1.向量的有關(guān)概念及表示
2.向量的線性運(yùn)算
特別注意向量數(shù)乘的特殊情況:當(dāng)λ=0時,λa=0;當(dāng)a=0時,λa=0.實(shí)數(shù)和向量可以求積,但是不能求和、求差.
3.向量共線的充要條件
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使b=λa.(口訣:數(shù)乘即得平行,平行必有數(shù)乘.)
常用結(jié)論
1.中點(diǎn)公式的向量形式:若P為線段AB的中點(diǎn),O為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則2OP=OA+OB.
2.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn),則PA+PB+PC=0?P為△ABC的重心,AP=13(AB+AC).
3.已知OA=λOB+μOC(λ,μ為實(shí)數(shù)),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ+μ=1.
4.向量三角不等式
①已知非零向量a,b,則||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|(當(dāng)a與b反向共線時左邊等號成立;當(dāng)a與b同向共線時右邊等號成立);
②已知非零向量a,b,則||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(當(dāng)a與b同向共線時左邊等號成立;當(dāng)a與b反向共線時右邊等號成立).
題組一 常識題
1.[教材改編] MN+NP+PQ= .
2.[教材改編] 已知a,b是兩個不共線的向量,向量b-ta與12a-32b共線,則實(shí)數(shù)t= .
3.[教材改編] 在平行四邊形ABCD中,BC的中點(diǎn)為M,且AB=a,AD=b,用a,b表示AM= .
題組二 常錯題
◆索引:對向量的概念理解不清致誤;對向量相等的隱含條件挖掘不全致誤;忽視兩向量的方向關(guān)系致誤.
4.“a=b”是“|a|=|b|”的 條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
5.已知平面四邊形ABCD滿足AB=DC,則四邊形ABCD是 .
6.已知|a|=2,|b|=5,則|a+b|的取值范圍是 .
平面向量的基本概念
例1 (多選題)下列說法中正確的有( )
A.向量AB的長度與向量BA的長度相等
B.若向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反
C.兩個有共同起點(diǎn)且相等的向量,其終點(diǎn)必相同
D.兩個有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量
總結(jié)反思
(1)解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn):一是不僅要考慮向量的大小,還要考慮向量的方向;二是考慮零向量是否也滿足條件,要特別注意零向量的特殊性.
(2)不改變向量a的大小和方向,自由平移a,平移后的向量與a相等.
(3)非零向量的平行具有傳遞性;
(4)a|a|(a≠0)是與a同方向的單位向量.
變式題 (1)(多選題)下列說法中正確的有( )
A.零向量是唯一沒有方向的向量
B.若a,b不相等,則它們不都是零向量
C.若a,b都為單位向量,則a=b
D.若a=b,b=c,則a=c
(2)已知a,b都是非零向量,則下列四個選項(xiàng)中,為“a|a|=b|b|”的充分條件的是( )
A.a=3b
B.a∥b
C.a=-b
D.a∥b且|a|=|b|
平面向量的線性運(yùn)算背景問題
微點(diǎn)1 平面向量的加、減運(yùn)算的幾何意義
例2 (1)在平行四邊形ABCD中,|AB+AD|=|AB-AD|,則( )
A.AD=0
B.AB=0或AD=0
C.平行四邊形ABCD是矩形
D.平行四邊形ABCD是菱形
(2)已知非零向量a,b,c,則“|a-b|≤1,|b-c|≤2”是“|a-c|≤3”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
總結(jié)反思
利用向量加、減法的幾何意義解決問題通常有兩種方法:
(1)根據(jù)兩個向量的和與差,構(gòu)造相應(yīng)的平行四邊形或三角形,再結(jié)合其他知識求解相關(guān)問題;
(2)平面幾何中如果出現(xiàn)平行四邊形(或三角形)或可能構(gòu)造出平行四邊形(或三角形)的問題,可考慮利用向量知識來求解.
微點(diǎn)2 平面向量的線性運(yùn)算
例3 (1)[2022·新高考全國Ⅰ卷] 在△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,BD=2DA.記CA=m,CD=n,則CB=( )
A.3m-2nB.-2m+3n
C.3m+2nD.2m+3n
(2)[2023·浙江三市質(zhì)檢] 設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn),則MA+2MB+2MC+MD=( )
A.ABB.CDC.2ABD.12CD
總結(jié)反思
向量線性運(yùn)算的解題策略:
(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則,一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則,求差用三角形法則,求首尾相連的向量的和用三角形法則.
(2)找出圖形中的相等向量、共線向量,將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解.
微點(diǎn)3 利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)
例4 (1)已知O是△ABC的重心,OA+2OB+λBC=0,則λ=( )
A.3B.2
C.1D.12
(2)[2023·江蘇師大附中模擬] 已知△ABC的邊BC的中點(diǎn)為D,點(diǎn)E在△ABC所在的平面內(nèi),且CD=3CE-2CA,若AC=xAB+yBE,則2x-y=( )
A.16B.11C.7D.4
總結(jié)反思
解決與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題,一般是通過向量的運(yùn)算將向量表示出來,然后通過比較或建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.
1.【微點(diǎn)1】(多選題)[2024·唐山六校聯(lián)考] 對于任意向量a,b,下列說法中正確的有( )
A.|a+b|≥|a|+|b|
B.|a+b|≥|a|-|b|
C.|a+b|≥|a-b|
D.|a|+|b|≥|a+b|
2.【微點(diǎn)2】[2023·山東濰坊二模] 在△ABC中,BD=13BC,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),記AB=a,AC=b,則BE=( )
A.-13a+13bB.-23a+16b
C.-13a-13bD.23a-16b
3.【微點(diǎn)2】(多選題)如圖所示,已知四邊形ABCD為梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中正確的有( )
A.AC=AD+12AB
B.MC=12AC+12BC
C.MN=AD+14AB
D.BC=AD-12AB
4.【微點(diǎn)3】(多選題)[2023·蘇州模擬] 在△ABC中,記AB=a,AC=b,點(diǎn)D在直線BC上,且BD=3DC.若AD=ma+nb,則mn的值可能為( )
A.-2B.-13
C.13D.2
5.【微點(diǎn)3】已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),2OA+3OB+mOC=0,若△AOB的面積與△ABC的面積的比值為47,則實(shí)數(shù)m的值為 .
6.【微點(diǎn)2】在邊長為1的正方形ABCD中,設(shè)AB=a,AD=b,AC=c,則|a-b+c|= .
共線向量定理及應(yīng)用
例5 (1)已知非零向量e1,e2不共線,且向量λe1+3e2與2e1-5e2平行,則實(shí)數(shù)λ=( ) 名稱
定義
表示
向量
既有 又有 的量
用a,b,c,…或AB,BC,…表示
向量的長
度(模)
向量的 稱為向量的長度(或稱模)
或
零向量
長度為0的向量
記作
單位向量
長度等于 的向量
用e表示,|e|=
相等向量
相等且 相同的向量
向量a和b相等,記作
兩個向量平行
(或共線)
方向 或 的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共線向量
兩個向量a和b平行,記作 ,零向量與任意向量
運(yùn)算
定義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個向量和的運(yùn)算
三角形法則
平行四邊形法則
①交換律:
a+b=b+a;
②結(jié)合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
減法
求兩個向量差的運(yùn)算
三角形法則
a-b=a+(-b)
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)當(dāng)λ>0時,λa與a的方向相同;當(dāng)λ0時,a與b同向;當(dāng)λ

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