例1 [思路點(diǎn)撥] (1)由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求得a2,a4,從而可求得b1,b2,由題意可推出bn-bn-1=3,可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,從而可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)思路一:由數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都為等差數(shù)列,分組求和即可;思路二:根據(jù)條件,轉(zhuǎn)化為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和求解.
解:(1)因?yàn)閍1=1,an+1=an+1,n為奇數(shù),an+2,n為偶數(shù),
所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=4,a4=a3+1=5,
所以b1=a2=2,b2=a4=5,
bn-bn-1=a2n-a2n-2=a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2=1+2=3,
所以數(shù)列{bn}是以b1=2為首項(xiàng),以3為公差的等差數(shù)列,
所以bn=2+3(n-1)=3n-1.
(2)方法一:由(1)可得a2n=3n-1,n∈N*,
則a2n-1=a2n-2+2=3(n-1)-1+2=3n-2,n≥2,
當(dāng)n=1時(shí),a1=1也適合上式,所以a2n-1=3n-2,n∈N*,
所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都為等差數(shù)列,則{an}的前20項(xiàng)和為a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.
方法二:a1+a2+…+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=(a1+a2+2+a4+2+…+a18+2)+(b1+b2+b3+…+b10)=19+(b1+b2+b3+…+b9)+(b1+b2+b3+…+b10)=19+9×(2+26)2+10×(2+29)2=300.
變式題1 解:(1)由題意知a2=a1+1,a3=2a2=2a1+2,因?yàn)閍2是a1,a3的等比中項(xiàng),所以a22=a1a3,即(a1+1)2=a1(2a1+2),顯然a1≠0且a1≠-1,故a1=1.
(2)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),an=2an-1=2(an-2+1)=2an-2+2,n≥3,可得an+2=2(an-2+2),n≥3,又a1+2=3,所以數(shù)列a1+2,a3+2,…,a2k-1+2,…,k∈N*且k≥2是等比數(shù)列,
所以數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和S20=a1+a2+a3+a4+…+a19+a20=a1+(a1+1)+a3+(a3+1)+…+a19+(a19+1)=2[(a1+2)+(a3+2)+…+(a19+2)]-30=2×3×(1-210)1-2-30=6108.
變式題2 解:(1)由an-1+an+1=2an(n≥2,n∈N*),得an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
由S5=5×a1+a52=5a3=15,得a3=3,
所以公差d=a3-a13-1=1,所以an=1+(n-1)×1=n.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),bn=an=n,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),bn=2bn-1=2n-1,所以T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=(1+3+…+2n-1)+(2+23+…+22n-1)=n2+22n+1-23.
例2 [思路點(diǎn)撥] (1)當(dāng)n≥2時(shí),利用累加法可求得Sn2的表達(dá)式,結(jié)合Sn>0可得出Sn的表達(dá)式,再檢驗(yàn)n=1的情形,綜合可得出Sn的表達(dá)式;(2)由an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n≥2求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,列舉出數(shù)列{bn}的前20項(xiàng),即可求得T20的值.
解:(1)因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*,Sn+12-Sn2=8n恒成立,
所以當(dāng)n≥2時(shí),Sn2=(Sn2-Sn-12)+…+(S22-S12)+S12=8(n-1)+…+8×1+1=8[1+2+3+…+(n-1)]+1=8×n(n-1)2+1=(2n-1)2,因?yàn)閍n>0,所以Sn>0,故Sn=2n-1(n≥2).因?yàn)镾1=a1=1適合Sn=2n-1,所以Sn=2n-1,n∈N*.
(2)因?yàn)镾n=2n-1,n∈N*,所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(2n-1)-[2(n-1)-1]=2,所以an=1,n=1,2,n≥2,所以數(shù)列{bn}的前20項(xiàng)依次為1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,所以{bn}的前20項(xiàng)由6個(gè)1與14個(gè)2組成,所以T20=6×1+14×2=34.
變式題 解:(1)由題意得6a3=8a1+a5,所以6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2(舍),則q=2,又a1=2,所以an=2n.
(2)由2n2-(t+bn)n+32bn=0,得bn=2n2-tnn-32,所以b1=2t-4,b2=16-4t,b3=12-2t,因?yàn)閿?shù)列{bn}為等差數(shù)列,所以b1+b3=2b2,則2t-4+12-2t=32-8t,解得t=3,所以當(dāng)t=3時(shí),bn=2n,由bn+1-bn=2(常數(shù))知此時(shí)數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.
(3)因?yàn)閎1=2,所以在a1與a2之間插入2個(gè)2,因?yàn)閎2=4,所以在a2與a3之間插入4個(gè)2,因?yàn)閎3=6,所以在a3與a4之間插入6個(gè)2,…,易知數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)由90個(gè)2,與a1,a2,a3,…,a9,a10構(gòu)成,所以T100=(a1+a2+…+a10)+2×90=2×(1-210)1-2+180=2226.
例3 [思路點(diǎn)撥] (1)根據(jù)首項(xiàng)和公差即可寫出{an}的通項(xiàng)公式,利用所給關(guān)系式構(gòu)造對(duì)應(yīng)的等式即可證明{bn-n}為等比數(shù)列,進(jìn)而可求{bn}的通項(xiàng)公式;(2)利用通項(xiàng)公式找出公共項(xiàng),再分組求和即可.
解:(1)由題意可得,an=2+(n-1)×3=3n-1(n∈N*).因?yàn)閎1=4,bn+1=3bn-2n+1,所以bn+1-(n+1)=3bn-3n=3(bn-n),b1-1=3,故{bn-n}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,所以bn-n=3n,即bn=3n+n(n∈N*).
(2)由題意可得3k-1=3m+m,k,m∈N*,令m=3n-1(n∈N*),則3k-1=33n-1+3n-1=3(33n-2+n)-1,此時(shí)滿足條件,即當(dāng)m=2,5,8,…,3n-1時(shí)為公共項(xiàng),所以c1+c2+…+cn=b2+b5+…+b3n-1=32+35+…+33n-1+(2+5+…+3n-1)=9(27n-1)26+n(3n+1)2(n∈N*).
變式題 解:(1)因?yàn)镾6-S3=6,所以a4+a5+a6=6,所以3a5=6,可得a5=2,所以d=a5-a35-3=12,則an=a3+(n-3)d=12n-12,即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=12n-12.
(2)因?yàn)閿?shù)列{amn}是首項(xiàng)為a1,公比為4的等比數(shù)列,所以amn=4amn-1,n≥2,am1=a1,可得m1=1.
因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,所以a1+(mn-1)d=4[a1+(mn-1-1)d],n≥2,化簡(jiǎn)得mn=3a1d+4mn-1-3,n≥2.因?yàn)閍2=a1+d=4a1,所以a1d=13,即mn=4mn-1-2,n≥2,所以mn-23=4mn-1-23,n≥2.
因?yàn)閙1-23=13,所以數(shù)列mn-23是以13為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,所以mn-23=13·4n-1,則mn=13·4n-1+23,所以Tn=m1+m2+…+mn=13(40+41+…+4n-1)+2n3=4n-1+6n9.
例4 [思路點(diǎn)撥] (1)把已知兩關(guān)系式相加、相減,可得數(shù)列{an+bn}與{an-bn}分別為等比與等差數(shù)列;(2)利用(1)中結(jié)論求出{an+bn}與{an-bn}的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
解:(1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為12的等比數(shù)列.由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因?yàn)閍1-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1,
所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,
bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.
變式題 解:(1)由1bn-1an=1,an+1=2bn,得2an+1-1an=1,整理得1an+1-1=121an-1,因?yàn)閍1=2,所以1a1-1=-12,所以數(shù)列1an-1是以-12為首項(xiàng),12為公比的等比數(shù)列,
所以1an-1=-12·12n-1=-12n,所以an=2n2n-1,所以bn=12an+1=2n2n+1-1.
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(進(jìn)群送往屆全部資料)(2)由(1)知nbn=n·2n+1-12n=2n-n2n,設(shè)Sn=12+222+…+n2n,則12Sn=122+223+…+n2n+1,兩式相減得12Sn=12+122+…+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-n+22n+1,從而Sn=2-n+22n,所以Tn=n(2+2n)2-Sn=n2+n-2+n+22n.

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