1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).
2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
1.數(shù)列的有關(guān)概念
2.數(shù)列的表示法
3.數(shù)列的分類
4.an 與Sn的關(guān)系
已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2.
題組一 常識題
1.[教材改編] 數(shù)列13,18,115,124,135,…的一個通項公式是an= ,n∈N*.
2.[教材改編] 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n2-λn+1,若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是 .
3.[教材改編] 已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=an-1an,且數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則a2024= ,S2024= .
題組二 常錯題
◆索引:不能正確求出通項公式;忽視數(shù)列是特殊的函數(shù),其自變量屬于正整數(shù)集N*或{1,2,…,n};根據(jù)Sn求an時忽視對n=1的驗證.
4.若一個數(shù)列為1,37,314,321,…,則398是這個數(shù)列的第 項.
5.已知an=n2-3n+2,則數(shù)列{an}的最小項為 ,是第 項.
6.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1-λ,則當(dāng)λ=1時,數(shù)列{an}的通項公式為 ;當(dāng)λ=2時,數(shù)列{an}的通項公式為 .
根據(jù)數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式
例1 (1)數(shù)列-1,3,-6,10,…的一個通項公式是( )
A.an=(-1)nn2-(n-1)
B.an=(-1)n+1(n2-1)
C.an=(-1)nn(n+1)2
D.an=(-1)n-1n(n-1)2
(2)(多選題)已知數(shù)列{an}的前4項為2,0,2,0,則依此歸納該數(shù)列的通項公式可能是( )
A.an=(-1)n-1+1
B.an=2,n為奇數(shù),0,n為偶數(shù)
C.an=2sinnπ2
D.an=cs (n-1)π+1
總結(jié)反思
由數(shù)列前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略:
(1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列).可以使用添項、還原、分割等方法,轉(zhuǎn)化為一個常見數(shù)列,通過常見數(shù)列的通項公式求得所給數(shù)列的通項公式.
(2)具體策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征,如遞增時可考慮關(guān)于n的一次遞增或以2n,3n等形式遞增;③拆項后的特征;④各項的符號特征和絕對值的特征;⑤化異為同,對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系;⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*來處理.
變式題 (1)數(shù)列1,-58,715,-924,…的一個通項公式是( )
A.an=(-1)n+12n-1n2+n(n∈N*)
B.an=(-1)n-12n+1n3+3n(n∈N*)
C.an=(-1)n+12n-1n2+2n(n∈N*)
D.an=(-1)n-12n+1n2+2n(n∈N*)
(2)數(shù)列0.3,0.33,0.333,0.333 3,…的一個通項公式是( )
A.an=19(10n-1)
B.an=13(10n-1)
C.an=131-110n
D.an=310(10n-1)
由an與Sn的關(guān)系求通項公式
例2 (1)[2023·山東泰安肥城二模] 數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn+1-2Sn=1-n,且S1=3,則{an}的通項公式是 .
(2)[2023·湖北襄陽四中二模] 數(shù)列{an}滿足a1+a23+a332+…+an3n-1=4n+1,則數(shù)列{an}的通項公式為 .
總結(jié)反思
已知Sn求an的常用方法是利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式,再求通項公式.主要分三個步驟完成:
(1)先利用a1=S1,求得a1.
(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2,n∈N*時的通項公式.
(3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2,n∈N*時an的表達(dá)式.若符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;若不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫.
變式題 (1)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,a1=1,an+1+2Sn=2n+1,則S2023=( )
A.2021B.2022
C.2023D.2024
(2)已知數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和,且Sn=2an+1,則數(shù)列{an}的通項公式為an= .
數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)
例3 (1)已知數(shù)列{an}滿足an=nn2+6,n為正整數(shù),則該數(shù)列的最大項是( )
A.12B.15
C.16D.531
(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(3-t)n-3,1≤n≤7,tn-6,n>7,若{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)t的取值范圍是( )
A.(3,6)B.(1,2)
C.(1,3)D.(2,3)
(3)[2024·長沙長郡中學(xué)月考] 數(shù)列{an}滿足an+1=2an,0≤an1
B.對于任意的a1>0,數(shù)列{an}不可能為常數(shù)列
C.若0

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