中考數(shù)學(xué)解題大招復(fù)習(xí)講義(全國(guó)通用)模型18奔馳模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

因?yàn)橄癖捡Y車標(biāo) ，所以叫奔馳模型 .

?【結(jié)論】如圖 ,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
則①∠APB=150o， ②S△ABC＝34AB2＝253+364

?關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來(lái)
各種旋法：

?超酷炫又實(shí)用：S=34a2

例題精講
【例1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，BD＝1，DC＝2，AD＝，則∠ADB＝．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，則∠ADC的度數(shù)是（）
A．40°B．45°C．105°D．55°
【變式1-2】．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．則S△ABP+S△BPC＝．
【變式1-3】．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝1，PB＝PD＝，則∠APB的度數(shù)為．

1．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝2，OB＝1，OC＝，則△AOB與△BOC的面積之和為（）
A．B．C．D．
2．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為（）
A．24+9B．48+9C．24+18D．48+18
3.如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段 BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 BO′，有下列結(jié)論∶
①△BO′A 可以由△BOC繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到;
②點(diǎn) O與O′的距離為 4; ③∠AOB=150°;
④S四邊形AOBO′ ＝6＋33; ⑤S?AOC＋S?AOB ＝6＋943
其中正確的結(jié)論是（ )

A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
4.如圖，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，對(duì)角線AC平分∠BAD，點(diǎn) P是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，則菱形 ABCD的面積等于 .
5．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，，PC＝1，則∠BPC＝．
6．已知P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，則△ABC的面積＝．
7．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為．
8．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有（填序號(hào)）
①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
9．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．
（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；
（2）求∠APB的度數(shù)．

10．下面是一道例題及其解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．
解：將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′為三角形．
∴∠APB的度數(shù)為．
（2）類比延伸
如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APD＝135°，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
11．【方法呈現(xiàn)】：
（1）已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖1），設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；
【實(shí)際運(yùn)用】：
（2）如圖2，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝BC，連接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大??；
【拓展延伸】：
（3）如圖3，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC的面積是（直接填答案）
12．（1）如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．
分析：要直接求∠APB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)．
解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．
∴ ＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4，＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝ °
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．
（3）拓展應(yīng)用．如圖（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為．
13．（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC現(xiàn)將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長(zhǎng)為，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．
（變式猜想）（2）如圖2，若點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請(qǐng)猜想∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)度為．
14．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)．
小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決（如圖2）．
請(qǐng)回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于．
參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（?3，1），連接AO．如果點(diǎn)B是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC．當(dāng)C（x，y）在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．

模型介紹
因?yàn)橄癖捡Y車標(biāo) ，所以叫奔馳模型 .

R【結(jié)論】如圖 ,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
則①∠APB=150o， ②S△ABC＝34AB2＝253+364

R關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來(lái)
各種旋法：

R超酷炫又實(shí)用：S=34a2

例題精講
【例1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，BD＝1，DC＝2，AD＝，則∠ADB＝ 150 °．
解：將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD'，
∴BD＝BD'，AD'＝CD，
∴∠DBD'＝60°，
∴△BDD'是等邊三角形，
∴∠BDD'＝60°，
∵BD＝1，DC＝2，AD＝，
∴DD'＝1，AD'＝2，
在△ADD'中，AD'2＝AD2+DD'2，
∴∠ADD'＝90°，
∴∠ADB＝60°+90°＝150°，
故答案為150．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，則∠ADC的度數(shù)是（）
A．40°B．45°C．105°D．55°
解：連接DE，
由旋轉(zhuǎn)可知，△ACE≌△ABD，
∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，
∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△DAE是等邊三角形，
∴DE＝AD＝3，
∵32+32＝（3）2，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，∠EDC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°，故選：C．
【變式1-2】．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．則S△ABP+S△BPC＝ 24+16 ．
解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP'B，連接PP′，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
旋轉(zhuǎn)角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′為等邊三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC＝S四邊形AP'BP＝S△BP'P+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16
故答案為：24+16
【變式1-3】．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝1，PB＝PD＝，則∠APB的度數(shù)為 105° ．
解：如圖，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接EP，
∴△APB≌△AED，
∴AE＝AP＝1，PB＝DE＝，∠PAE＝90°，∠AED＝∠APB，
∴PE＝AE＝，∠AEP＝∠APE＝45°，
∴DE＝DP＝PE＝，
∴△DEP是等邊三角形，
∴∠DEP＝60°，
∴∠AED＝105°＝∠APB，
故答案為：105°．

1．如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA＝2，OB＝1，OC＝，則△AOB與△BOC的面積之和為（）
A．B．C．D．
解：將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDB，連接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等邊三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
∴△AOB與△BOC的面積之和為S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，
故選：C．
2．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為（）
A．24+9B．48+9C．24+18D．48+18
解：連接PQ，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠PAQ﹣∠PAB＝∠CAB﹣∠PAB，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△AQB中
，
∴△APC≌△AQB（SAS），
∴CP＝BQ＝10，
在△BPQ中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10，
而62+82＝102，
∴PQ2+PB2＝BQ2，
∴△BPQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴四邊形APBQ的面積＝S△BPQ+S△APQ
＝×6×8+×62
＝24+9．
故選：A．
3.如圖，O是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段 BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到線段 BO′，有下列結(jié)論∶
①△BO′A 可以由△BOC繞點(diǎn)B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°得到;
②點(diǎn) O與O′的距離為 4; ③∠AOB=150°;
④S四邊形AOBO′ ＝6＋33; ⑤S?AOC＋S?AOB ＝6＋943
其中正確的結(jié)論是（ )

A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
解：如圖，連接 OO′.
①由奔馳模型推導(dǎo)過(guò)程可知∠OBO′=60°，△BOC≌△BO′A，∠②AOB=150°，△BOO′為等邊三角形，所以 OO′=OB=4，故①②③正確. S四邊形AOBO′＝S?AOO′ ＋S?OBO′＝12×3×4 ＋34×42=6+43,故④錯(cuò)誤.
如圖，將△AOB繞點(diǎn) A 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，使得 AB與AC 重合，點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)O".

易知△AOO〞是邊長(zhǎng)為 3 的等邊三角形，△COO〞是直角三角形，
則 S?AOC ＋S?AOB＝S四邊形AOBO′＝S?COO "＋S?AOO "
＝12×3×4 ＋34×32=6+943 ，故⑤正確.綜上所述，正確的結(jié)論為①②③⑤.故選 A.
4.如圖，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，對(duì)角線AC平分∠BAD，點(diǎn) P是△ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，則菱形 ABCD的面積等于 .
解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BP，交 BP的延長(zhǎng)線于H，
由奔馳模型可知∠APB=150°， ∴∠APH=30°，
AH＝12PA＝3,PH＝33,∴BH=8＋33,∴AB2＝AH2＋BH2＝100＋483 ,S菱形ABCD＝2S?ABC＝2 ×34×AB2＝503＋72
5．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若，，PC＝1，則∠BPC＝ 135° ．
解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
把△BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，連接PE，如圖，
∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，
在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，
∴PC2+PE2＝CE2，
∴△PCE為直角三角形，∠CPE＝90°，
∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．
故答案為：135°．
6．已知P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，則△ABC的面積＝．
解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
把△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°可得到△ABD，如圖，
∴AD＝AP＝3，BD＝PC＝4，∠DAP＝60°，∠ADB＝∠APC，
∴△ADP為等邊三角形，
∴DP＝AP＝3，∠ADP＝60°，
在△BDP中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5，
而32+42＝52，
∴DP2+DB2＝BP2，
∴△BDP為直角三角形，∠BDP＝90°，
∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝150°；
作BE⊥AD于E，如圖
∵∠ADB＝150°，
∴∠BDE＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝BD＝2，DE＝BE＝2，
∴AE＝AD+DE＝3+2，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝，
∴S△ABC＝×（）2＝，
故答案為：．
7．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，則四邊形APBQ的面積為 24+9 ．
解：連接PQ，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，
∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，
∴△APQ為等邊三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC＝QB＝10，
在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，
而64+36＝100，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四邊形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．
故答案為24+9．
8．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結(jié)論中正確有（填序號(hào)）
①△BPQ是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等邊三角形，
所以①正確；②PQ＝PB＝4，PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；
③∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，所以③正確；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯(cuò)誤．
所以正確的有①②③．
9．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB．
（1）求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離；
（2）求∠APB的度數(shù)．

解：（1）連接PP′，由題意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′為等邊三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
10．下面是一道例題及其解答過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
（1）如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．
解：將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′為三角形．
∴∠APB的度數(shù)為．
（2）類比延伸
如圖2，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若∠APD＝135°，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
解：（1）如圖1，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′為直角三角形．∴∠APB的度數(shù)為90°+60°＝150°．故答案為：直角；150°；
（2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下：
如圖2，把△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，連接PP′．
則P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°，
∵∠APD＝135°，∴∠AP′B＝∠APD＝135°，∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2．
11．【方法呈現(xiàn)】：
（1）已知，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連PA、PB、PC．將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置（如圖1），設(shè)AB的長(zhǎng)為a，PB的長(zhǎng)為b（b＜a），求△PAB旋轉(zhuǎn)到△P′CB的過(guò)程中邊PA所掃過(guò)區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；
【實(shí)際運(yùn)用】：
（2）如圖2，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AB＝BC，連接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；
【拓展延伸】：
（3）如圖3，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5，則△APC的面積是（直接填答案）
解：（1）∵將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB＝S△P'CB，S陰影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4（a2﹣b2）；
（2）如圖2，連接PP′．
∵將△PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，與△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，
∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PB＝42，∠BP′P＝45°．
在△CPP′中，∵PP′＝42，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC2，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，
∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；
（3）如圖3①，將△PAB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△P1AC，連接PP1，
∴△APB≌△AP1C，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，
∴△PAP1是等邊三角形，∴PP1＝AP＝3，
∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，∴PP12+CP12＝CP2，
∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，
∴S△APP1=12×3×332=934，S△PP1C=12×3×4＝6，
∴S四邊形APCP1＝S△APP1+S△PP1C=934+6；
∵△APB≌△AP1C，∴S△ABP+S△APC＝S四邊形APCP1=934+6；
如圖3②，同理可求：△ABP和△BPC的面積的和=12×4×432+12×3×4＝43+6，
△APC和△BPC的面積的和=12×5×532+12×3×4=2534+6，
∴△ABC的面積=12（934+6+43+6+2534+6）=2534+9，
∴△APC的面積＝△ABC的面積﹣△APB與△BPC的面積的和＝（2534+9）﹣（43+6）=934+3．故答案為934+3．

12．（1）如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度數(shù)．
分析：要直接求∠APB的度數(shù)顯然很困難，注意到條件中的三邊長(zhǎng)恰好是一組勾股數(shù)，因此考慮借助旋轉(zhuǎn)把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi)．
解：如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．
∴ PD ＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝ ∠CAD
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4， ∠APB ＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝ 90 °
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如圖3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．
（3）拓展應(yīng)用．如圖（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC內(nèi)部的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，則PA+PB+PC的最小值為．
解：（1）如圖2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，連接PD，CD，則△PAD是等邊三角形．
∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等邊三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∴△ABP≌△ACD（SAS）
∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝90°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
故答案為：PD，∠CAD，∠APB，90．
（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴把△PBC繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DBA，如圖，
∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，
∵∠PBD＝90°
∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，
在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，
∵12+（2）2＝32，
∴AP2+PD2＝BD2，
∴△APD為直角三角形，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．
（3）解：如圖4中，將△ABP繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接EP，CD，
∴△ABP≌△DBE
∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，
∴△BPE是等邊三角形
∴EP＝BP
∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE
∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)C共線時(shí)，PA+PB+PC有最小值CD
∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC
∴∠DBE+∠PBC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴CD＝＝＝，
故答案為．
13．（原題初探）（1）小明在數(shù)學(xué)作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC現(xiàn)將△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長(zhǎng)為，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為．
（變式猜想）（2）如圖2，若點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請(qǐng)猜想∠APB的度數(shù)，并說(shuō)明理由．
（拓展應(yīng)用）（3）聰明的小明經(jīng)過(guò)上述兩小題的訓(xùn)練后，善于反思的他又提出了如下的問(wèn)題：
如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長(zhǎng)度為．
解：（1）∵△PAB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA=2，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′為等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′=2PB＝32，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC=PP′2+P′C2=(32)2+(2)2=25，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BP交BP的延長(zhǎng)線于E，如圖1所示：
∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE=22PA=22×2=1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=AE2+BE2=12+42=17，
故答案為：25，17；
（2）∠APB的度數(shù)為150°，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BP′A，連接PP′，如圖2所示：
則△BPP′是等邊三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′為直角三角形，
∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACK，連接DK，如圖3所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK=2AD＝32，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，
∴CK=DK2+CD2=(32)2+22=22，∴BD=22，故答案為：22．
14．閱讀下面材料：
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度數(shù)．
小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△AP′C，連接PP′，得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將問(wèn)題解決（如圖2）．
請(qǐng)回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于，圖2中∠PP′C的度數(shù)等于．
參考小明思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：
如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（?3，1），連接AO．如果點(diǎn)B是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC．當(dāng)C（x，y）在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
解：閱讀材料：把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等邊三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2+P′C2＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故∠APB＝∠AP′C＝150°；故答案為：150°；90°；
如圖3，在y軸上截取OD＝2，作CF⊥y軸于F，AE⊥x軸于E，連接AD和CD，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（?3，1），∴tan∠AOE=13=33，∴AO＝OD＝2，∠AOE＝30°，
∴∠AOD＝60°．∴△AOD是等邊三角形，
又∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠CAB＝∠OAD＝60°，
∴∠CAD＝∠OAB，∴△ADC≌△AOB．∴∠ADC＝∠AOB＝150°，又∵∠ADF＝120°，
∴∠CDF＝30°．∴DF=3CF．
∵C（x，y）且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，∴y﹣2=3x，∴y=3x+2（x＞0）．

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