【問(wèn)題呈現(xiàn)】
阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．
折弦定義:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱(chēng)之為該圖的一條折弦。
阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。
? 如下圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是 的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。

【證明方法】
方法1:補(bǔ)短法
如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵M(jìn)、B、A、C四點(diǎn)共圓 ∴∠MCA+∠MBA=180°
∵∠MBC+∠MBF=180° ∴∠MBA=∠MBF ∵M(jìn)B=MB,BF=BA ∴△MBF≌△MBA
∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC
∵M(jìn)D⊥CF ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD
方法2:截長(zhǎng)法
如圖，在CD上截取DG=DB
∵M(jìn)D⊥BG ∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴∠MAC=∠MCA=∠MGB
即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA
又∠MGB=∠MCB+∠GMC
∴∠BMA=∠GMC
∵M(jìn)A=MC ∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴AB=GC ∴CD=CG+GD=AB+BD
方法3:垂線法
如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴MA=MC
∵M(jìn)D⊥BC ∴∠MDC=90°=∠H
∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA≌△MDC(AAS)
∴AH=CD，MH=MD
又∵M(jìn)B=MB ∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)
∴HB=BD ∴CD=AH=AB+BH=AB+BD
例題精講
【例1】．已知M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)，B不與A、M重合，且MD⊥BC于D．BD＝2，CD＝6，求AB的長(zhǎng)．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，是劣弧，M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)．自M向BC弦引垂線，垂足為D，求證：AB+BD＝DC．
【變式1-2】．定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱(chēng)為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：
如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．
如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的
外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝ °．
【例2】．如圖，AC，BC是⊙O的兩條弦，M是的中點(diǎn)，作MF⊥AC，垂足為F，若BC＝，
AC＝3，則AF＝ ．
【變式2-1】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＞BC，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．求證：AD2＝AC?BC+CD2．
【變式2-2】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)，且cs∠ABC＝．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦AD的延長(zhǎng)線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)AD?AE的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出AD?AE的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．

1．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝6，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．8﹣3C．6+3D．3+5
2．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，AC上的點(diǎn)X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，則BC＝ ．
3．如圖，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一點(diǎn)，且EB＝3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)，若將△EBF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為 ．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為 ．
5．已知：如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，且AD＝DC+CB．過(guò)D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過(guò)M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．
6．如圖，在⊙O中，AB＝AC，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與C、B重合），連接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．
（1）若AC＝4，求⊙O的半徑；
（2）寫(xiě)出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明．
7．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是上一點(diǎn)，
（1）填空：∠APC＝ 度，∠BPC＝ 度；
（2）若⊙O的半徑為4，求等邊△ABC的面積；
（3）求證：PA+PB＝PC．
8．已知A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)，，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線
（1）如圖1，連接BD，若∠CDB＝60°，求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，若AC＝7，AB＝5，求線段AE的長(zhǎng)度．
9．閱讀理解：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB+BD的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∴M是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC……．
任務(wù)：
（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
（2）如圖3，已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，△BDC的周長(zhǎng)為 .（直接寫(xiě)出結(jié)果）
10．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝BE．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE＝PE+PB．可以通過(guò)延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）如圖3，PA，PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
11．在⊙O中＝，順次連接A、B、C．
（1）如圖1，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，且MN∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求證：MN為⊙O的切線；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接MC，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BM于點(diǎn)P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，則a、b、c有何數(shù)量關(guān)系？
（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D是線段AB上一點(diǎn)，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周長(zhǎng)為9，請(qǐng)求出S△AEF的值？
12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸于C，D兩點(diǎn)，其中A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（不與A、D重合），連接PC，PD，作AE⊥DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值發(fā)生變化嗎？若不變，求出這個(gè)值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，若點(diǎn)Q為直線y＝﹣1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QC，QO，當(dāng)sin∠OQC的值最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
13．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：
如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵M(jìn)D⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根據(jù)證明過(guò)程，分別寫(xiě)出下列步驟的理由：
，
② ，
③ ；
【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝ ；
【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．
【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：
如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．
14．先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．
命題：如圖1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD相交于點(diǎn)E、F，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
證明思路：
如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，點(diǎn)F、D、E′是一條直線．
根據(jù)SAS，得證△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．
（1）特例應(yīng)用
如圖1，命題中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
（2）類(lèi)比變式
如圖3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．寫(xiě)出EF、BE、DF之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．
（3）拓展深入
如圖4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的兩點(diǎn)，∠MAN＝∠BAD．
①如圖5，連接MB、MD，MD與AN交于點(diǎn)H，求證：MH＝BM+DH，DM⊥AN；
②若點(diǎn)C在（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、M重合）上，連接CB、CD分別交線段AM、AN或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，直接寫(xiě)出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系．

模型介紹
【問(wèn)題呈現(xiàn)】
阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)王子．
折弦定義:從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，我們稱(chēng)之為該圖的一條折弦。
阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。
? 如下圖所示，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，BC>AB，M是 的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD。

【證明方法】
方法1:補(bǔ)短法
如圖，延長(zhǎng)DB至F，使BF=BA
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴∠MCA=∠MAC=∠MBC ∵M(jìn)、B、A、C四點(diǎn)共圓 ∴∠MCA+∠MBA=180°
∵∠MBC+∠MBF=180° ∴∠MBA=∠MBF ∵M(jìn)B=MB,BF=BA ∴△MBF≌△MBA
∴∠F=∠MAB=∠MCB ∴MF=MC
∵M(jìn)D⊥CF ∴CD=DF=DB+BF=AB+BD
方法2:截長(zhǎng)法
如圖，在CD上截取DG=DB
∵M(jìn)D⊥BG ∴MB=MG，∠MGB=∠MBC=∠MAC
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴∠MAC=∠MCA=∠MGB
即∠MGB=∠MCB+∠BCA=∠MCB+∠BMA
又∠MGB=∠MCB+∠GMC
∴∠BMA=∠GMC
∵M(jìn)A=MC ∴△MBA≌△MGC(SAS)
∴AB=GC ∴CD=CG+GD=AB+BD
方法3:垂線法
如圖，作MH⊥射線AB，垂足為H。
∵M(jìn)是的中點(diǎn) ∴MA=MC
∵M(jìn)D⊥BC ∴∠MDC=90°=∠H
∵∠MAB=∠MCB ∴△MHA≌△MDC(AAS)
∴AH=CD，MH=MD
又∵M(jìn)B=MB ∴Rt△MHB≌Rt△MDB(HL)
∴HB=BD ∴CD=AH=AB+BH=AB+BD
例題精講
【例1】．已知M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)，B不與A、M重合，且MD⊥BC于D．BD＝2，CD＝6，求AB的長(zhǎng)．
解：延長(zhǎng)CB至E，使BE＝AB，連接ME，MA，MB，MC，AC，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴∠ACM＝∠CBM，AM＝CM，
∵∠ABM+∠ACM＝∠EBM+∠CBM＝180°，
∴∠ABM＝∠EBM，
在△ABM和△EBM中，
AB＝EB，∠ABM＝∠EBM，BM＝BM，
∴△ABM≌△EBM（SAS），
∴AM＝EM，
∴EM＝CM，
∵M(jìn)D⊥EC，
∴ED＝CD＝6，
∵BD＝2，
∴AB＝EB＝ED﹣BD＝6﹣2＝4．
?變式訓(xùn)練
【變式1-1】．如圖，是劣弧，M是的中點(diǎn)，B為上任意一點(diǎn)．自M向BC弦引垂線，垂足為D，求證：AB+BD＝DC．
證明：在CD上取點(diǎn)N，使CN＝AB，連接CM，MN
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴AM＝CM（等弧對(duì)等弦），
又∵∠BAM＝∠BCM，
在△ABM和△CNM中，
，
∴△ABM≌△CNM（SAS），
∴BM＝MN，
∴△BMN為等腰三角形（BN為底），
又∵M(jìn)D⊥BN，
∴D為BN中點(diǎn)（等腰三角形三線合一），
∴BD＝DN
∴AB+BD＝CD．
【變式1-2】．定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱(chēng)為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：
如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．
如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的
外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝ 60 °．
解：如圖2，連接OA、OC、OE，
∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，
∴AD＝7，BD+BC＝7，
∴AD＝BD+BC，
而ED⊥AB，
∴點(diǎn)E為弧ABC的中點(diǎn)，即弧AE＝弧CE，
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，
∴∠AOE＝∠COE＝120°，
∴∠CAE＝∠COE＝60°．
故答案為60°．
【例2】．如圖，AC，BC是⊙O的兩條弦，M是的中點(diǎn)，作MF⊥AC，垂足為F，若BC＝，
AC＝3，則AF＝ ．
解：如圖，作直徑MH，延長(zhǎng)MF交⊙O于K，作HJ⊥AC于J，連接CK，AK，AH，設(shè)AC交HM于T，HM交AB于R．
∵＝，HM是直徑，
∴HM⊥AB，∵M(jìn)F⊥AC，
∴∠ART＝∠MFT＝90°，
∵∠MTF＝∠ATR，
∴∠CAB＝∠FMT，
∴＝，
∴BC＝KH＝，
∵M(jìn)H是直徑，
∴∠MKH＝90°，
∴∠MKH＝∠MFT，
∴AC∥KH，
∴∠CAK＝∠AKH，
∴＝，
∴AH＝CK，
∵∠HJA＝∠KFC＝90°，HJ＝FK，
∴Rt△HJA≌Rt△KFC（HL），
∴AJ＝CF，
∵四邊形KHJF是矩形，
∴KH＝FJ＝，
∴AJ＝（AC﹣FJ）＝（3﹣），
∴AF＝AJ+FJ＝．
解法二：連接AM，BM．CM，在AC上截取AG，使得AG＝BC．
∵＝，
∴AM＝BM．
∵∠A＝∠B，AG＝BC，
∴△AGM≌△BCM（SAS），
∴MG＝CM，AG＝BC＝，
∴CG＝AC﹣AG＝3﹣，
∵M(jìn)G＝MC，MF⊥CG，
∴GF＝FC＝，
∴AF＝AG+FG＝ 故答案為：．
?變式訓(xùn)練
【變式2-1】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＞BC，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．求證：AD2＝AC?BC+CD2．
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC．
垂足為點(diǎn)E，
AD2﹣CD2＝（AE2+DE2）﹣（DE2+EC2）
＝AE2﹣EC2，
＝（AE+EC）（AE﹣EC）
＝AC（AE﹣CE），①
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．連接BD，
∵D為弧AB的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
∵∠DAC＝∠DBC，∠DEA＝∠DFB＝90°，
∴Rt△AED≌Rt△BFD，
∴AE＝BF，②
DE＝DF，
∵∠DEC＝∠DFC＝90°，DC＝DC，
∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE＝CF③
綜合式①、②、③，得：AD2﹣CD2＝AC（BF﹣CF）＝AC?BC，
即：AD2＝AC?BC+CD2．
【變式2-2】．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，點(diǎn)D為上的動(dòng)點(diǎn)，且cs∠ABC＝．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弦AD的延長(zhǎng)線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，問(wèn)AD?AE的值是否變化？若不變，請(qǐng)求出AD?AE的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BD，求證：BH＝CD+DH．
解：（1）作AM⊥BC，
∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，
∴CM＝BC＝1，
∵cs∠ABC＝＝，
在Rt△AMB中，BM＝1，
∴AB＝＝；
（2）連接DC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ACE+∠ACB＝180°，
∴∠ADC＝∠ACE，
∵∠CAE公共角，
∴△EAC∽△CAD，
∴＝，
∴AD?AE＝AC2＝10；
（3）在BD上取一點(diǎn)N，使得BN＝CD，
在△ABN和△ACD中
，
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AN＝AD，AH⊥BD，
∴NH＝HD，
∵BN＝CD，NH＝HD，
∴BN+NH＝CD+HD＝BH．

1．如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且EF＝6，M為EF中點(diǎn)，P是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CP+PM的最小值是（ ）
A．10B．8﹣3C．6+3D．3+5
解：延長(zhǎng)CD到C′，使C′D＝CD，
CP+PM＝C′P+PM，
當(dāng)C′，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，C′P+PM的值最小，
根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡是以B為圓心，3為半徑的圓弧上，
圓外一點(diǎn)C′到圓上一點(diǎn)M距離的最小值C′M＝C′B﹣3，
∵BC＝CD＝8，
∴CC′＝16，
∴C′B＝＝＝8．
∴CP+PM的最小值是8﹣3．
故選：B．
2．在△ABC中，AC＞BC，M是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，AC上的點(diǎn)X使得MX⊥AC，AC＝10，XC＝3，則BC＝ 4 ．
解：連接AM、BM，MC，作MN⊥BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∴∠BNM＝90°．
∵M(jìn)X⊥AC，
∴∠AXM＝∠MXC＝90°，
∴∠MXC＝∠BNM＝∠AXM．
∵M(jìn)是它的外接圓上弧ACB的中點(diǎn)，
∴BM＝AM．
∴∠ABM＝∠BAM．
∵∠ACM＝∠ABM，
∴∠ACM＝∠BAM．
∵∠MCN＝∠BAM，
∴∠MCN＝∠ACM．
在△BNM和△AXM中，
，
∴△BNM≌△AXM（ASA），
∴BN＝AX．
∵AC＝10，XC＝3，
∴AX＝7，
∴BN＝7．
在△CMN和△CMX中
，
∴△CMN≌△CMX（AAS），
∴CN＝CX，
∴CN＝3．
∵BC＝BN﹣CN，
∴BC＝7﹣3＝4．故答案為：4．
3．如圖，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一點(diǎn)，且EB＝3，F(xiàn)是BC上一動(dòng)點(diǎn)，若將△EBF沿EF對(duì)折后，點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到點(diǎn)D的最短距離為 10 ．
解：如圖，連接PD，DE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE＝＝13，
由折疊得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴當(dāng)E、P、D共線時(shí)，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；
故答案為：10．
4．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在BC，AC邊上，且保持AE＝CD，連接BE，AD，相交于點(diǎn)P，則CP的最小值為 2 ．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°，
∵AE＝CD
∴BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠BAD+∠ABE，
∴∠APE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，
∴∠APE＝60°，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，
連接OC交⊙O于N，則OC⊥AB，
根據(jù)圓周角定理可得∠AOB＝120°，∠OAF＝30°，AF＝AB＝，
∴OA＝＝2，
∴OC＝2OA＝4，
當(dāng)點(diǎn)P與N重合時(shí)，CP的值最小，
最小值＝OC﹣ON＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
5．已知：如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，且AD＝DC+CB．過(guò)D作AC的垂線交△ABC的外接圓于M，過(guò)M作AB的垂線MN，交圓于N．求證：MN為△ABC外接圓的直徑．
證明：延長(zhǎng)AC至E，使CE＝BC，連接MA、MB、ME、BE，如圖，
∵AD＝DC+BC，
∴AD＝DC+CE＝DE，
∵M(jìn)D⊥AE，
∴MA＝ME，∠MAE＝∠MEA，
又∵∠MAE＝∠MBC，
∴∠MEC＝∠MBC，
又∵CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB＝∠MBC+∠CBE，
即∠MEB＝∠MBE，
∴ME＝MB，
又∵M(jìn)E＝MA，
∴MA＝MB，
又∵M(jìn)N⊥AB，
∴MN垂直平分AB，
∴MN是圓的直徑．
6．如圖，在⊙O中，AB＝AC，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與C、B重合），連接DA、DB、DC，∠BAC＝120°．
（1）若AC＝4，求⊙O的半徑；
（2）寫(xiě)出DA、DB、DC之間的關(guān)系，并證明．
解：（1）如圖1，連接OC，OA，BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠ADC＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴OA＝AC＝4；
（2）CD+BD＝AD，理由如下：
延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E，使BE＝DC，連接AE，如圖2
∴∠ABE＝∠ACD，
∵AB＝AC，BE＝CD，
∵
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴AE＝AD，
∵∠ADB＝∠ACB＝30°，
∴∠ADE＝∠E＝30°，
∴∠DAE＝120°，
∴DE＝AD
即：BD+CD＝AD．

7．如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，P是上一點(diǎn)，
（1）填空：∠APC＝ 60 度，∠BPC＝ 60 度；
（2）若⊙O的半徑為4，求等邊△ABC的面積；
（3）求證：PA+PB＝PC．
（1）解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°， 故答案為：60，60；
（2）如圖1，
連接OB，則OB＝4，
過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于D，
∴BD＝BC，
連接AD，則AD過(guò)點(diǎn)O，
∴OA＝4，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBD＝∠ABC＝30°，
在Rt△ODB中，OD＝OB＝2，
根據(jù)勾股定理得，BC＝2，
∴BC＝2BD＝4，
∴等邊△ABC的面積為BD?AD＝BD（OA+OD）＝××6＝12；
（3）證明：如圖，在線段PC上截取PF＝PB，連接BF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵PF＝PB，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴△PBF是等邊三角形，
∴PB＝BF，∠BFP＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，
∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠BPA＝∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA＝FC，
∴PA+PB＝PF+FC＝PC．
8．已知A、B、C、D是⊙O上的四點(diǎn)，，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線
（1）如圖1，連接BD，若∠CDB＝60°，求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，若AC＝7，AB＝5，求線段AE的長(zhǎng)度．
（1）證明：∵，
∴CD＝BD，
∵∠CDB＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴＝，
∴∠CAD＝∠BAC，即AC是∠DAB的平分線；
（2）解：連接BD，在線段CE上取點(diǎn)F，使得EF＝AE，連接DF，
∵DE⊥AC，
∴DF＝DA，
∴∠DFE＝∠DAE，
∵＝，
∴CD＝BD，∠DAC＝∠DCB，
∴∠DFE＝∠DCB，
∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFC＝∠DAB，
∵在△CDF和△BDA中，
∴△CDF≌△BDA（AAS），
∴CF＝AB＝5，
∵AC＝7，AB＝5，
∴AE＝AF＝（AC﹣CF）＝1．
9．閱讀理解：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝AB+BD的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∴M是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC……．
任務(wù)：
（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
（2）如圖3，已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D為弧AC上一點(diǎn)，∠ABD＝45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，△BDC的周長(zhǎng)為 3+4 .（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（1）證明：如圖2，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中，
，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
（2）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB，
∴由（1）的結(jié)論得，BE＝DE+CD，
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，AB＝4，
∴BE＝2，
∴DE+CD＝2，
∴則△BDC的周長(zhǎng)是BC+BD+CD＝BC+BE+DE+CD＝3+4．
故答案為：3+4．
10．小明學(xué)習(xí)了垂徑定理，做了下面的探究，請(qǐng)根據(jù)題目要求幫小明完成探究．
（1）更換定理的題設(shè)和結(jié)論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥AB于點(diǎn)E，則AE＝BE．請(qǐng)證明此結(jié)論；
（2）從圓上任意一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦所組成的折線，成為該圓的一條折弦．如圖2，PA，PB組成⊙O的一條折弦．C是劣弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE＝PE+PB．可以通過(guò)延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，再連接AD證明結(jié)論成立．請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；
（3）如圖3，PA，PB組成⊙O的一條折弦，若C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，直線CD⊥PA于點(diǎn)E，則AE，PE與PB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．
（1）證明：連接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD⊥AB，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AE＝BE；
（2）證明：延長(zhǎng)DB、AP相交于點(diǎn)F，連接AD，
∵C是劣弧AB的中點(diǎn)，CD⊥PA，
由（1）可知，AE＝EF，AD＝DF，
∴∠F＝∠PAD，
∵A、D、B、P四點(diǎn)共圓，
∴∠FPB＝∠ADB，
∴∠FBP＝∠F，
∴BP＝PF，
∴AE＝EP+PF＝EP+BP；
（3）解：AE＝PE﹣PB，理由如下：
連接AD、AB、DB與AP相交于F點(diǎn)，
∵C是優(yōu)弧AB的中點(diǎn)，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD⊥PA，
∴∠DEA＝∠DEF＝90°，∠ADE＝∠FDE，
∴△DAE≌△DFE（ASA），
∴AD＝DF，AE＝EF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DFA＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，
∴∠PFB＝∠PBF，
∴FP＝BP，
∴AE＝PE﹣PB．

11．在⊙O中＝，順次連接A、B、C．
（1）如圖1，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，且MN∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求證：MN為⊙O的切線；
（2）如圖2，在（1）的條件下，連接MC，過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BM于點(diǎn)P，若BP＝a，MP＝b，CM＝c，則a、b、c有何數(shù)量關(guān)系？
（3）如圖3，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，D是線段AB上一點(diǎn)，且BD＝CE，若BE＝5，△AEF的周長(zhǎng)為9，請(qǐng)求出S△AEF的值？
解：（1）如圖1，連接OM，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴OM⊥AC，
∵M(jìn)N∥AC，
∴OM⊥MN，
∵OM為⊙O的半徑，
∴MN為⊙O的切線；
（2）如圖2，連接OM交AC于K，連結(jié)AM，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴AM＝CM＝c，
∵AP⊥BM，
∴∠APM＝∠APB＝90°，
∴AP2＝AM2﹣PM2＝c2﹣b2，
∴AB2＝AP2+BP2＝c2﹣b2+a2，
∴AC＝AB＝，
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴OM⊥AC，
∴AK＝CK＝AC＝，
∵∠APB＝∠CKM＝90°，∠ABP＝∠MCK，
∴△ABP∽△MCK，
∴＝，
∴BP?CM＝CK?AB，
∴ac＝?，
∴2ac＝c2﹣b2+a2，
∴（a﹣c）2﹣b2＝0，
∴（a+b﹣c）（a﹣b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b﹣c＝0，
∴a＝b+c；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BH∥AC，過(guò)點(diǎn)D作DH∥BC，BH與DH交于點(diǎn)H，連接CH，
則∠BDH＝∠ABC＝60°，∠DBH＝∠ACB＝60°，
∴△BDH是等邊三角形，
∴BH＝BD，∠DBH＝60°，
∴BH＝CE，∠CBH＝∠ABC+∠DBH＝60°+60°＝120°，
∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°＝∠CBH，AC＝BC，
∴△ACE≌△CBH（SAS），
∴∠CAE＝∠BCH，AE＝CH，
∵DH∥BC，DH＝CE，
∴四邊形CEDH是平行四邊形，
∴CE∥ED，CH＝ED，
∴∠BCH＝∠BED，CH＝AE，
∴∠BED＝∠CAE，AE＝ED，
過(guò)點(diǎn)E作ET⊥AB于點(diǎn)T，交AC于點(diǎn)L，連接DL，
則AT＝TD＝AD，AL＝DL，
∵∠BAC＝60°，
∴△ADL是等邊三角形，
∴∠ALD＝60°＝∠ACB，
∴DL∥BC，即HD與DL在同一直線上，
∴四邊形BCLH是平行四邊形，
∴CL＝BH＝BD＝CE，LH＝BC，
設(shè)CE＝x，則CL＝x，BC＝AC＝5﹣x，AD＝DL＝AL＝AC﹣CL＝5﹣2x，AT＝，
∵DF∥CH，
∴＝，即＝，
∴LF＝，
∴AF＝AL+LF＝5﹣2x+＝，
在Rt△BET中，ET＝BE?sin60°＝，
∵AE2＝AT2+ET2，
∴AE2＝（）2+（）2＝x2﹣5x+25，
延長(zhǎng)BH，ED交于點(diǎn)R，則∠RHD＝∠FCE，∠R＝∠CFE，DH＝CE，
∴△HDR≌△CEF（AAS），
∴DR＝EF，
∴ER＝ED+DR＝AE+EF＝9﹣AF＝9﹣＝，
∵CH∥ED，
∴＝，
∴CH＝?ER＝×＝，
∴AE＝，
∴x2﹣5x+25＝（）2，
解得：x1＝5（舍去），x2＝，
∴AD＝5﹣2×＝，AF＝＝10﹣＝2，
作DM⊥AL于點(diǎn)M，則DM＝AD?sin60°＝×＝，
∴S△AEF＝S△ADE﹣S△ADF＝AD?ET﹣AF?DM＝××﹣×2×＝．

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙M與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸于C，D兩點(diǎn)，其中A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2）．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（不與A、D重合），連接PC，PD，作AE⊥DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值發(fā)生變化嗎？若不變，求出這個(gè)值，若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖2，若點(diǎn)Q為直線y＝﹣1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QC，QO，當(dāng)sin∠OQC的值最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
解：（1）∵A（﹣4，0），B（1，0），MA＝MB，
∴M（﹣1.5，0）．
（2）結(jié)論：的值不變．
理由：如圖1中，連接AC，BC，BD，PA，PB，作AH⊥PC于H，在PC上截取一點(diǎn)K，使得PK＝PD，連接BK．
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴OC＝OD，＝，
∴∠BPD＝∠BPK，
∵PK＝PD，PB＝PB，
∴△PBD≌△PBK（SAS），
∴BD＝BK＝BC，以B為圓心，BC為半徑作⊙B，
∵AB是⊙M的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴AC是⊙B的切線，
∴∠ACH＝∠CDK，
∵∠AHC＝∠AOC＝90°，
∴A，H，O，C四點(diǎn)共圓，
∴∠ACH＝∠AOH，∠OAH＝∠KCD，
∴∠AOH＝∠CDK，
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴OA＝4，OC＝OD＝2，
∴OA＝CD＝4，
∴△AOH≌△CDK（ASA），
∴AH＝CK，
∴PC﹣PD＝PC﹣PK＝CK＝HA，
∵∠APE+∠APD＝180°，∠APD+∠ABD＝180°，
∴∠APE＝∠ABD，
∵AB⊥CD，
∴＝，
∴∠ABD＝∠APC，
∴∠APE＝∠APC，
∵AE⊥PE，AH⊥PC，
∴AH＝AE，
∴＝1．
（3）如圖2中，作線段OC的垂直平分線GF交OC于G，以N為圓心，NC為半徑作⊙N，當(dāng)⊙N與直線y＝﹣1相切于點(diǎn)Q時(shí)，∠CQO的值最大，此時(shí)sin∠CQO的值最大．
∵∠NQH＝∠QHG＝∠NGH＝90°，
∴四邊形NQHG是矩形，
∴NQ＝HG＝NC＝2，
在Rt△NCG中，NG＝QH＝＝，
∴Q（﹣，﹣1）．
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)Q（，﹣1）時(shí)，也滿足條件．
綜上所述．滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（﹣，﹣1）或（，﹣1）．
13．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：
如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．
∵M(jìn)是的中點(diǎn)，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵M(jìn)D⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根據(jù)證明過(guò)程，分別寫(xiě)出下列步驟的理由：
① 相等的弧所對(duì)的弦相等 ，
② 同弧所對(duì)的圓周角相等 ，
③ 有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 ；
【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝ 1 ；
【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．
【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：
如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．
【問(wèn)題呈現(xiàn)】
①相等的弧所對(duì)的弦相等
②同弧所對(duì)的圓周角相等
③有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
故答案為：相等的弧所對(duì)的弦相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；
【理解運(yùn)用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案為：1；
【變式探究】DB＝CD+BA．
證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，
∵M(jìn)是弧AC的中點(diǎn)，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
【實(shí)踐應(yīng)用】
如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．
因?yàn)锳B＝6，圓的半徑為5，所以AC＝8．
已知∠D1AC＝45°，過(guò)點(diǎn)D1作D1G1⊥AC于點(diǎn)G1，
則CG1+AB＝AG1，
所以AG1＝（6+8）＝7．
所以AD1＝7．
如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．
所以AD的長(zhǎng)為7或．
14．先閱讀命題及證明思路，再解答下列問(wèn)題．
命題：如圖1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD相交于點(diǎn)E、F，連接EF．求證：EF＝BE+DF．
證明思路：
如圖2，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB與AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，點(diǎn)F、D、E′是一條直線．
根據(jù)SAS，得證△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF．
（1）特例應(yīng)用
如圖1，命題中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
（2）類(lèi)比變式
如圖3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的兩邊AE、AF分別與BC、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F，連接EF．寫(xiě)出EF、BE、DF之間的關(guān)系式，并證明你的結(jié)論．
（3）拓展深入
如圖4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的兩點(diǎn)，∠MAN＝∠BAD．
①如圖5，連接MB、MD，MD與AN交于點(diǎn)H，求證：MH＝BM+DH，DM⊥AN；
②若點(diǎn)C在（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、D、N、M重合）上，連接CB、CD分別交線段AM、AN或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，直接寫(xiě)出EF、BE、DF之間的等式關(guān)系．
解：（1）如圖1，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則有CE＝x﹣2，CF＝x﹣3．
由材料可知：EF＝BE+DF＝2+3＝5．
在Rt△CEF中，
∵∠C＝90°，
∴CE2+CF2＝EF2．
∴（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52．
解得：x1＝6，x2＝﹣1（舍去）
所以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6．
（2）EF＝BE﹣DF．
理由如下：
在BC上取一點(diǎn)F′，使得BF′＝DF．連接AF′，如圖3．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°．
∴∠ADF＝90°＝∠B．
在△ABF′和△ADF中，
．
∴△ABF′≌△ADF（SAS）．
∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF．
∴∠F′AF＝∠BAD＝90°．
∵∠EAF＝45°，
∴∠F′AE＝45°＝∠FAE．
在△F′AE和△FAE中，
．
∴△F′AE≌△FAE（SAS）．
∴F′E＝FE．
∴EF＝F′E＝BE﹣BF′＝BE﹣DF．
（3）①延長(zhǎng)MD到點(diǎn)M′，使得DM′＝BM，連接AM′，如圖5．
∵∠ADM′+∠ADM＝180°，∠ABM+∠ADM＝180°，
∴∠ABM＝∠ADM′．
在△ABM和△ADM′中，
．
∴△ABM≌△ADM′（SAS）．
∴AM＝AM′∠BAM＝∠DAM′．
∴∠MAM′＝∠BAD．
∵∠MAN＝∠BAD，
∴∠MAN＝∠MAM′．
∴∠MAN＝∠M′AN．
∵AM＝AM′，∠MAN＝∠M′AN，
∴MH＝M′H，AH⊥MM′．
∴MH＝M′H＝DM′+DH＝BM+DH，DM⊥AN．
②Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí)，如圖6、7．

同理可得：EF＝BE+DF．
Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)C在上時(shí)或點(diǎn)C在高于點(diǎn)D時(shí)，如圖8．

同理可得：EF＝DF﹣BE．

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