1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的 向量a, 實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2 ,我們把{e1,e2}叫作表示這一平面內(nèi) 向量的一個(gè)基底.
2.平面向量的正交分解
把一個(gè)向量分解為兩個(gè) 的向量,叫作把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b= ,a-b= ,λa= .
(2)向量的坐標(biāo)求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),則AB= ,|AB|= .
4.平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?a=λb(λ∈R)? .
常用結(jié)論
“爪”子定理
形式1:如圖①,在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),如果BD=m,DC=n,則AD=mm+nAC+nm+nAB,其中AD,AB,AC可知二求一.特別地,若D為線段BC的中點(diǎn),則AD=12(AC+AB).
①
形式2:如圖②,在△ABC中,D是BC上的點(diǎn),且BD=λBC,則AD=λAC+(1-λ)AB,其中AD,AB,AC可知二求一.特別地,若D為線段BC的中點(diǎn),則AD=12(AC+AB).
②
題組一 常識(shí)題
1.[教材改編] 已知A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則2AB+CD= .
2.[教材改編] 已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .
3.[教材改編] 在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x+y= .
題組二 常錯(cuò)題
◆索引:忽視作為基底的兩個(gè)向量不能共線致誤;兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示公式掌握不牢致誤;忽視共線包括兩種情況致誤.
4.給出下列三個(gè)向量:a=12,32,b=(1,-3),c=(-2,6).從這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組,能構(gòu)成基底的個(gè)數(shù)為 .
5.已知向量a=(1,-2),b=(-1,m),若a∥b,則m的值為 .
6.已知A(-3,4)與B(-1,2),點(diǎn)P在直線AB上,|AP|=2|PB|,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
平面向量基本定理

例1 (1)[2024·廣州模擬] 在?ABCD中,G為△ABC的重心,且AG=xAB+yAD(x,y∈R),則x+2y=( )
A.43B.53
C.0D.-1
(2)如圖,在△ABG中,已知BE=38BG,AF=13AG,AE與BF交于點(diǎn)O,則AO=( )
A.27AB+13BG
B.45AB+310BG
C.47AB+314BG
D.314AB+47BG
總結(jié)反思
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量,實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一個(gè)基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決問題.
變式題 (1)[2024·益陽模擬] 如圖,在△ABC中,D為AB上一點(diǎn),AD=2DB,P為CD上一點(diǎn),CP=3PD,且AP=mAC+nAB(m,n∈R),則m+n的值為( )
A.14B. 13
C. 12D. 34
(2)[2023·邯鄲三模] 已知等腰梯形ABCD滿足AB∥CD,AC與BD交于點(diǎn)P,且AB=2CD=2BC,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.AP=2PC
B.|AP|=2|PD|
C.AP=23AD+13AB
D.AC=13AD+23AB
平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
例2 (1)[2024·深圳建文外國(guó)語學(xué)校月考] 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-1,1),B(2,3),C(-6,5),則12AB+12AC=( )
A.(-3,2)B.(-1,3)
C.(-3,5)D.(-2,4)
(2)在Rt△ABC中,A=90°,AB=6,AC=8,D是△ABC的內(nèi)心,則BD=( )
A.-23AB+14ACB.23AB-14AC
C.-23AB+13ACD.23AB-13AC
總結(jié)反思
(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題時(shí),首先利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則,轉(zhuǎn)化為方程(組)進(jìn)行求解.
(2)向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來,引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化,成為數(shù)與形結(jié)合的載體,使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.
變式題 (1)[2022·全國(guó)乙卷] 已知向量a=(2,1),b=(-2,4),則|a-b|=( )
A.2B.3
C.4D.5
(2)在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā),經(jīng)過C,D沿正方形的邊到達(dá)點(diǎn)A,若AE=λAB+μAC,則λ+μ的取值范圍是( )
A.[-1,1]B.[0,1]
C.[-1,2]D.[0,2]
平面向量共線的坐標(biāo)表示
例3 (1)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(m,-1),若c∥(2a+b),則m=( )
A.-2B.-1
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(進(jìn)群送往屆全部資料)C.-12D.12
(2)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.2,72 B.2,-12
C.(3,2)D.(1,3)
總結(jié)反思
兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0;
②若a∥b(b≠0),則a=λb.
變式題 (1)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,C=π3,若m=(c-6,a-b),n=(a-b,c+6),且m∥n,則△ABC的面積為( )
A.3B.932
C.332D.33
(2)已知向量OA=(-1,k),OB=(1,2),OC=(k+2,0),且實(shí)數(shù)k>0.若A,B,C三點(diǎn)共線,則k= .

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