中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國(guó)通用)模型25圓綜合之中點(diǎn)弧模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【以下五個(gè)條件知一推四】
點(diǎn)C是的中點(diǎn)
AC＝BC
OC⊥AB
PC平分∠APB
(即)
【模型解讀】
類(lèi)型一中點(diǎn)弧與相似
點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，則
∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似

【補(bǔ)充】⑥PE?PC＝PA?PB
類(lèi)型二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)
【模型解讀】點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)
鄰邊相等+對(duì)角互補(bǔ) ?旋轉(zhuǎn)相似模型，一般用來(lái)求圓中三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.
??
由于對(duì)角互補(bǔ)，即，顯然共線(xiàn)，且，通過(guò)導(dǎo)角不難得出相似.
類(lèi)型三中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰
【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰
如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交圓O于D，證DI＝DC＝BD
? ?
【簡(jiǎn)證】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3
類(lèi)型四弧中點(diǎn)與垂徑定理
【模型解讀】
知1推5
AD平分∠CAB
D是的中點(diǎn)
DO⊥CB
例題精講
考點(diǎn)一：中點(diǎn)弧與相似三角形的綜合
【例1】．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝3，ED＝4，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)______
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，則BC?CD＝．
【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD＝CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F．若sin∠CAB＝，DF＝5，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)______
考點(diǎn)二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)的綜合
【例2】.在的內(nèi)接四邊形中，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是．

?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，已知是的弦，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且不與、重合，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，．
（1）求證：是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)在弦上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．

考點(diǎn)三：中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰三角形
【例3】．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、DC、BI．求證：DB＝DC＝DI．
【變式3-1】．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線(xiàn)與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD、BA相交于點(diǎn)F，∠ADF的平分線(xiàn)交AF于點(diǎn)G．
（1）求證：DG∥CA；
（2）求證：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的長(zhǎng)．
【變式3-2】．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．
（1）求證：ED＝EC；
（2）求證：AF是⊙O的切線(xiàn)；
（3）如圖2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長(zhǎng)．
考點(diǎn)四: 弧中點(diǎn)與垂徑定理
【例4】．如圖，為的直徑，，為圓上的兩點(diǎn)，，弦，相交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
?變式訓(xùn)練
【變式4-1】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．
（1）求證：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的長(zhǎng)．
【變式4-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，AC、BE交于點(diǎn)D，過(guò)A的切線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．

考點(diǎn)五弧中點(diǎn)與垂徑模型（三等弧模型）
【例5】.如圖，是的直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的弦，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，連接，，．
（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．

1．如圖，在⊙O中AB為直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，EF∥AB，連接AC交EF于點(diǎn)D，若已知DF＝2DE，則CD：AD的值為（）
A．1：3B．1：2C．1：2D．1：4
2．如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（）
A．2B．C．D．1
3．在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是．
4．如圖，∠BAC的平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．
5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半徑和AC的長(zhǎng)．
6．如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．
（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．
（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，
①求證：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．
7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)；
（2）若⊙O的半徑為5，D是的中點(diǎn)，求弦CE的長(zhǎng)．
8．如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于⊙O點(diǎn)E，連接AE、BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．
（1）求證：AF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．
9．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式；
（2）如圖②，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，試探究線(xiàn)段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：BC＝AB；
（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝8，求MN?MC的值．
11．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點(diǎn)M，將沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P，使AP＝OA，連接PC
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（3）點(diǎn)G為的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E．交于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問(wèn)GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣，0），B（3，0），以AB為直徑的⊙G交y軸于C、D兩點(diǎn)．
（1）填空：請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙G的半徑r、圓心G的坐標(biāo)：r＝；G（，）；
（2）如圖2，直線(xiàn)y＝﹣x+5與x，y軸分別交于F，E兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)T（2，m），求證：直線(xiàn)EF是⊙G的切線(xiàn)．
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、T兩點(diǎn)），連接AT、CM、TM，CM交AT于點(diǎn)N．試問(wèn)，是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿(mǎn)足CN?CM＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
13．已知：如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣x+m與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D，連接DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的⊙M的切線(xiàn)分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線(xiàn)FG的解析式；
（3）在條件（2）下，設(shè)P為上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連接PA交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿(mǎn)足AH?AP＝k？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

模型介紹
【以下五個(gè)條件知一推四】
點(diǎn)C是的中點(diǎn)
AC＝BC
OC⊥AB
PC平分∠APB
(即)
【模型解讀】
類(lèi)型一中點(diǎn)弧與相似
點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，則
∠1＝∠2，∠PCB為公共角，子母型相似

【補(bǔ)充】⑥PE?PC＝PA?PB
類(lèi)型二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)
【模型解讀】點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)C是的中點(diǎn)
鄰邊相等+對(duì)角互補(bǔ) ?旋轉(zhuǎn)相似模型，一般用來(lái)求圓中三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系.
??
由于對(duì)角互補(bǔ)，即，顯然共線(xiàn)，且，通過(guò)導(dǎo)角不難得出相似.
類(lèi)型三中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰
【模型講解】外接圓+內(nèi)心?得等腰
如圖，圓O是△ABC外接圓圓心，I是三角形ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交圓O于D，證DI＝DC＝BD
? ?
【簡(jiǎn)證】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5 ∴∠1＝∠2＋∠3
類(lèi)型四弧中點(diǎn)與垂徑定理
【模型解讀】
知1推5
AD平分∠CAB
D是的中點(diǎn)
DO⊥CB
例題精講
考點(diǎn)一：中點(diǎn)弧與相似三角形的綜合
【例1】．如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝3，ED＝4，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)______
解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠D，
∵∠BAD＝∠BAD，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∴AB2＝3×7＝21，
∴AB＝．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)P，且AB＝AD，若AC＝7，AB＝3，則BC?CD＝ 40 ．
解：∵AB＝AD＝3，
∴＝，
∴∠ADP＝∠ACD，
∵∠DAP＝∠CAD，
∴△ADP∽△ACD，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝，PC＝AC﹣PA＝7﹣＝，
∵∠CBP＝∠CAD，∠BCP＝∠ACD，
∴△CBP∽△CAD，
∴＝，
∴BC?CD＝CA?CP＝7×＝40．
故答案為：40．
【變式1-2】．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，AD＝CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接AC交DE于點(diǎn)F．若sin∠CAB＝，DF＝5，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)______
解：連接BD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
而∠DCA＝∠ABD，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，
∴∠ABD+∠BDE＝90°，
而∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴FD＝FA＝5，
在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，
∴EF＝3，
∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，
∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，
∴△ADE∽△DBE，
∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，
∴BE＝16，
∴AB＝4+16＝20，
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，
∴BC＝20×＝12．
考點(diǎn)二中點(diǎn)弧與旋轉(zhuǎn)的綜合
【例2】.在的內(nèi)接四邊形中，，，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是．

解：如圖，過(guò)作于，于，
則，
點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，
，，
，，，
、、、四點(diǎn)共圓，，
在和中，
，，
在和中，，
，，
設(shè)，
，，，，解得：，即，
，故答案為．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，已知是的弦，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，是弦上一動(dòng)點(diǎn)，且不與、重合，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，．
（1）求證：是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)在弦上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．

（1）證明：如圖，連接，，，交于，
，，
是等邊三角形，，
點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，
，
，
，，
，，，
，，是的切線(xiàn)；
（2）解：，，
，，，，，
；
（3）結(jié)論：，的值不變．
理由：如圖，連接，，交于，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，
，，
由（1）得，，，
，
，
，，
，，，，
，，
，，，
，的值不變．
考點(diǎn)三：中點(diǎn)弧+內(nèi)心可得等腰三角形
【例3】．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AI交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD、DC、BI．求證：DB＝DC＝DI．
證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD＝∠DAC，∠ABI＝∠IBC，
∵⊙O是△ABC的外接圓，∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴BD＝CD，
∵＝，
∴∠CAD＝∠CBD，
∵∠DBI＝∠IBC+∠CBD，∠BID＝∠ABI+∠BAI，
∴∠DBI＝∠BID，
∴DB＝DI，
∴DB＝DC＝DI．
?變式訓(xùn)練
【變式3-1】．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長(zhǎng)線(xiàn)與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)CD、BA相交于點(diǎn)F，∠ADF的平分線(xiàn)交AF于點(diǎn)G．
（1）求證：DG∥CA；
（2）求證：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的長(zhǎng)．
（1）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）證明：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BDA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
【變式3-2】．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．
（1）求證：ED＝EC；
（2）求證：AF是⊙O的切線(xiàn)；
（3）如圖2，若點(diǎn)G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長(zhǎng)．
解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；
（2）如圖，連接OA，
∵AB＝AC，∴，∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF＋∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，
∴AF為⊙O的切線(xiàn)；
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2＝BC?BE，
∵BC?BE＝25，∴AB＝5，
如圖，連接AG，
∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，∠BGA＝∠GAC＋∠ACB，
∵點(diǎn)G為內(nèi)心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD＋∠DAG＝∠GAC＋∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．

考點(diǎn)四: 弧中點(diǎn)與垂徑定理
【例4】．如圖，為的直徑，，為圓上的兩點(diǎn)，，弦，相交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
（1）證明：，，
，
，，；
（2）連接，
，，，
，，
，，
，即，解得，，
是直徑，，
，的半徑為．
?變式訓(xùn)練
【變式4-1】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點(diǎn)G，連接CD，AD，BF．
（1）求證：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝4，求BF的長(zhǎng)．
（1）證明：∵C是中點(diǎn)，
∴＝，
∵AB是⊙O的直徑，且CF⊥AB，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解：如圖，連接OF，設(shè)⊙O的半徑為r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣42，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣4）2，
∵＝＝，
∴＝，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣42＝4[r2﹣（r﹣4）2]，
解得：r＝2（舍）或6，
∴BF2＝EF2+BE2＝62﹣（6﹣4）2+42＝48，
∴BF＝4．
【變式4-2】．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，AC、BE交于點(diǎn)D，過(guò)A的切線(xiàn)交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（1）求證：AD＝AF；
（2）若，求tan∠ODA的值．

解：（1）連接AE，OE交AC于H，
∵AB是直徑，
∴∠AEB＝90°，
∴∠B+∠BAE＝90°，
∵AF是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠BAF＝90°，
∴∠BAE+∠FAE＝90°，
∴∠B＝∠FAE，
∵點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△ADE和△AFE中，
，
∴△ADE≌△AFE（ASA），
∴AD＝AF；
（2）∵，
∴設(shè)AO＝2x，AF＝3x，
∴AB＝4x，
∴BF＝＝＝5x，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AE，
∴AE＝x，
∴EF＝＝x，
∵點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn)，
∴OE⊥AC，AH＝CH，
∵∠DAE＝∠EAF，∠AEF＝∠AHE＝90°，
∴△AEH∽△AFE，
∴，
∴＝＝，
∴AH＝x，HE＝x，
∴OH＝x，HD＝x，
∴tan∠ODA＝＝．
考點(diǎn)五弧中點(diǎn)與垂徑模型（三等弧模型）
【例5】.如圖，是的直徑，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的弦，且，垂足為，連接交于點(diǎn)，連接，，．
（1）求證：；
（2）若，求的長(zhǎng)．

證明：（1）是的中點(diǎn)，，
是的直徑，且，，，，
在和中，
，；
（2）如圖，連接，設(shè)的半徑為，
中，，即，
中，，即，
，，，
，即，
解得：（舍或3，
，；

1．如圖，在⊙O中AB為直徑，C為弧AB的中點(diǎn)，EF∥AB，連接AC交EF于點(diǎn)D，若已知DF＝2DE，則CD：AD的值為（）
A．1：3B．1：2C．1：2D．1：4
解：如圖，連接CO交EF于H，連接AE，CF，BC，
∵DF＝2DE，
∴設(shè)DE＝x，DF＝2x，
∴EF＝3x，
∵C為弧AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB，∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，∠CDH＝45°，
∴EH＝HF＝x，
∴DH＝x＝CH，
∴CD＝x，
∵∠EAD＝∠CFD，∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△FDC，
∴，
∴，
∴AD＝2x，
∴CD：AD＝1：4．
故選：D．
2．如圖，已知點(diǎn)A是以MN為直徑的半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的點(diǎn)．若⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為（）
A．2B．C．D．1
解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，交MN于點(diǎn)P，則PA+PB最小，
連接OA′，AA′，OB，
∵點(diǎn)A與A′關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1， ∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．故選：C．
3．在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，∠BAD＝60°，點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是．
解：如圖2中，過(guò)C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
則∠E＝∠CFD＝∠CFA＝90°，
∵點(diǎn)C為弧BD的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠BAC＝∠DAC，BC＝CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，
∴∠D＝∠CBE，
在△CBE和△CDF中
，
∴△CBE≌△CDF，
∴BE＝DF，
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC，
∴AE＝AF，
設(shè)BE＝DF＝x，
∵AB＝6，AD＝10，
∴AE＝AF＝x+3，
∴10﹣x＝6+x，
解得：x＝2，即AE＝8，
∴AC＝＝，故答案為．
4．如圖，∠BAC的平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．
（1）證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠EBC+∠CBD，∠CBD＝∠CAD，
∴∠BED＝∠EBD，
∴DE＝DB；
（2）解：連接CD，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直徑，
∴∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
∵BD＝4，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圓的半徑為2．
5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC為弦，D是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于F．
（1）求證：EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若sin∠F＝，AE＝4，求⊙O的半徑和AC的長(zhǎng)．
（1）證明：連接OD，OC．
∵D是的中點(diǎn)，
∴∠BOD＝∠BOC，
∵∠A＝∠BOC，
∴∠BOD＝∠A，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠ODF＝90°，
即EF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：在△AEF中，∵∠E＝90°，sin∠F＝，AE＝4，
∴AF＝＝12．
設(shè)⊙O的半徑為R，則OD＝OA＝OB＝R，AB＝2R．
在△ODF中，∵∠ODF＝90°，sin∠F＝，
∴OF＝3OD＝3R．
∵OF+OA＝AF，
∴3R+R＝12，
∴R＝3．
連接BC，則∠ACB＝90°．
∵∠E＝90°，
∴BC∥EF，
∴AC：AE＝AB：AF，
∴AC：4＝2R：4R，
∴AC＝2．
故⊙O的半徑為3，AC的長(zhǎng)為2．

6．如圖，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF．
（1）設(shè)⊙O的半徑為1，若∠BAC＝30°，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)．
（2）連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，
①求證：PE＝PF．
②若DF＝EF，求∠BAC的度數(shù)．
（1）解：∵OE⊥AB，∠BAC＝30°，OA＝1，
∴∠AOE＝60°，OE＝OA＝，AE＝EB＝OE＝，
∵AC是直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OCB是等邊三角形，
∵OF＝FC，
∴BF⊥AC，
∴∠AFB＝90°，
∵AE＝EB，
∴EF＝AB＝．
（2）①證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，交OB于H，連接EH．
∵∠FGA＝∠ABC＝90°，
∴FG∥BC，
∴△OFH∽△OCB，
∴＝＝，同理＝，
∴FH＝OE，
∵OE⊥AB．FH⊥AB，
∴OE∥FH，
∴四邊形OEHF是平行四邊形，
∴PE＝PF．
解法二：可以作OB中點(diǎn)G，連接FG，EG，證明OEFG是平行四邊形即可，得對(duì)角線(xiàn)互相平分．
②∵OE∥FG∥BC，
∴＝＝1，
∴EG＝GB，
∴EF＝FB，
∵DF＝EF，
∴DF＝BF，
∵DO＝OB，
∴FO⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°．
解法二：可以過(guò)E點(diǎn)作EG∥OB交AC于點(diǎn)G，連接DG．
∵EG∥OB，AE＝EB，
∴AG＝OG
∵OF＝FC，
∴OG＝OF，
∴OD＝FG，
∵AE⊥OE，AG＝OG，
∴EG＝AO＝OG，
∵∠DOG＝∠FGE，
∴DOG≌△FGE（SAS），
∴DG＝EF，
∵DF＝EF，
∴DG＝DF，
∴DO⊥FG，
∴EG⊥AO，
∴EA＝EO，
∴∠BAC＝45°
7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)H，連接AD，分別交CE、BC于點(diǎn)P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)；
（2）若⊙O的半徑為5，D是的中點(diǎn)，求弦CE的長(zhǎng)．
（1）證明：∵CE⊥AB，AB是直徑，
∴，
又∵
∴，
∴∠CAD＝∠ACE，
∴AP＝CP，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90?，
∴∠ACE+∠BCP＝90°，∠CAD+∠CQA＝90°，
∴∠BCP＝∠CQA，
∴CP＝PQ，
∴AP＝PQ，
即P是線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)；
（2）解：∵，AB是直徑，
∴∠ACB＝90?，∠ABC＝30?，
又∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝5，BC＝5，
∴CH＝BC＝，
又∵CE⊥AB，
∴CH＝EH，
∴CE＝2CH＝2×＝5．
8．如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D是弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A、B重合，CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于⊙O點(diǎn)E，連接AE、BE，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，垂足為F，∠ABC＝30°．
（1）求證：AF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若BC＝6，CD＝3，求DE的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在弦AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出其變化范圍；如果不變，請(qǐng)求出其值．
（1）證明：如圖，連接AC，OA，OC，OC交AB于H，
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠CAO＝∠ACO＝60°，
∵點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，
∴，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴∠CHA＝180﹣∠OCA﹣∠CAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切線(xiàn)；
（2）解：∵，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴，
∴，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9；
（3）結(jié)論：，的值不變．
理由：如圖，連接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，
∵，
∴CB＝CA，
由（1）得，OC⊥AB，
∴BH＝AH＝，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BEC＝∠AEC＝30°，
∴BH＝BCcs30°＝BC，
∴，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝30°，
∴∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴，
∴＝，
∴的值不變．
解法二：連接AC，可知BC＝AC，∠BCA＝120°，可得BC：AC：AB＝1：1：，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題．
9．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系式 AB+AC＝AD ；
（2）如圖②，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，試探究線(xiàn)段AB，AC，AD之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，若BC＝m，BD＝n，求的值（用含m，n的式子表示）．
解：（1）如圖①在A(yíng)D上截取AE＝AB，連接BE，
∵∠BAC＝120°，∠BAC的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠DBC＝∠DAC＝60°，∠DCB＝∠BAD＝60°，
∴△ABE和△BCD都是等邊三角形，
∴∠ABE＝∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC，
又∵AB＝BE，BC＝BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC，
∴AD＝AE+DE＝AB+AC；
故答案為：AB+AC＝AD．
（2）AB+AC＝AD．理由如下：
如圖②，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)M，使BM＝AC，連接DM，
∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O，
∴∠MBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD＝AD，∠M＝∠CAD＝45°，
∴MD⊥AD．
∴AM＝AD，即AB+BM＝AD，
∴AB+AC＝AD；
（3）如圖③，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝AC，連接DN，
∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O，
∴∠NBD＝∠ACD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND＝AD，∠N＝∠CAD，
∴∠N＝∠NAD＝∠DBC＝∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN＝AB+BN＝AB+AC，BC＝m，BD＝n，
∴＝．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）求證：BC＝AB；
（3）點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝8，求MN?MC的值．
（1）證明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO．
又∵∠COB＝2∠A，∠COB＝2∠PCB，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線(xiàn)．
（2）證明：∵AC＝PC，
∴∠A＝∠P，
∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．
又∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，
∴∠COB＝∠CBO，
∴BC＝OC．
∴BC＝AB．
（3）解：連接MA，MB，
∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BCM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠BCM＝∠ABM．
∵∠BMN＝∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴＝．
∴BM2＝MN?MC．
又∵AB是⊙O的直徑，＝，
∴∠AMB＝90°，AM＝BM．
∵AB＝8，
∴BM＝4 ．
∴MN?MC＝BM2＝32．
11．如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦．AB與CD交于點(diǎn)M，將沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，延長(zhǎng)OA至P，使AP＝OA，連接PC
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（3）點(diǎn)G為的中點(diǎn)，在PC延長(zhǎng)線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)Q，連接QG交AB于點(diǎn)E．交于點(diǎn)F（F與B、C不重合）．問(wèn)GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（1）解：如圖，連接OC，
∵沿CD翻折后，點(diǎn)A與圓心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2＝2＝2；
（2）證明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切線(xiàn)；
（3）解：GE?GF是定值，證明如下，
連接GO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)H，連接HF
∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE?GF＝OG?GH＝2×4＝8．

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣，0），B（3，0），以AB為直徑的⊙G交y軸于C、D兩點(diǎn)．
（1）填空：請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙G的半徑r、圓心G的坐標(biāo)：r＝；G（，）；
（2）如圖2，直線(xiàn)y＝﹣x+5與x，y軸分別交于F，E兩點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)T（2，m），求證：直線(xiàn)EF是⊙G的切線(xiàn)．
（3）在（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)M是⊙G優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括A、T兩點(diǎn)），連接AT、CM、TM，CM交AT于點(diǎn)N．試問(wèn)，是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿(mǎn)足CN?CM＝k？如果存在，求出k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）∵A（﹣，0），B（3，0），AB是直徑，
∵AB＝4，
∴⊙G的半徑為2，G（，0），
故答案為r＝2，，0．
（2）如圖2中，連接GT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，
∵直線(xiàn)y＝﹣x+5與x、y軸交于E、F兩點(diǎn)，則E（0，5），F(xiàn)（5，0），
∵直線(xiàn)y＝﹣x+5經(jīng)過(guò)T（2，m），則m＝﹣×2+5＝3，
∴T（2，3），
故TH＝3．GH＝，HF＝3，
在Rt△HGT中，GT＝r＝2，
∴GH＝GT，
∴∠GTH＝30°，
在Rt△THF中，tan∠FTH＝＝＝，
∴∠FTH＝60°，
∴∠GTF＝∠GTH+∠HTF＝30°+60°＝90°，
∴GT⊥EF，
∴直線(xiàn)EF是⊙G的切線(xiàn)．
（3）如圖3中，連接CG、TG、TC．
在Rt△COG中，OG＝，CG＝r＝2，
∴OC＝3，∠CGO＝60°．
∵C（0，3），T（2，3），
∴CT∥x軸，
∴CT＝2，即CT＝CG＝GT＝2，
∴△CGT是等邊三角形，
∴∠CGT＝∠TCG＝∠CGA＝60°，
∴∠CTA＝∠CGA＝30°，∠M＝∠CGT＝30°，
∴∠CTA＝∠M，
在△CNT和△CTM中，
∵∠TCN＝∠MTC，∠CTN＝∠M，
∴△CNT∽△CTM，
∴＝，
∴CN?CM＝CT2＝（2）2＝12． ∴k＝CN?CM＝12．
13．已知：如圖，拋物線(xiàn)y＝x2﹣x+m與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，∠ACB＝90°，
（1）求m的值及拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)A、B、C的三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D，連接DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的⊙M的切線(xiàn)分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、G，求直線(xiàn)FG的解析式；
（3）在條件（2）下，設(shè)P為上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連接PA交y軸于點(diǎn)H，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)k，始終滿(mǎn)足AH?AP＝k？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）由拋物線(xiàn)可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），且m＜0．
設(shè)A（x1，0），B（x2，0）．
則有x1?x2＝3m
又OC是Rt△ABC的斜邊上的高，
∴△AOC∽△COB
∴
∴，
即x1?x2＝﹣m2
∴﹣m2＝3m，解得m＝0或m＝﹣3
而m＜0，
故只能取m＝﹣3（3分）
這時(shí)，y＝x2﹣x﹣3＝﹣4
故拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣4）．
（2）由已知可得：M（，0），A（﹣，0），B（3，0），
C（0，﹣3），D（0，3）
∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝，也是⊙M的對(duì)稱(chēng)軸，連接CE
∵DE是⊙M的直徑，
∴∠DCE＝90°，
∴直線(xiàn)x＝，垂直平分CE，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣3）
∵，∠AOC＝∠DOM＝90°，
∴∠ACO＝∠MDO＝30°，
∴AC∥DE
∵AC⊥CB，
∴CB⊥DE
又∵FG⊥DE，
∴FG∥CB
由B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)的坐標(biāo)易求直線(xiàn)CB的解析式為：
y＝﹣3
可設(shè)直線(xiàn)FG的解析式為y＝+n，把（2，﹣3）代入求得n＝﹣5
故直線(xiàn)FG的解析式為y＝﹣5．
（3）存在常數(shù)k＝12，滿(mǎn)足AH?AP＝12，
假設(shè)存在常數(shù)k，滿(mǎn)足AH?AP＝k
連接CP，
∵AB⊥CD，
∴＝
∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO），
又∵∠CAH＝∠PAC，
∴△ACH∽△APC，
＝，
∴即AC2＝AH?AP，
在Rt△AOC中，AC2＝AO2+OC2＝（）2+（3）2＝12，
∴AH?AP＝k＝12；
（也可以證明△AOH∽△APB，可得AH?AP＝AO?AB，由此即可解決問(wèn)題）
聲明

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