1.在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.
2.理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.
3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式).
1.直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角定義:在平面直角坐標系中,當直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫作直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為 .
(2)范圍:傾斜角α的取值范圍是 ,即[0,π).
(3)直線的斜率定義:一條直線的傾斜角α(α≠90°)的 叫作這條直線的斜率,該直線的斜率k= .
(4)過兩點的直線的斜率公式:過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k= .
2.直線的方向向量與法向量
(1)直線方向向量的幾種形式
(2)直線的方向向量與斜率的關系
一般地,已知a=(u,v)為直線l的一個方向向量,則
①當u=0時,直線l的斜率不存在,傾斜角為 ;
②當u≠0時,直線l的斜率k= ,傾斜角θ滿足tan θ= .
3.直線方程的五種形式
常用結論
1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系:
2.特殊位置的直線方程
(1)經(jīng)過點(a,b)且平行于x軸的直線方程為y=b;
(2)經(jīng)過點(a,b)且平行于y軸的直線方程為x=a;
(3)過原點且斜率為k的直線方程為y=kx.
3.直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一個法向量v=(A,B),一個方向向量a=(-B,A).
題組一 常識題
1.[教材改編] 已知直線l經(jīng)過點A(-2,0)與B(-5,33),則直線l的斜率k= ,傾斜角θ= ,一個方向向量為 .
2.[教材改編] 已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三點在同一條直線上,則m= .
3.[教材改編] 直線y+2=k(x+1)恒過點 .
題組二 常錯題
◆索引:對截距概念理解有誤;對傾斜角和斜率的關系掌握不牢;忽略截距為0的情況.
4.經(jīng)過兩點(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為 .
5.下列說法中,錯誤的是 .(填序號)
①坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角;
②若一條直線的斜率為1,則此直線的傾斜角為90°;
③直線的傾斜角的取值范圍是[0,π);
④若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tan α.
6.過點(1,1)且在x軸上的截距與在y軸上的截距相等的直線的方程為 .
直線的傾斜角和斜率
例1 經(jīng)過點P(0,-1)作直線l,且直線l與連接點A(1,-2),B(2,1)的線段沒有公共點,則直線l的傾斜角α的取值范圍為 ,斜率k的取值范圍為 .
總結反思
(1)求傾斜角的取值范圍的一般步驟:①求出斜率k=tan α的取值范圍,但需注意斜率不存在的情況;②利用正切函數(shù)的單調(diào)性,借助函數(shù)圖象或單位圓,數(shù)形結合確定傾斜角α的取值范圍.
(2)注意傾斜角的取值范圍是[0,π),若直線的斜率不存在,則直線的傾斜角為π2,此時直線垂直于x軸.
(3)每條直線都有傾斜角,但不一定存在斜率.
變式題 (1)若直線ax+y-1=0與連接A(2,3),B(-3,2)的線段總有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是 .
(2)直線x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是 .
求直線的方程
例2 (1)(多選題)過點(-3,1)且在x軸、y軸上的截距的絕對值相等的直線的方程可能是( )
A.x+3y=0B.x+y+2=0
C.x-y+4=0D.x-3y=0
(2)[2023·山西大學附中月考] 已知△ABC的頂點A(5,5),AC邊上的高所在直線的方程為3x+2y-7=0,則AC邊所在直線的方程為( )
A.x-2y+5=0B.2x-3y+3=0
C.x+2y-15=0D.2x-3y+5=0
總結反思
(1)求直線的方程一般有以下兩種方法:
①直接法:由題意確定出直線方程的適當形式,然后直接寫出其方程.
②待定系數(shù)法:先由直線滿足的條件設出直線的方程,方程中含有待定的系數(shù),再由題設條件求出待定系數(shù),即得所求直線方程.
(2)在求直線的方程時,應選擇適當?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.特別是對于點斜式、截距式,使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況;若采用截距式,應先判斷截距是否為零).
(3)最后結果寫成直線的方程的一般式或斜截式.
變式題 (1)(多選題)已知直線l的一個方向向量為n=1,32,若l過點A(-4,3),則直線l的方程可以為( )
A.y-3=-32(x+4)
B. 3x-2y-18=0
C.y-3=32(x+4)
D.3x-2y+18=0
(2)在平面直角坐標系xOy中,已知△AOB為等腰三角形,|OA|=|AB|,A(1,3),點B在x軸的正半軸上,則直線AB的方程為 .
(3)已知直線l:kx-y+1+2k=0,若直線l在兩坐標軸上的截距相等,則k的值為 ;若直線l不經(jīng)過第三象限,則實數(shù)k的取值范圍是 .
直線方程的綜合應用
例3 如圖,O為坐標原點,過點P(4,1)作直線l,分別交x軸、y軸的正半軸于點A,B.
(1)當△AOB的面積最小時,求直線l的方程;
(2)當|OA|+|OB|取最小值時,求直線l的方程.


總結反思
(1)求參數(shù)的值或范圍,注意點在直線上,則點的坐標滿足直線的方程,再結合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.條件
直線l的方向向量的表示
P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線l上兩個不同點
P1P2=
直線l的斜率為k

名稱
方程
適用范圍
點斜式

不含直線x=x0
斜截式

不含垂直于x軸的直線
兩點式

不含直線x=x1(x1=x2)和直線y=y1(y1=y2)
截距式

不含垂直于坐標軸和過原點的直線
一般式

平面內(nèi)所有直線都適用
α
0°
30°
45°
60°
0°

相關試卷

01 第55講　隨機抽樣 【正文】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習：

這是一份01 第55講　隨機抽樣 【正文】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習，共7頁。試卷主要包含了知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑,包括等內(nèi)容，歡迎下載使用。

01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【正文】作業(yè) 高考數(shù)學二輪復習練習：

這是一份01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【正文】作業(yè) 高考數(shù)學二輪復習練習，共4頁。試卷主要包含了直線x=-tanπ4的傾斜角是，已知直線l1，47B等內(nèi)容，歡迎下載使用。

01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【答案】作業(yè) 高考數(shù)學二輪復習練習：

這是一份01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【答案】作業(yè) 高考數(shù)學二輪復習練習，共4頁。試卷主要包含了A　[解析] 直線l1，D　[解析] 方法一等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【答案】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習

01 第47講　直線的傾斜角與斜率、直線的方程 【答案】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習
01 第40講　空間幾何體 【正文】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習

01 第40講　空間幾何體 【正文】聽課 高考數(shù)學二輪復習練習
01 第34講　數(shù)列的概念與簡單表示法 【正文】聽課高考數(shù)學練習

01 第34講　數(shù)列的概念與簡單表示法 【正文】聽課高考數(shù)學練習
01 第1講　集合 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習

01 第1講　集合 【正文】聽課高考數(shù)學復習練習
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部