?【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件
（1）動(dòng)點(diǎn)定長模型

若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP 原理：圓A中，AB=AC=AP
則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑 備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長
（2）直角圓周角模型

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90° 原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑
則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑 備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角
（3）定弦定角模型


固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值 原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等
則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓 備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可
（4）四點(diǎn)共圓模型①


若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180° 原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
則A、B、C、D四點(diǎn)共圓 備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)
（5）四點(diǎn)共圓模型②

固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C 原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等
則A、B、C、P四點(diǎn)共圓 備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)
?【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題

條件：線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)
（1）求CM最小值與最大值
（2）求線段AB掃過的面積
（3）求最大值與最小值
作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓
?結(jié)論：
①CM1最小，CM3最大
②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積
③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高
例題精講
考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長構(gòu)造隱圓
【例1】．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為 ．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為 ．
考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓
【例2】．如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為 ．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝ ．
【變式2-2】．如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為 ．
考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓
【例3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝__________.
?變式訓(xùn)練
【變式3-1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最小值為 ．
【變式3-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CE＝DF，AF、DE相交于點(diǎn)O，BO＝BA，則OC的值為 ．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧交x軸上點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（5，0）B．（2，0）
C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）
2．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
4．如圖所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，當(dāng)A、B分別在射線OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為（ ）
A．12B．14C．16D．14
5．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為 ．
6．如圖示，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點(diǎn)C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
7．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB+∠PBA＝90°，則線段CP長的最小值為 ．
8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則AC+BC的最大值為 ．
9．如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在BC和AC上，且BD＝CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F，則CF的最小值為 ．
10．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線段DP的最小值為 ．
11．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長為 ．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點(diǎn)，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長 ．
13．如圖，在正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM．連接DM．交EF于點(diǎn)N．若AF＝2．則△EMN的面積是 ．
14．如圖，在正方形ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則FM＝ ，＝ ．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°
（1）證明：△ABF∽△FCE；
（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．
16．如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，4）．將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC，BD，直線AC與BD相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥BP；
（2）若點(diǎn)Q為OA的中點(diǎn)，求PQ的最小值．
17．（1）【學(xué)習(xí)心得】
于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．
（3）【問題拓展】
如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ．
18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若△PBC的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，已知⊙B的半徑為2，點(diǎn)Q是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．
19．模型分析
如圖在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，其中∠BAC為定角，AD為定值，我們稱該模型為定角定高模型．
問題：隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，探究BC的最小值（△ABC面積的最小值）．
（1）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)（如圖①）：
第一步：作△ABC的外接圈⊙O；
第二步：連接OA；
第三步：由圖知AO≥AD，當(dāng)AO＝AD時(shí)，BC取得最小值．
（2）當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)（如圖②）：
第一步：作△ABC的外接圓⊙O；第二步：連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E：
第三步：由圖知AO+OE≥AD，當(dāng)AO+OE＝AD時(shí)，BC取得最小值．
那么∠BAC＞90°呢？
結(jié)論：
當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小
當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過程補(bǔ)充完整．
求證：當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最?。?br>證明：如解圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，
設(shè)⊙O的半徑為r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2OB?sinα＝2r?sinα，
∵sinα為定值，∴要使BC最小，只需…
自主探究：我們知道了當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，△ABC的面積取得最小值，那么要使△ABC的周長取得最小值，需要滿足什么條件呢？
20．如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，C，且OA＝2OC＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，求線段EF的最大值；
（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠CGF的度數(shù)最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

模型介紹
R【點(diǎn)睛1】觸發(fā)隱圓模型的條件
（1）動(dòng)點(diǎn)定長模型

若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP 原理：圓A中，AB=AC=AP
則B、C、P三點(diǎn)共圓，A圓心，AB半徑 備注：常轉(zhuǎn)全等或相似證明出定長
（2）直角圓周角模型

固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠C恒為90° 原理：圓O中，圓周角為90°所對(duì)弦是直徑
則A、B、C三點(diǎn)共圓，AB為直徑 備注：常通過互余轉(zhuǎn)換等證明出動(dòng)角恒為直角
（3）定弦定角模型


固定線段AB所對(duì)動(dòng)角∠P為定值 原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等
則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)軌跡為過A、B、C三點(diǎn)的圓 備注：點(diǎn)P在優(yōu)弧、劣弧上運(yùn)動(dòng)皆可
（4）四點(diǎn)共圓模型①


若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180° 原理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
則A、B、C、D四點(diǎn)共圓 備注：點(diǎn)A與點(diǎn)C在線段AB異側(cè)
（5）四點(diǎn)共圓模型②

固定線段AB所對(duì)同側(cè)動(dòng)角∠P=∠C 原理：弦AB所對(duì)同側(cè)圓周角恒相等
則A、B、C、P四點(diǎn)共圓 備注：點(diǎn)P與點(diǎn)C需在線段AB同側(cè)
R【點(diǎn)睛2】圓中旋轉(zhuǎn)最值問題

條件：線段AB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)M是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)
（1）求CM最小值與最大值
（2）求線段AB掃過的面積
（3）求最大值與最小值
作法：如圖建立三個(gè)同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運(yùn)動(dòng)路徑分別為大圓、中圓、小圓
R結(jié)論：
①CM1最小，CM3最大
②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環(huán)面積
③最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高
例題精講
考點(diǎn)一：定點(diǎn)定長構(gòu)造隱圓
【例1】．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為 ．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．故答案為：88°
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖所示，四邊形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．則BD的長為（ ）
A．B．C．D．
解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交⊙A于F，連接DF．
∵DC∥AB，
∴＝，
∴DF＝CB＝1，BF＝2+2＝4，
∵FB是⊙A的直徑，
∴∠FDB＝90°，
∴BD＝＝．
故選：B．
【變式1-2】．如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，OM的最大值為 ．
解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝2，
∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是在半徑為2的⊙B上，
如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，
∵點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝，
∴OM最大值時(shí)，CD取最大值，此時(shí)D、B、C三點(diǎn)共線，
此時(shí)在Rt△OBD中，BD＝＝4，
∴CD＝2+4，
∴OM的最大值是1+2．
故答案為：1+2．
考點(diǎn)二：定弦定角構(gòu)造隱圓
【例2】．如圖，在△ABC中，BC＝2，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中始終有∠BAC＝45°，則△ABC面積的最大值為 ．
解：如圖，△ABC的外接圓⊙O，連接OB、OC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
過點(diǎn)O作OD⊥BC，垂足為D，
∵OB＝OC，
∴BD＝CD＝BC＝1，
∵∠BOC＝90°，OD⊥BC，
∴OD＝BC＝1，
∴OB＝＝，
∵BC＝2保持不變，
∴BC邊上的高越大，則△ABC的面積越大，當(dāng)高過圓心時(shí)，最大，
此時(shí)BC邊上的高為：+1，
∴△ABC的最大面積是：×2×（+1）＝+1．
故答案為：+1．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB＝4，AD＝2，AP⊥BP，則當(dāng)線段DP最短時(shí)，CP＝ ．
解：以AB為直徑作半圓O，連接OD，與半圓O交于點(diǎn)P′，當(dāng)點(diǎn)P與P′重合時(shí)，DP最短，
則AO＝OP′＝OB＝AB＝2，
∵AD＝2，∠BAD＝90°，
∴OD＝2，∠ADO＝∠AOD＝∠ODC＝45°，
∴DP′＝OD﹣OP′＝2﹣2，
過P′作P′E⊥CD于點(diǎn)E，則
P′E＝DE＝DP′＝2﹣，
∴CE＝CD﹣DE＝+2，
∴CP′＝．
故答案為：2．
【變式2-2】．如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點(diǎn)E，∠AEB＝90°，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，連接CF，則CF的最大值為 ．
解：如圖，以AB為直徑作圓H，
∵∠AEB＝90°，
∴點(diǎn)E在這個(gè)⊙H上，
延長DC至P，使CD＝PC，連接BE，EH，PH，過H作HM⊥CD于M，
∵EF＝DF，CD＝PC，
∴CF＝PE，
Rt△AEB中，∵H是AB的中點(diǎn)，
∴EH＝AB＝2，
Rt△PHM中，由勾股定理得：PH＝＝＝2，
∵PE≤EH+PH＝2+2，
當(dāng)P，E，H三點(diǎn)共線時(shí)，PE最大，CF最大，
∴CF的最大值是+1
考點(diǎn)三：對(duì)角互補(bǔ)構(gòu)造隱圓
【例3】．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點(diǎn)F，則＝__________.
解：如圖，連接BF，取BF的中點(diǎn)O，連接OE，OC．
∵四邊形ABCD是矩形，EF⊥BE，
∴四邊形EFCB對(duì)角互補(bǔ)，
∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，
∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，
∵OB＝OF，
∴OE＝OB＝OF＝OC，
∴B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，
∴∠EBF＝∠ECF，
∴tan∠EBF＝tan∠ACD，
∴＝＝
?變式訓(xùn)練
【變式3-1】．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中點(diǎn)，連接DE，則線段DE長度的最小值為 ．
解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，且BD為直徑，取BD中點(diǎn)O，則圓心為點(diǎn)O，
連接AO、CO，取AO中點(diǎn)F，連接EF，DF，
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD為等邊三角形，
∴OA＝OD＝OC＝AD＝2，
∴∠AFD＝90°，則DF＝，
∵EF是△AOC的中位線，
∴EF＝OC＝1，
在△DEF中，DF﹣EF≤DE，
∴當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，DE取到最小，最小值為．
∴DE的最小值為．
【變式3-2】．如圖，正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且CE＝DF，AF、DE相交于點(diǎn)O，BO＝BA，則OC的值為 ．
解：如圖
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADF＝∠ECD＝∠ABC＝90°，
∵DF＝CE，
∴△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠EDC，
∵∠EDC+∠ADO＝90°，
∴∠DAF+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴四邊形ABEO對(duì)角互補(bǔ)，
∴A、B、E、O四點(diǎn)共圓，
取AE的中點(diǎn)K，連接BK、OK，作OM⊥CD于M．
則KB＝AK＝KE＝OK，
∵BA＝BO，
∴∠BAO＝∠BOA＝∠AEB＝∠DEC，
∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC＝1，
∴DF＝EC＝FC＝1，
∴DE＝＝，
∵△DFO∽△DEC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴OD＝，OF＝，
∵?DO?OF＝?DF?OM，
∴OM＝，
∴MF＝＝，
∴CM＝1+＝，
在Rt△OMC中，OC＝＝，
故答案為．

實(shí)戰(zhàn)演練
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧交x軸上點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）

A．（5，0）B．（2，0）
C．（﹣8，0）D．（2，0）或（﹣8，0）
解：∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣3，0）、（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∴AC′＝5，AC＝5，
∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，0）．
故選：D．
2．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接AP，作點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)M，則線段MC的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
解：連接AM，
∵點(diǎn)B和M關(guān)于AP對(duì)稱，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圓心，3為半徑的圓上，
∴當(dāng)A，M，C三點(diǎn)共線時(shí)，CM最短，
∵AC＝，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故選：A．
3．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)P在矩形的內(nèi)部，連接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，則PC的最小值是（ ）
A．6B．﹣3C．2﹣4D．4﹣4
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PBC＝∠PAB，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為O，連接OC交⊙O于P，此時(shí)PC最小，
∵OC＝＝＝2，
∴PC的最小值為2﹣4，
故選：C．
4．如圖所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，當(dāng)A、B分別在射線OM、ON上滑動(dòng)時(shí)，OC的最大值為（ ）
A．12B．14C．16D．14
解：如圖，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝，
在AB的下方作等腰直角△AQB，∠AQB＝90°，作BH⊥QC于H，
∴點(diǎn)O在以點(diǎn)Q為圓心，QB為半徑的圓上，
∵∠AQB+∠ACB＝180°，
∴點(diǎn)A、C、B、Q共圓，
∴∠BCQ＝∠BAQ＝45°，
∴BH＝CH＝3，
在Rt△BQH中，由勾股定理得QH＝4，
∴CQ＝7，
當(dāng)點(diǎn)C、Q、O共線時(shí)，OC最大，
∴OC的最大值為OQ+CQ＝5+7＝12，
故選：A．
5．如圖，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，則∠CAD的度數(shù)為 ．
解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，
∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，
∴∠CAD＝2∠BAC＝88°．
故答案為：88°．
6．如圖示，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（3，0），點(diǎn)C在y軸上，且∠ACB＝45°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．
解：在x軸的上方作等腰直角△ABF，F(xiàn)B＝FA，∠BAF＝90°，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑作⊙F交y軸于C，連接CB，CA．
∵∠ACB＝∠AFB＝45°，
∵B（﹣2，0），A（3，0），△ABF是等腰直角三角形，
∴F（，），F(xiàn)A＝FB＝FC＝，設(shè)C（0．m），
則（）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝6或﹣1（舍棄）
∴C（0，6），
根據(jù)對(duì)稱性可知C′（0，﹣6）也符合條件，
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）或（0，﹣6）．
故答案為（0，6）或（0，﹣6）．
7．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB+∠PBA＝90°，則線段CP長的最小值為 2 ．
解：∵∠PAB+∠PBA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴P在以AB為直徑的圓周上（P在△ACB內(nèi)部），
連接OC，交⊙O于P，此時(shí)CP的值最小，如圖，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∵BC＝4，
∴由勾股定理得：OC＝5，
∴CP＝5﹣3＝2，
故答案為：2．
8．在△ABC中，AB＝4，∠C＝45°，則AC+BC的最大值為 ．
解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，
∵∠C＝45°，
∴△BCD為等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
設(shè)BD＝CD＝a，延長AC至點(diǎn)F，使得CF＝a，
∵tan∠AFB＝＝，
作△ABF的外接圓⊙O，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝AB＝2，∠AOE＝∠AFB，
∴tan∠AOE＝，
∴OE＝4，OA＝＝，
∴+BC＝（AC+BC）＝（AC+CF）＝≤（OA+OF），
∴+BC的最大值為×＝4．
故答案為：．
9．如圖，等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在BC和AC上，且BD＝CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F，則CF的最小值為 ．

解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠AFE＝60°，
∴∠AFB＝120°，
∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是O為圓心，OA為半徑的弧上運(yùn)動(dòng)（∠AOB＝120°，OA＝2），
連接OC交⊙O于N，當(dāng)點(diǎn)F與N重合時(shí)，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2．
故答案為2．
10．如圖，正方形ABCD中，AB＝2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線段DP的最小值為 ．
解：如圖：
，
∵動(dòng)點(diǎn)F，E的速度相同，
∴DF＝AE，
又∵正方形ABCD中，AB＝2，
∴AD＝AB，
在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠FAD+∠BEA＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APB＝90°，
∴點(diǎn)P的路徑是一段以AB為直徑的弧，
設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接CG交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，
AG＝BG＝AB＝1．
在Rt△BCG中，DG＝＝＝，
∵PG＝AG＝1，
∴DP＝DG﹣PG＝﹣1
即線段DP的最小值為﹣1，
故答案為：﹣1．
11．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，△DBC的面積為8，則BC長為 ．

解：如圖，作DH⊥BC交BC的延長線于H，取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB．
∵DH⊥BH，
∴∠DHC＝90°，
∴四邊形DACH對(duì)角互補(bǔ)，
∴A，C，H，D四點(diǎn)共圓，
∵∠DAC＝90°，CO＝OD，
∴OA＝OD＝OC＝OH，
∴A，C，H，D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上，
∵AC＝AD，
∴∠CHA＝∠AHD＝45°，（沒有學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓，可以這樣證明：過點(diǎn)A作AM⊥DH于M，過點(diǎn)A作AN⊥BH于N，證明△AMD≌△ANC，推出AM＝AN，推出AH平分∠MHN即可）
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAH＝90°，
∴BA＝AH，
∵∠BAH＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝∠HAD，
∵AC＝AD，AB＝AH，
∴△BAC≌△HAD（SAS），
∴BC＝DH，
∴S△BCD＝×BC×DH＝×BC2＝16，
∴BC＝4或﹣4（舍棄），
故答案為4．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E為BC上一點(diǎn)，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，則AD的長 ．
解：連接AE，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H點(diǎn)，在Rt△ABH中，
∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝3．
利用勾股定理可得BH＝3，
根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可知CH＝BH＝3，BC＝6．
∴CE＝BC＝2．
∴HE＝CH﹣CE＝．
在Rt△AHE中，由勾股定理可求AE＝2．
所以AE＝CE，∠CAE＝∠ACB＝30°，
所以∠AEB＝60°＝∠ADC，
∴四邊形AECD對(duì)角互補(bǔ)，
∴點(diǎn)A、D、C、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ADE＝∠ACE＝30°，
所以∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°．
∵DE＝DC，∴∠DEC＝75°．
∴∠AED＝120°﹣75°＝45°．
過點(diǎn)A作AM⊥DE于M點(diǎn)，
則AM＝AE＝．
在Rt△AMD中，∠ADM＝30°，
∴AD＝2AM＝．
故答案為2．
13．如圖，在正方形ABCD中，AD＝6，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，連接DF交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM．連接DM．交EF于點(diǎn)N．若AF＝2．則△EMN的面積是 ．
解：如圖，取DF的中點(diǎn)K，連接AK，EK．連接GM交EF于H．
∵四邊形ACD是正方形，
∴AD＝AB＝6，∠DAB＝90°，AB∥CD，∠DAC＝∠CAB＝45°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝∠DAF＝90°，
∴四邊形AFED對(duì)角互補(bǔ)，
∴A，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共圓，
∵DK＝KF，
∴KA＝KD＝KF＝KE，
∴∠DFE＝∠DAE＝45°，
∴∠EDF＝∠EFD＝45°，
∴DE＝EF，
∵AF＝2，AD＝6，
∴DF＝＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵AF∥CD，
∴＝＝，
∴FG＝FM＝，
∴GM＝FM＝，
∴FH＝GH＝HM＝，
∵EF⊥GM，
∴GH＝HM＝，
∴EH＝EF﹣FH＝2﹣＝，
∵M(jìn)H∥DE，
∴＝＝＝，
∴EN＝EH＝，
∴S△ENM＝?EN?MH＝??＝．
故答案為．
14．如圖，在正方形ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則FM＝ ，＝ ．
解：∵將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，
∴FG＝FM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△AGF∽△CGD，
∴，
∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，
∴AF＝CD，
∴，
∵AD＝8，
∴AF＝4，
∴DF＝＝4，
∴FM＝FG＝；
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠CAD＝45°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°＝∠BAD，
∴∠BAD+∠DEF＝180°，
∴點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴DE＝EF＝DF＝2，
連接GM，交EF于P，
由折疊知，PG＝PM，GM⊥EF，
∵DE⊥EF，
∴GM∥DE，
∴△FPG∽△FED，
∴，
∴PF＝EF＝，
∴PE＝EF﹣PF＝，
∵GM∥DE，
∴△MPN∽△DEN，
∴，
∴，
∴EN＝PE＝，
在Rt△DEN中，，
故答案為：；．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠AFE＝90°
（1）證明：△ABF∽△FCE；
（2）當(dāng)DE取何值時(shí)，∠AED最大．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．
（2）取AE的中點(diǎn)O，連接OD、OF．
∵∠AFE＝∠ADE＝90°（對(duì)角互補(bǔ)），
∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AED＝∠AFD，
∴當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝，
∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．
∴當(dāng)DE＝時(shí)，∠AED的值最大．
16．如圖，將兩張等腰直角三角形紙片OAB和OCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O（0，0），A（0，4）．將Rt△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接AC，BD，直線AC與BD相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥BP；
（2）若點(diǎn)Q為OA的中點(diǎn)，求PQ的最小值．
（1）證明：∵△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠OAC+∠CAB+∠ABO＝90°，
∴∠OBD+∠CAB+∠ABO＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴AP⊥BP；
（2）解：如圖，∵AP⊥BP，
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓E上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)圓最值可得，
當(dāng)P，Q，E三點(diǎn)共線，且點(diǎn)P在EQ的延長線上時(shí)，PQ最小，
∵△OAB是等腰直角三角形，A（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝4，
∵E是AB的中點(diǎn)，Q是OA的中點(diǎn)，
∴QE＝OB＝2，
∵PE是圓E的半徑，
∴PE＝AB＝2，
∴PQ＝PE﹣QE＝2﹣2，
∴PQ的最小值為2﹣2．
17．（1）【學(xué)習(xí)心得】
于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．
例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝ 45 °．
（2）【問題解決】
如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度數(shù)．
（3）【問題拓展】
如圖3，如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 ﹣1 ．
解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓A，點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，
則OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解為點(diǎn)H是在Rt△AHB，AB直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH長度最?。?br>故答案為：﹣1．

18．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若△PBC的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖②，已知⊙B的半徑為2，點(diǎn)Q是⊙B上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AQ，DQ，求DQ+AQ的最小值．
解：（1）令x＝0，則y＝6，
C（0，6），
∵A（﹣2，0），B（6，0），
∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣6）（x+2）（a≠0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣12a＝6，解得a＝﹣，
拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣6）（x+2）＝﹣x2+2x+6，
∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）；
（2）由（1）知，C（0，6），
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得6k+t＝0，
，解得，
∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+6；
如圖，過點(diǎn)P作PH∥y軸交BC于點(diǎn)H，連接PB，PC，
設(shè)P（x，﹣x2+2x+6），則H（x，﹣x+6）（0＜x＜6），
∴PH＝﹣x2+2x+6﹣（﹣x+6）＝﹣x2+3x，
∵△PBC的面積為12，
∴OB?PH＝×6×（﹣x2+3x）＝12，
即﹣x2+3x＝4，解得x＝2或x＝4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）或（4，6）；
（3）如圖，取點(diǎn)E（5.5，0），
∴BE＝0.5，
∵AB＝8，BQ＝2，
∴AB：BQ＝4：1，
∵BE＝0.5，BQ＝2，
∴BQ：BE＝4：1，
∵∠ABQ＝∠QBE，
∴△ABQ∽△QBE，
∴AQ：QE＝BQ：BE＝4：1，即QE＝AQ，
∴DQ+AQ＝DQ+QE，
由兩點(diǎn)間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)D，Q，E三點(diǎn)共線時(shí)，DQ+QE最小，最小值為DE，
∴DE＝＝．
即DQ+AQ的最小值為：．

19．模型分析
如圖在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，其中∠BAC為定角，AD為定值，我們稱該模型為定角定高模型．
問題：隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，探究BC的最小值（△ABC面積的最小值）．
（1）當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)（如圖①）：
第一步：作△ABC的外接圈⊙O；
第二步：連接OA；
第三步：由圖知AO≥AD，當(dāng)AO＝AD時(shí)，BC取得最小值．
（2）當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)（如圖②）：
第一步：作△ABC的外接圓⊙O；第二步：連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E：
第三步：由圖知AO+OE≥AD，當(dāng)AO+OE＝AD時(shí)，BC取得最小值．
那么∠BAC＞90°呢？
結(jié)論：
當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小
當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，請(qǐng)根據(jù)【模型分析】（2）中的做法將下面證明過程補(bǔ)充完整．
求證：當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，BC取得最小值，此時(shí)△ABC的面積最小．
證明：如解圖，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，
設(shè)⊙O的半徑為r，∠BOE＝∠BAC＝α，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2OB?sinα＝2r?sinα，
∵sinα為定值，∴要使BC最小，只需…
自主探究：我們知道了當(dāng)AD過△ABC的外接圓圓心O（即AB＝AC）時(shí)，△ABC的面積取得最小值，那么要使△ABC的周長取得最小值，需要滿足什么條件呢？
模型分析：
證明：如圖1，
作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，作OE⊥BC于E，設(shè)⊙O的半徑為r，AD＝h，
∴BC＝2BE＝2CE，
∵＝，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠BOE＝∠BOC＝α，
∴OE＝OB?csα＝r?csα，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r?csα≥h，
∴r≥，
∵BE＝OB?sinα＝r?sinα，
∴BC＝2BE＝2r?sinα，
∴當(dāng)r最小時(shí)，BC最小，
∴當(dāng)r＝時(shí)，BC最?。剑?br>自主探究：
解：如圖2，
延長CB知E，使BE＝AB，延長BC至F，使CF＝AC，
∴AB+BC+AC＝BE+BC+CF＝EF，∠AEB＝∠EAB，∠CAF＝∠AFC，
∴∠ABC＝2∠EAB，∠ACB＝2∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，
∴2∠EAB+2∠CAF＝180°﹣α，
∴∠EAF+∠CAF＝90°﹣，
∴∠EAF＝∠EAF+∠CAF+∠BAC＝90°+，
作△AEF的外接圓O，作OH⊥EF于H，連接OA，OE，OF，在優(yōu)弧EF上任取一點(diǎn)G（不在E和點(diǎn)F處），連接EG，F(xiàn)G，
∴∠G＝180°﹣∠EFA＝90﹣，
同理上可得：∠EOH＝∠G＝90°﹣，
∴∠OEH＝90°﹣∠EOH＝，
∴OH＝r?sin，EF＝2EH＝2r?cs，
∵OH+AD≤OA，
∴r?sin+h≤r，
∴（1﹣sin）r≥h，
∴r≥，
∴r最小＝，
∴EF最小＝，
∴△ABC的周長最小值為：．
20．如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)A，C，且OA＝2OC＝4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)E為AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，求線段EF的最大值；
（3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)G是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠CGF的度數(shù)最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．
解：（1）∵OA＝2OC＝4，
∴A（4，0），C（0，2），
將A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）將點(diǎn)A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
設(shè)E（t，﹣t2+t+2），則F（t，﹣t+2），
∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
當(dāng)t＝2時(shí)，EF的最大值為2；
（3）∵t＝2，
∴E（2，3），F(xiàn)（2，1），
設(shè)G（x，0），
作△CFG的外接圓M，設(shè)圓M的半徑為r，
當(dāng)圓M與x軸相切時(shí)，∠CGF最大，此時(shí)M（x，r），
∵M(jìn)C＝MF＝r，
∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，
解得x＝4﹣，
∴G（4﹣，0）．

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