1）平行線(xiàn)的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）
性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
性質(zhì)3：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).。
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
模型一：鉛筆頭模型
【鉛筆頭模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，結(jié)論：∠B+∠C+∠E = 360°
證明1：過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB （見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
證明2：連接BE
∵AB∥DE ∴ ∠ABE+∠BED=180°而∠CBE+∠C+∠BEC = 180°
∴∠ABC+∠C+∠DEC=∠ABE+∠CBE+∠C+∠BED+∠BEC = 360°
證明3：延長(zhǎng)射線(xiàn)DE和射線(xiàn)BC，相交于點(diǎn)K
∵AB∥DE ∴∠B+∠K=180°即∠K=180°-∠B
∵∠DEC+∠CEK=180°即∠CEK=180°-∠DEC
則∠BCE=∠K+∠CEK=180°-∠B+180°-∠DEC=360°-∠B-∠DEC
即∠BCE+∠B+∠DEC = 360°
【鉛筆頭模型變形】
變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E=
證明：
變式二：若a∥b，則∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=
模型二：鋸齒模型
【鋸齒模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，則∠B+∠E=∠C
證明：過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【試一試】嘗試用三角形內(nèi)角與外角相關(guān)知識(shí)證明。
【鋸齒模型變形】
變式一：已知AB∥DE，則
證明：
變式二：若a∥b，則所有朝左角之和 所有朝右角的和。
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練】
1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
2．如圖，兩直線(xiàn)、平行，則（ ）．
A．B．C．D．
3．一大門(mén)的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．
4．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
5．如圖，若，則，你能說(shuō)明為什么嗎？
6．如圖，已知AB∥CD．
（1）如圖1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并寫(xiě)出求解過(guò)程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝ ．
7．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

【提高測(cè)試】
1．如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿(mǎn)足的等式是（ ）
A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
2．如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線(xiàn)與∠CDE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，則∠DFB=（ ）
A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°
3．如圖所示，如果 AB ∥ CD ，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
4．問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是過(guò)點(diǎn)作，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)來(lái)求．
（1）按照小明的思路，寫(xiě)出推算過(guò)程，求的度數(shù)．
（2）問(wèn)題遷移：如圖2，，點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與、之間的數(shù)量關(guān)系．
5．如圖①，已知AB∥CD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P是兩平行線(xiàn)之間的一點(diǎn)，設(shè)∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)EH交CD于點(diǎn)N，作射線(xiàn)FI，延長(zhǎng)PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFl，得到圖②．
（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，當(dāng)α=20°，β=50°時(shí)，∠EPM= 度，∠EPF= 度；
（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數(shù)；
（3）在圖②中，當(dāng)FI∥EH時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出α與β的數(shù)量關(guān)系．
6．已知，直線(xiàn)AB∥CD
（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．
7．如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．
（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．
（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．
（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．
（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．
8．（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如圖2，若平行線(xiàn)AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫(xiě)出你的猜想并證明．
9．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．
思路點(diǎn)撥：
小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．
問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
專(zhuān)題03 鉛筆頭模型與鋸齒模型
基礎(chǔ)知識(shí)回顧
1）平行線(xiàn)的性質(zhì)：
性質(zhì)1：兩直線(xiàn)平行，同位角相等；
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）
性質(zhì)2：兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
性質(zhì)3：兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).。
幾何符號(hào)語(yǔ)言：∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
2）三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°
三角形外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。
二、模型的概述：
模型一：鉛筆頭模型
【鉛筆頭模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，結(jié)論：∠B+∠C+∠E = 360°
證明1：過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB （見(jiàn)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
證明2：連接BE
∵AB∥DE ∴ ∠ABE+∠BED=180°而∠CBE+∠C+∠BEC = 180°
∴∠ABC+∠C+∠DEC=∠ABE+∠CBE+∠C+∠BED+∠BEC = 360°
證明3：延長(zhǎng)射線(xiàn)DE和射線(xiàn)BC，相交于點(diǎn)K
∵AB∥DE ∴∠B+∠K=180°即∠K=180°-∠B
∵∠DEC+∠CEK=180°即∠CEK=180°-∠DEC
則∠BCE=∠K+∠CEK=180°-∠B+180°-∠DEC=360°-∠B-∠DEC
即∠BCE+∠B+∠DEC = 360°
【鉛筆頭模型變形】
變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
證明：分別過(guò)點(diǎn)M、點(diǎn)N作OM∥AB,PN∥DE
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥OM∥PN
∴∠B+∠1=180°①，
∠2+∠3=180°②，
∠E+∠4=180°③
①+②+③得，∠B+∠1+∠2 +∠3+∠4+∠E = 540°，
則∠B+∠BMN+∠MNE+∠E= 540°
變式二：若a∥b，則
∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐點(diǎn)數(shù)+1）
模型二：鋸齒模型
【鋸齒模型基礎(chǔ)】已知AB∥DE，則∠B+∠E=∠C
證明：過(guò)點(diǎn)C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【試一試】嘗試用三角形內(nèi)角與外角相關(guān)知識(shí)證明。
【鋸齒模型變形】
變式一：已知AB∥DE，則∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
證明：分別過(guò)點(diǎn)C，點(diǎn)M，點(diǎn)N分別作CO∥AB，PM∥AB，NQ∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CO∥PM∥NQ
∴∠B=∠1 ①，∠3=∠2 ②，∠4=∠5 ③，∠E=∠6 ④
①+②+③+④得∠B+∠3+∠4+∠E=∠1+∠2+∠5+∠6
即∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
變式二：若a∥b，則所有朝左角之和等于所有朝右角的和。
【基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練】
1．如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．
【詳解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解答．
2．如圖，兩直線(xiàn)、平行，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】分別過(guò)E點(diǎn),F點(diǎn),G點(diǎn),H點(diǎn)作L1,L2,L3,L4平行于AB
觀察圖形可知，圖中有5組同旁?xún)?nèi)角，
則
故選D
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵
3．一大門(mén)的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．
【答案】270°
【分析】過(guò)B作BF∥AE，則CD∥BF∥AE．根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．
【詳解】過(guò)B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
則CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案為：270．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝___°．
【答案】540
【分析】過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可作答．
【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)F作，如圖，
∵，，，
∴，，
∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，
∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，
∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，
故答案為：540．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，即兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．構(gòu)造輔助線(xiàn)，是解答本題的關(guān)鍵．
5．如圖，若，則，你能說(shuō)明為什么嗎？
【答案】見(jiàn)解析
【分析】過(guò)作，利用兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等來(lái)證明．
【詳解】解：過(guò)作，
則，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)證明．
6．如圖，已知AB∥CD．
（1）如圖1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并寫(xiě)出求解過(guò)程．
（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，可得答案；
（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；
（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線(xiàn)，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；
（4）由（2）（3）類(lèi)比可得答案．
【詳解】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．
故答案為：180°；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線(xiàn)，
類(lèi)比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案為：540°；
（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案為：（n-1）×180°．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)．注意掌握輔助線(xiàn)的作法是解此題的關(guān)鍵．
7．（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180 °
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A2作A2B∥l1，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解；
（2）過(guò)點(diǎn)A2作A2B∥l1，過(guò)點(diǎn)A3作A3C∥l1，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解；
（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解；
（4）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)A2作A2B∥l1，
∵l1∥l2，
∴A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，
故答案是：360°；
（2）過(guò)點(diǎn)A2作A2B∥l1，過(guò)點(diǎn)A3作A3C∥l1，
∵l1∥l2，
∴A3C∥A2B∥l1∥l2，
∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，
∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2
=180°+180°+180°=540°，
故答案是：540°；
（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，
故答案是：720°；
（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180 °，
故答案是：（n-1）180 °．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造平行線(xiàn)，是解題的關(guān)鍵．
【提高測(cè)試】
1．如圖，∠BCD＝90°，AB∥DE，則α與β一定滿(mǎn)足的等式是（ ）
A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
【答案】D
【分析】過(guò)C作CF∥AB，根據(jù)平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行得到AB∥DE∥CF，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到作差即可．
【詳解】詳：過(guò)C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故選：D．
【點(diǎn)睛】考查平行公理已經(jīng)平行線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意輔助線(xiàn)的作法，作出輔助線(xiàn)．
2．如圖，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分線(xiàn)與∠CDE的平分線(xiàn)交于點(diǎn)F，則∠DFB=（ ）
A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°
【答案】B
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根據(jù)角的計(jì)算以及角平分線(xiàn)的定義可得“∠FBE+∠EDF=∠ABE+∠CDE）”，再依據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°結(jié)合角的計(jì)算即可得出結(jié)論．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分線(xiàn)相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四邊形的BFDE的內(nèi)角和為360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及四邊形內(nèi)角和為360°，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出相等（或互補(bǔ)）的角是關(guān)鍵．
3．如圖所示，如果 AB ∥ CD ，則∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系為（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
【答案】C
【分析】過(guò)E作EF∥AB，由平行線(xiàn)的質(zhì)可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之間的關(guān)系．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠β=∠AEF+∠FED，
又∵∠γ=∠EDC，
∴∠α+∠β-∠γ=180°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．
4．問(wèn)題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是過(guò)點(diǎn)作，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)來(lái)求．
（1）按照小明的思路，寫(xiě)出推算過(guò)程，求的度數(shù)．
（2）問(wèn)題遷移：如圖2，，點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，記，，當(dāng)點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)與、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與、之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由見(jiàn)解析；（3）∠APC=β-α．
【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，先推出PE∥AB∥CD，再通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)可求出∠APC；
（2）過(guò)P作PE∥AB交AC于E，先推出AB∥PE∥DC，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交OA于點(diǎn)E，同（2）中方法根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出α=∠APE，β=∠CPE，即可得出答案．
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如圖2，過(guò)P作PE∥AB交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交OA于點(diǎn)E，
同（2）可得，α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)與平行公理，解題的關(guān)鍵是過(guò)拐點(diǎn)作平行線(xiàn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)解決問(wèn)題．
5．如圖①，已知AB∥CD，點(diǎn)E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P是兩平行線(xiàn)之間的一點(diǎn)，設(shè)∠AEP=α，∠PFC=β，在圖①中，過(guò)點(diǎn)E作射線(xiàn)EH交CD于點(diǎn)N，作射線(xiàn)FI，延長(zhǎng)PF到G，使得PE、FG分別平分∠AEH、∠DFl，得到圖②．
（1）在圖①中，過(guò)點(diǎn)P作PM∥AB，當(dāng)α=20°，β=50°時(shí)，∠EPM= 度，∠EPF= 度；
（2）在（1）的條件下，求圖②中∠END與∠CFI的度數(shù)；
（3）在圖②中，當(dāng)FI∥EH時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出α與β的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）20，70；（2）80°；（3）90°；
【分析】（1）由PM∥AB根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠EPM=∠AEP=20°，根據(jù)平行公理的推論可得PM∥CD，繼而可得∠MPF=∠CFP=50°，從而即可求得∠EPF；
（2）由角平分線(xiàn)的定義可得∠AEH=2α=40°，再根據(jù)AD∥BC，由兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠END=∠AEH=40°，由對(duì)頂角相等以及角平分線(xiàn)定義可得∠IFG=∠DFG=β=50°，再根據(jù)平角定義即可求得∠CFI的度數(shù)；
（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，由AB∥CD，可得∠END=2α，當(dāng)FI∥EH時(shí)，∠END=∠CFI，據(jù)此即可得α+β=90°．
【詳解】（1）∵PM∥AB，α=20°，
∴∠EPM=∠AEP=20°，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴PM∥CD，
∴∠MPF=∠CFP=50°，
∴∠EPF=20°+50°=70°，
故答案為20，70；
（2）∵PE平分∠AEH，
∴∠AEH=2α=40°，
∵AD∥BC，
∴∠END=∠AEH=40°，
又∵FG平分∠DFI，
∴∠IFG=∠DFG=β=50°，
∴∠CFI=180°-2β=80°；
（3）由（2）可得，∠CFI=180°-2β，
∵AB∥CD，
∴∠END=∠AEN=2α，
∴當(dāng)FI∥EH時(shí)，∠END=∠CFI，
即2α=180°-2β，
∴α+β=90°．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
6．已知，直線(xiàn)AB∥CD
（1）如圖（1），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（2）如圖（2），點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
（3）如圖（3），寫(xiě)出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．
（3）過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)即可進(jìn)行轉(zhuǎn)化找到角的關(guān)系．
【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GE∥AB，
∵AB∥GE，
∴∠A+∠AGE=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．
∵∠A=140°，
∴∠AGE=40°．
∵AB∥GE，AB∥CD，
∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．
∵∠C=150°，
∴∠CGE=30°．
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作GF∥AB
∵AB∥GF，
∴∠A=AGF（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，
∴GF∥CD．
∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，過(guò)點(diǎn)G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，本題構(gòu)造輔助線(xiàn)利用平行線(xiàn)的傳遞性結(jié)合平行線(xiàn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．
（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．
（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．
（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．
（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；
（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線(xiàn)，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；
（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線(xiàn)，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；
（4）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．
【詳解】（1）過(guò)E作EH∥AB（如圖②）．
∵原四邊形是長(zhǎng)方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線(xiàn)，如圖③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線(xiàn)，如圖④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．
故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線(xiàn)并利用兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．
8．（1）如圖1，AM∥CN，求證：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如圖2，若平行線(xiàn)AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫(xiě)出你的猜想并證明．
【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）猜想：若平行線(xiàn)間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見(jiàn)解析
【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，依據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線(xiàn)，則這些直線(xiàn)互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．
【詳解】解：（1）①證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如圖，過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行線(xiàn)間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．
證明：如圖2，過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線(xiàn)，則這些直線(xiàn)互相平行且與CN平行，
∴結(jié)合（1）問(wèn)得：
所有角的和為（n+1）?180°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線(xiàn)，利用兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．
9．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．
思路點(diǎn)撥：
小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，通過(guò)平行線(xiàn)性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．
問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】問(wèn)題解決：110°；問(wèn)題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見(jiàn)解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見(jiàn)解析
【分析】小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁?xún)?nèi)角，利用平行線(xiàn)性質(zhì)，可得∠APC＝110°．
（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）畫(huà)出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上），根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【詳解】解：小明的思路：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案為：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖6，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如圖7，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁?xún)?nèi)角．

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專(zhuān)題01 豬蹄模型與鋸齒模型（解析版）

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【中考一輪專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)】2023年中考數(shù)學(xué)通用版培優(yōu)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 05 鋸齒模型（原卷版+解析版）

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