一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1.中國(guó)傳統(tǒng)紋樣產(chǎn)生于民間，寄寓著花好月圓的愿景，寄托著平安康樂的期盼.如圖的四幅傳統(tǒng)紋樣中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）.
A.B.C.D.
2.一元二次方程的根的判別式的值是（ ）.
A.21B.29C.D.
3.若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（ ）.
A.2B.-2C.4D.-4
4.將拋物線先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為（ ）.
A.B.
C.D.
5.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好在邊上，連接，則的長(zhǎng)為（ ）.
A.8B.C.D.6
6.、、三點(diǎn)都在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為（ ）.
A.B.C.D.
7.在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線（是常數(shù)且）與拋物線的圖象可能是（ ）.
A. B. C. D.
8.歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程的一個(gè)正根.
如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形的紙片，先對(duì)折得到邊、邊的中點(diǎn)、，再沿過點(diǎn)的直線折疊使落在線段上，折痕為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接、，下列四條線段的長(zhǎng)度，其中恰好是方程的一個(gè)正根的線段為（ ）.
A.線段B.線段C.線段D.線段
9.已知拋物線上有兩點(diǎn)和，則的值為（ ）.
A.1B.-2022C.2022D.-1
10.無論為何值，直線與拋物線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）.
A.B.C.或D.或
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
12.已知方程的兩個(gè)根分別為，，則的值為________.
13.如圖，香港特區(qū)標(biāo)志紫荊花圖案繞中心旋轉(zhuǎn)后能與原來的圖案互相重合，則的最小值為_____.
14.如圖是一張矩形紙片，長(zhǎng)，寬，在它的四角各剪去一個(gè)同樣的小正方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒.若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是，求剪去的小正方形的邊長(zhǎng).
設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是，根據(jù)題意可列方程為________.
15.已知拋物線的圖象經(jīng)過，頂點(diǎn)是，且，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③的解集是或；④點(diǎn)，在拋物線上，當(dāng)時(shí)，.其中正確的是_________（只需填寫正確結(jié)論的序號(hào)）.
16.如圖，在等腰中，，請(qǐng)將等腰以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)得到，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為__________.
三、解答題（共8小題，共72分）
17.（本題8分）（1）用配方法解方程：；（2）用公式法解方程：.
18.（本題8分）已知二次函數(shù).
（1）用配方法將二次函數(shù)的一般式化成的形式；
（2）分別寫出此二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸.
19.（本題8分）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，三點(diǎn)恰好在同一直線上.
（1）判斷的形狀；
（2）連接，若，求的度數(shù).
20.（本題8分）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值及方程的根.
21.（本題8分）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，、兩點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）.
（1）在圖1中，為格點(diǎn).
①先將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段；
②再畫線段，使線段與線段關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱（其中點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；
（2）在圖2中，以格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)坐標(biāo)為.
①先畫格點(diǎn)，使，且；
②已知線段繞平面內(nèi)的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)特定的度數(shù)可與線段重合，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出旋轉(zhuǎn)中心；
③請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________.
22.（本題10分）中山公園的人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安裝一個(gè)噴水頭，噴出的水柱形狀可看作是拋物線的一部分.若記水柱上某一點(diǎn)的位置與水管的水平距離為米，與湖面的垂直高度為米，表中記錄了與的五組數(shù)據(jù)：

圖1 圖2
（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，在圖1建立的平面直角坐標(biāo)系中畫出表示與函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）求與函數(shù)表達(dá)式；
（3）公園準(zhǔn)備通過調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使游船能從拋物線形水柱下方通過.如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船以拋物線的對(duì)稱軸為中軸線從水柱下方通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米.已知游船頂棚寬度為2米，頂棚到湖面的高度為1.8米，請(qǐng)計(jì)算分析水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？-
23.（本題10分）
【問題背景】如圖1，已知和都是等邊三角形，求證：；
圖1
【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，在上截取，連接，為上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接并延長(zhǎng)交線段于點(diǎn)，且，求證：點(diǎn)為線段的中點(diǎn)；
圖2
【拓展探究】如圖3，在中，，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，，若，請(qǐng)直接寫出面積的最大值為_____________.
圖3
24.（本題12分）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).
（1）請(qǐng)直接寫出：此拋物線的函數(shù)解析式為_____________；
（2）如圖1，已知點(diǎn)在第二象限的拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在這樣的、兩點(diǎn)使得四邊形為矩形？若存在，求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，平移拋物線，使新拋物線的頂點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過原拋物線的頂點(diǎn)作軸，交新拋物線于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo).（米）
0
1
2
3
4
（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5

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