三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （結(jié)論）
證明：∵∠1=∠A+∠ACB
∴∠1=∠A+180°-∠2
∴∠1+∠2=∠A+180°
8字模型（基礎(chǔ)）：∠A+∠B=∠C+∠D （結(jié)論）
證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°
在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
而∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
8字模型（變形）：已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則
∠P=12 (∠B+∠D)
證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ①
∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 則∠P=12 (∠B+∠D)
飛鏢模型（基礎(chǔ)）：∠C=∠A+∠B+∠D （結(jié)論）
證明：
1）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P
2）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P
3）連接BD
飛鏢模型（變形）：已知線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12 (∠A+∠C)
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練】
1．如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（ ）．
A．B．C．D．
2．如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
4．如圖，若，則____________．
5．如圖所示，已知四邊形，求證．
【提高測(cè)試】
1．如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
2．如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
3．如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類(lèi)推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
4．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
5．如圖，____________．
6．如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求的度數(shù)．
7．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱(chēng)為“字形”，試說(shuō)明：．
（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．
（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；
（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．
8．閱讀材料：
如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．
結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．
結(jié)論應(yīng)用舉例：
如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．
解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．
解決問(wèn)題：
（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程．
9．模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．
模型應(yīng)用
（1）直接應(yīng)用：
①如圖2，，則__________；
②如圖3，__________；
（2）拓展應(yīng)用：
①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；
②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；
③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；
④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．
10．如圖，中，
(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；
(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．
11．探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：
(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則_____°；
②如圖3，平分，平分，若，，則______°；
③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)，，…，，若，，求的度數(shù)．
12．如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，顯然有；
閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：
(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；
(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．
③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．
專(zhuān)題05 A字型、8字模型、飛鏢模型
一、基礎(chǔ)知識(shí)回顧
三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
A字型模型： ∠1+∠2=∠A+180° （結(jié)論）
證明：∵∠1=∠A+∠ACB
∴∠1=∠A+180°-∠2
∴∠1+∠2=∠A+180°
8字模型（基礎(chǔ)）：∠A+∠B=∠C+∠D （結(jié)論）
證明：在?ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°
在?COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
而∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D
8字模型（變形）：已知線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD，則
∠P=12 (∠B+∠D)
證明：∵線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD
∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD
∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ①
∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ②
①+②得2∠P=∠B+∠D， 則∠P=12 (∠B+∠D)
飛鏢模型（基礎(chǔ)）：∠C=∠A+∠B+∠D （結(jié)論）
證明：
1）延長(zhǎng)AC到點(diǎn)P
2）延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P
3）連接BD
飛鏢模型（變形）：已知線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC，則∠O=12 (∠A+∠C)
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練】
1．如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．
【詳解】解：，
，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖，根據(jù)題意可知，，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可推出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖．
∵為直角三角形，，
∴，
∵，，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵在于得出，．
3．如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故選項(xiàng)A，B，C正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運(yùn)用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，若，則____________．
【答案】230°
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案為：230°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握三角形外角性質(zhì)．
5．如圖所示，已知四邊形，求證．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】方法1連接BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果；
方法2 作射線，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，，兩式相加即可得到結(jié)論；
方法3延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E，兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】方法1如圖所示，連接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如圖所示，連接AD并延長(zhǎng).
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如圖所示，延長(zhǎng)BD，交AC于點(diǎn)E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是知道三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和．也考查了三角形內(nèi)角和定理．
【提高測(cè)試】
1．如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240°B．280°C．360°D．540°
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個(gè)角的和，加在一起即可．
【詳解】解：由三角形外角的性質(zhì)得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個(gè)角分成兩部分來(lái)分別求出來(lái)，然后再加在一起．
2．如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖標(biāo)記，然后利用三角形的外角性質(zhì)得，，再利用互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．
【詳解】解：如下圖標(biāo)記，
，
，
，
又，
，
，
，
故選C．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，依此類(lèi)推，∠ABD4與∠ACD4的角平分線交于點(diǎn)D5，則∠BD5C的度數(shù)是（ ）
A．24°B．25°C．30°D．36°
【答案】B
【詳解】∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線交于D1，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACB
∵∠ABD1與∠ACD1的角平分線交于點(diǎn)D2，
∴∠ABD2=∠ABD1 =∠ABC，∠ACD2=∠ACD1 =∠ACB，
同理可得：∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=×160°=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180°-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故選：B
4．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．
【詳解】解：連EF，GI，如圖
，
∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案為：900°．
【點(diǎn)睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．
5．如圖，____________．
【答案】720°##720度
【分析】連接DH，利用三角形外角性質(zhì)得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四邊形內(nèi)角和等于360°即可求解．
【詳解】解：如圖，連接DH，
∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，
∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°，
∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，
∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，
故答案為：720°．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，將所求角轉(zhuǎn)化成三角形與四邊形的內(nèi)角，利用四邊形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，平分，交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)G，．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求的度數(shù)．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可得解；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF=，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵．
7．（1）已知：如圖①的圖形我們把它稱(chēng)為“字形”，試說(shuō)明：．
（2）如圖②，，分別平分，，若，，求的度數(shù)．
（3）如圖（3），直線平分，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________；
（4）如圖（4），直線平分的外角，平分的外角，猜想與、的數(shù)量關(guān)系是________．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）26°；（3）；（4）
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得證；
（2）設(shè)，，解方程即可得到答案；
（3）根據(jù)直線平分，平分的外角，得到
，從而可以得到180°，再根據(jù)∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到即可求解；
（4）連接PB，PD根據(jù)180°，180°得到360°，同理得到：360°，再根據(jù)180°，180°，，，即可求解.
【詳解】解：（1）180°，180°，
．
，
；
（2），分別平分，，設(shè)，，
則有，
，
（36°+16°）=26°
（3）直線平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴

∴
∴180°，
即90°．
（4）連接PB，PD
直線平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
8．閱讀材料：
如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．
結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．
結(jié)論應(yīng)用舉例：
如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．
解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．
解決問(wèn)題：
（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（3）連接BH、DE，由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；
（4）連接ND、NE，由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）連接BH、DE，
∵由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；
（4）連接ND、NE，
∵由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案為：360°；540°；720°；1080°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．
9．模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．
模型應(yīng)用
（1）直接應(yīng)用：
①如圖2，，則__________；
②如圖3，__________；
（2）拓展應(yīng)用：
①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；
②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；
③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；
④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之同的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．
【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0
【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計(jì)算即可；
②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計(jì)算即可；
（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計(jì)算可得；
②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入計(jì)算即可；
③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）計(jì)算可得；
④根據(jù)兩個(gè)凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個(gè)等式，聯(lián)立可得結(jié)論．
【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；
②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；
（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1
=∠BOC-（∠ABO+∠ACO）
=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=∠BOC-（120°-50°）
=120°-35°
=85°；
②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A）
=120°-（120°-50°）
=120°-21°
=99°；
③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）
=180°-（∠BOC-∠C）
=180°-（120°-44°）
=142°；
④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC，
∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，
聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類(lèi)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運(yùn)用其性質(zhì)．
10．如圖，中，
(1)若、的三等分線交于點(diǎn)、，請(qǐng)用表示、；
(2)若、的等分線交于點(diǎn)、（、依次從下到上），請(qǐng)用表示，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的三等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，再由、的等分線交于點(diǎn)、，可得再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵、的三等分線交于點(diǎn)、，
∴
∴，
；
（2）解：∵，
∴，
∵、的等分線交于點(diǎn)、，
∴
∴，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理，并利用類(lèi)比思想解答是解題的關(guān)鍵．
11．探究與發(fā)現(xiàn)：
如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問(wèn)題：
(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：
①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則_____°；
②如圖3，平分，平分，若，，則______°；
③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)，，…，，若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)①40，②90，③70°
【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，根據(jù)一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可證明；
（2）①由（1）的結(jié)論可得，然后把，代入上式即可得到的值；②結(jié)合圖形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的結(jié)論可知，易得答案．③由②方法，進(jìn)而可得答案．
【詳解】（1），理由如下：
連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，
由外角定理可得，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①由（1）的結(jié)論易得：，
∵，，
∴，
故答案是：40；
②由（1）的結(jié)論易得，，
∵，，
∴；
∵平分，平分，
∴，，
∴；
③由②知，，
∵，
∴設(shè)為，
∵，
∴，
∴，
∴為70°．
故答案是：70°．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
12．如圖1的圖形我們把它稱(chēng)為“8字形”，顯然有；
閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問(wèn)題：
(1)如圖2，AP、CP分別平分、，若，，求的度數(shù)；
(2)①在圖3中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②在圖4中，直線AP平分的外角，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．
③在圖5中，AP平分，CP平分的外角，猜想與、的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，無(wú)需說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)①，理由見(jiàn)解析；
②；
③
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠P+∠3=∠1+∠ABC，∠P+∠2=∠4+∠ADC，相加得到2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，繼而得到2∠P=∠ABC+∠ADC，代入數(shù)據(jù)得∠P的值；
（2）①按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∠PAB+∠P=∠4+∠B，分別用∠2，∠3表示出∠PAD和∠PCD，再整理即可得解；
②按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠BAP+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，分別用∠2，∠3表示出∠BAP和∠PCD，再整理即可得解；
③按解析圖標(biāo)記好∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根據(jù)題干的結(jié)論列出∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∠2+∠P=∠PCD+∠D，分別用∠2，∠3表示出∠BAD、∠BCD和∠PCD，再整理即可得解；
（1）
解：∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
由（1）的結(jié)論得：∠P+∠3=∠1+∠ABC①，∠P+∠2=∠4+∠ADC②，
①+②，得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∴∠P=（∠ABC+∠ADC）=（36°+16°）=26°．
（2）
，理由如下：
①∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
由（1）的結(jié)論得：∠PAD+∠P=∠PCD+∠D③，∠PAB+∠P=∠4+∠B④，
∵∠PAB=∠1，∠1=∠2，
∴∠PAB=∠2，
∴∠PAD=∠PAB+∠BAD=∠2+180°－2∠2=180°－∠2，
∴∠2+∠P=∠3+∠B⑤，
③+⑤得∠2+∠P+∠PAD+∠P=∠3+∠B+∠PCD+∠D，
∴∠2+∠P+180°－∠2+∠P=∠3+∠B+180°－∠3+∠D
即2∠P+180°=∠B+∠D+180°，
∴．
②，理由如下：
如圖4，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD=180°﹣2∠1，∠BCD=180°﹣2∠3，
由題干可知：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，
∴（180°﹣2∠1）+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D，
在四邊形APCB中，∠BAP+∠P+∠3+∠B=360°，
即（180°﹣∠2）+∠P+∠3+∠B=360°，⑥
在四邊形APCD中，∠2+∠P+∠PCD+∠D=360°，
即∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D=360°，⑦
⑥+⑦得：2∠P+∠B+∠D+∠2﹣∠2+∠3﹣∠3=360°
∴2∠P+∠B+∠D=360°，
∴；
③，理由如下：
如圖5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由題干結(jié)論得：∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，即2∠2+∠B=（180°﹣2∠3）+∠D⑧，
∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠P=（180°﹣∠3）+∠D⑨，
⑨×2﹣⑧得：2∠P﹣∠B=180°+∠D，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并運(yùn)用好“8”字形的結(jié)論，然后列出兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵，用阿拉伯?dāng)?shù)字加弧線表示角更形象直觀．

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