解答】（1）證明：∵OE⊥AB，且OE過(guò)圓心O
∴CF＝DF，
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AF＝BF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD
（2）解：連接OC，設(shè)⊙O的半徑是r，
∵OF＝2EF，OF+EF＝OE＝r，
∴，
∵CD＝8，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴⊙O的直徑是．
23．【解答】解：（1）根據(jù)題意，把x＝16時(shí)，z＝14；x＝20時(shí)，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣，n＝18；
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z＝﹣x+18，
∴w＝（﹣x+18﹣10）（5x+20）
＝﹣x2+35x+160
＝﹣（x﹣14）2+405，
∵﹣＜0，12＜x≤20，
∴當(dāng)x＝14時(shí)，w取得最大值，最大值為405，
∴工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤(rùn)最大，最大的利潤(rùn)是405萬(wàn)元．
24．【解答】解：（1）在?ABCD中，BC＝AD＝20，
在Rt△BCH中，sinB＝＝，
∴CH＝BC?sinB＝16；
（2）①如圖2，作 CH⊥BA 于點(diǎn)H，
由（1）得，BH＝＝＝12，
作C'Q⊥BA交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則∠CHP＝∠PQC'＝90°，
∴∠C'PQ+∠PC'Q＝90°，
∵∠C'PQ+∠CPH＝90°，
∴∠PC'Q＝∠CPH，
由旋轉(zhuǎn)知，PC'＝PC，
∴△PQC′≌△CHP（AAS），
∴PQ＝CH＝16，
設(shè)BP＝x，C′Q＝PH＝12﹣x，QA＝PQ﹣PA＝x﹣8，
∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，
∴C′Q∥CH，
∴△AQC′∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴BP＝；
②∵點(diǎn)C、D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)C、D'，
∴△PCD≌△PC′D′，CD＝C'D'，CD⊥CD'，
∵AB∥CD，
∴C'D'⊥AB，
情況一：當(dāng)以C′為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖．
∵C'D'⊥AB，
∴C′落在線段BA延長(zhǎng)線上，
∵PC⊥PC'，
∴PC⊥AB，
由（1）知，PC＝16，BP＝12．
情況二：當(dāng)以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖，
設(shè)C'D'與射線BA的交點(diǎn)為T(mén)，
作CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵PC⊥PC'，
∴∠CPH+∠TPC'＝90°，
∵點(diǎn)C，D同時(shí)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得點(diǎn)C'，D'，
∴∠CPD＝∠C'PD'＝90°，PC＝PD，PC'＝PD'，
∴∠CPD＝∠C'PD'，
∴△PCD≌△PC'D'（SAS），
∴∠PCD＝∠PC'D'，
∵AB∥CD，
∴∠BPC＝∠PCD＝∠PC'D'，
∵∠C'PT+∠CPB＝90°，
∴∠C'PT+∠PC'T＝90°，
∴∠PTC'＝90°＝∠CHP，
∴△CPH≌△PC′T（AAS），
∴C′T＝PH，PT＝CH＝16，
設(shè)C′T＝PH＝t，則AP＝12﹣t，
∴AT＝PT﹣PA＝4+t，
∵∠C'AD'＝90°，C'D'⊥AB，
∴△ATD′∽△C′TA，
∴＝，
∴AT2＝C'T?TD'，
∴（4+t）2＝t（24﹣t），
化簡(jiǎn)得t2﹣8t+8＝0，
解得，t＝4±2，
∴BP＝BH+HP＝12±2，
情況三：當(dāng)以D'為直角頂點(diǎn)時(shí)，
點(diǎn)P落在BA的延長(zhǎng)線上，不符合題意．
綜上所述，BP＝12或16±2．
25．【解答】解：（1）①∵b＝﹣2，c＝3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴A（﹣3，0）．
故答案為：（﹣1，4），（﹣3，0）；
②如圖，連接AC交于點(diǎn)G，則此時(shí)GB+GC最小，
∵頂點(diǎn)P（﹣1，4），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴AG＝BG，
∴AG+CG＝BG+CG≥AC，
∴當(dāng)A、C、G三點(diǎn)共線時(shí)，GB+GC最小，
∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，與y軸相交于點(diǎn)C，
∴C（0，3），
∴GB+GC＝AG+CG＝AC＝3，
故答案為：3；
③如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，于直線AC交于點(diǎn)F，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC，
∴在Rt△AOC中，∠OAC＝45°，
∴在Rt△AEF中，EF＝AE，
∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3上的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，其中﹣c＜m＜，
∴﹣3＜m＜﹣1，
∴M（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，0），
∴EF＝AE＝m﹣（﹣3）＝m+3，
∴F（m，m+3），
∴FM＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴∠CAE＝45°，
在Rt△FMN中，∠AFE＝∠MFN＝∠CAE＝45°，
∴FM＝MN＝×＝，
∴﹣m2﹣3m＝，
解得m1＝，m2＝（舍去），
∴m的值為；
（2）∵點(diǎn)A（﹣c，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，其中c＞1，
∴﹣c2﹣bc+c＝0，
解得b＝1﹣c，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
∴M（m，﹣m2+（1﹣c）m+c），其中﹣c＜m＜，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），對(duì)稱軸為直線l：x＝．
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥l于點(diǎn)Q，連接MP，
則∠MQP＝90°，Q（，﹣m2+（1﹣c）m+c），
∵M(jìn)P∥AC，
∴∠QPM＝45°，
∴MQ＝QP，
∴﹣m＝﹣[﹣m2+（1﹣c）m+c]，
即（c+2m）2＝1，
解得c1＝﹣2m﹣1，c2＝﹣2m+1（舍去），
同②，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，與直線AC交于點(diǎn)F，
則點(diǎn)E（m，0），點(diǎn)F（m，﹣m﹣1），點(diǎn)M（m，m2﹣1），
∴AN+3MN＝AF+FN+3MN＝EF+2FM＝9，
∴（﹣m﹣1）+2（m2?1+m+1）＝9，
即2m2+m﹣10＝0，
解得m1＝﹣，m2＝2（舍去），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，）．

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