考點(diǎn)01：判斷平行與垂直的有關(guān)命題
①要證線∥面，條件為3個(gè)，其中必有《線面》
②要證線⊥面，條件為2個(gè)，其中必有《線∥線或面∥面》
③要證線∥線（面∥面），條件為2或3個(gè)，其中必有《兩個(gè)線⊥面》
④要證線⊥線（面⊥面），條件為2個(gè)，其中必有《⊥、∥（）》
⑤要證線⊥線（面⊥面），條件為3個(gè)，其中必有《》
1．設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，，則
D．若，，則
【答案】B
【分析】由線面關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A：由，，，可知、可能平行或相交，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：由，，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，B正確；
對(duì)于C：由，，，，可知、可能平行或相交，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由，，可知或，D錯(cuò)誤．
故選：B
2．已知平面滿足，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若直線，則或
B．若直線，則與和相交
C．若，則，且
D．若直線過空間某個(gè)定點(diǎn)，則與成等角的直線有且僅有4條
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，作出正方體，舉例說(shuō)明判斷ABC；利用正方體的體對(duì)角線推理判斷D.
【詳解】在正方體中，平面，平面，平面兩兩垂直，
令平面為平面，平面為平面，平面為平面，
對(duì)于A，直線，，當(dāng)為直線時(shí)，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，當(dāng)為直線時(shí)，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，當(dāng)為直線時(shí)，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，在正方體中，直線相交于點(diǎn)，
它們與平面，平面，平面所成的角都相等，
而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個(gè)面所成的角相等，
過空間給定點(diǎn)作直線平行于直線之一，所得直線與與所成角相等，
因此直線過空間某個(gè)定點(diǎn)，與成等角的直線有且僅有4條，D正確.
故選：D
3．已知a，b是不同的直線，，是不同的平面，下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，平面，則平面
B．若平面，平面，則
C．若平面，平面，平面平面，則
D．若平面，平面，，則平面平面
【答案】C
【分析】根據(jù)線面平行判定定理可判斷A；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B；作出二面角的平面角，根據(jù)面面垂直可判斷C；通過舉反例判斷D.
【詳解】對(duì)A，若，平面，則平面或，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若平面，平面，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，記，過點(diǎn)作，垂足分別為，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>記平面與直線相交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋裕?br>又，所以，
因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的兩條相交直線，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>又平面平面，所以，
所以四邊形為矩形，所以，所以，C正確；

對(duì)D，如圖，記，當(dāng)直線與平行，且不在平面內(nèi)時(shí)滿足條件，但平面不平行，D錯(cuò)誤.
故選：C

4．設(shè)是三個(gè)不同平面，且，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理，及它們之間的推出關(guān)系，即可以作出判斷.
【詳解】由于，，由平面平行的性質(zhì)定理可得：，
所以是的充分條件；
但當(dāng)，，并不能推出，也有可能相交，
所以是的不必要條件；
故選:A.
5．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若直線l,m,n兩兩相交，則直線l,m,n共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合空間中直線與平面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，當(dāng)直線l,m,n交于同一點(diǎn)時(shí)，則直線l,m,n可能不共面，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，當(dāng)直線傾斜方向不同時(shí)，直線與平面所成的角也可能相等，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C中，當(dāng)這3個(gè)點(diǎn)不在平面的同側(cè)時(shí)，平面與平面相交，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，根據(jù)題意，顯然這4個(gè)點(diǎn)不可能在平面的同側(cè)，
當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)1，3分布時(shí)，這樣的平面有4個(gè)，
當(dāng)這4個(gè)點(diǎn)在平面兩側(cè)2，2分布時(shí)，這樣的平面有3個(gè)，
所以這樣的平面有且只有7個(gè)，所以D正確.
故選：D．
6．已知直線和平面，則下列判斷中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】C
【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分析判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由，，則與可能平行，相交，異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，，則或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，，則，故C正確；
對(duì)于D，由，，則或或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
7．已知直線、、與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，，則
【答案】B
【分析】對(duì)于A，由只需之間的位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于B，由面面垂直的判定即可判斷；對(duì)于C，由線面位置關(guān)系即可判斷；對(duì)于D，由面面垂直的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，若，，則平行、相交或異面；
對(duì)于B，若，則存在，使得，又因?yàn)?，，而，所以，故B正確；
對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，，，且如果不在內(nèi)，則不會(huì)有，故D錯(cuò)誤.
故選：B.
8．已知，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，則B．若，，，則
C．若，，則D．，，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)空間線線、線面、面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.
【詳解】A：若，則與可能相交，可能平行，故A錯(cuò)誤；
B：若，則與可能相交，可能平行，故B錯(cuò)誤；
C：若，由線面垂直的性質(zhì)知，故C正確；
D：若，則與可能相交，可能平行，故D錯(cuò)誤.
故選：C
9．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【答案】D
【分析】由空間中的線線，線面，面面間的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可.
【詳解】若，，則或，所以A錯(cuò)；，，，，或，所以B錯(cuò)；
若，，，則，所以C錯(cuò)；若，，，則與兩面的交線平行，即，故D對(duì).
故選：D.
10．設(shè)，是兩個(gè)平面，，，是三條直線，則下列命題為真命題的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，若，，，則相交或平行，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，若，，由線面平行的性質(zhì)可得，所以 B正確；
對(duì)于C中，若，，，當(dāng)兩兩相交時(shí)，兩兩相交，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，若，，則或，所以D錯(cuò)誤.
故選：B.
考點(diǎn)02：空間中證明平行的五種思路
方法一：中位線型：
例1、如圖 = 1 \* GB2 ⑴，在底面為平行四邊形的四棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：平面.
分析：
方法二：構(gòu)造平行四邊形
例2、如圖 = 2 \* GB2 ⑵, 平行四邊形和梯形所在平面相交，//，求證：//平面.
分析：過點(diǎn)作//交于， 就是平面
與平面的交線，那么只要證明//即可。
方法三：作輔助面使兩個(gè)平面是平行
例3、如圖⑶，在四棱錐中，底面為菱形， 為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，證明：直線
分析：：取中點(diǎn)，連接，只需證平面∥平面。
方法四：利用平行線分線段成比例定理的逆定理證線線平行。
例4、已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ（如圖）．求證：PQ∥平面CBE．

例5．如圖 = 5 \* GB2 ⑸，已知三棱錐，是,,的重心.(1)求證：∥面；
方法五：（向量法）所證直線與已知平面的法向量垂直，關(guān)鍵：建立空間坐標(biāo)系（或找空間一組基底）及平面的法向量。
例6、如圖 = 6 \* GB2 ⑹，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面分別為的中點(diǎn)．證明平面；
分析：因?yàn)閭?cè)棱底面，底面是正方形，所以很容易建立空間直角坐標(biāo)系及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)。

證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則
，．
因?yàn)檩S垂直與平面，故可設(shè)平面的法向量為=（0，1，0）
則：=0因此，所以平面．
11．正方體的棱長(zhǎng)為1，E、F、G分別為BC，，的中點(diǎn)，有下述四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（ ）
①點(diǎn)C與點(diǎn)B到平面AEF的距離相等； ②直線與平面AEF平行；
③平面AEF截正方體所得的截面面積為； ④直線與直線EF所成的角的余弦值為.
A．①④B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】對(duì)于①：利用平面AEF過BC的中點(diǎn)E，得出C與B到平面AEF的距離相等；
對(duì)于②：取的中點(diǎn)Q，連接、、QE.證明出平面∥平面AEF.得到∥平面AEF；
對(duì)于③：連接，延長(zhǎng)，AE交于點(diǎn)S.判斷出截面即為梯形AEFD1.利用梯形的面積公式直接求解；
對(duì)于④：判斷出直線與直線EF所成的角，利用余弦定理即可求的.
【詳解】對(duì)于①：假設(shè)C與B到平面AEF的距離相等，即平面AEF將BC平分，則平面AEF必過BC的中點(diǎn).由E是BC的中點(diǎn)，所以C與B到平面AEF的距離相等.故①正確
對(duì)于②：如圖所示.
取的中點(diǎn)Q，連接、、QE.
因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，所以∥AE.
因?yàn)槊鍭EF，面AEF，所以面AEF.同理可證：面AEF.
因?yàn)椋?，面，所以平面∥平面AEF.
又因?yàn)槠矫?，所以∥平面AEF.故②正確；
對(duì)于③：連接，延長(zhǎng)，AE交于點(diǎn)S.
因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，C1C的中點(diǎn)，所以EF∥AD1，所以A、E、F、D1四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形AEFD1.
因?yàn)镃F=CE，所以，即，所以FS=ES又D1F=AE，所以即，，
所以等腰△的高，梯形的高為，所以梯形的面積為.故③正確
對(duì)于④：因?yàn)?，所以直線與直線EF所成的角即為所求.
在三角形中，，由余弦定理得， .
所以直線與直線EF所成的角的余弦值為.故④錯(cuò)誤.
故選：C
12．如圖，正方體中，M是的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線與直線相交，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線AC異面，直線平面
D．直線與直線垂直，直線∥平面
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知，以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來(lái)研究直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系較為簡(jiǎn)單，用向量的共線定理證明兩直線是否平行或異面，根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直或平行，得出直線與平面是否平行或垂直，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析判斷即可得出結(jié)論.
【詳解】解：因?yàn)槭钦襟w，不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，，，，，，，，
又M為的中點(diǎn)，故可得，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，不妨取，故可得．
設(shè)平面的法向量為
則，即，不妨取，故可得．
對(duì)A：因?yàn)?，，故BM，不相交，故錯(cuò)誤；
對(duì)B：，，不存在非零實(shí)數(shù)，使得，
故MB，不平行，故錯(cuò)誤；
對(duì)C：，平面的法向量為，
不存在非零實(shí)數(shù)，使得，故MB與平面不垂直，故錯(cuò)誤；
對(duì)D：，，則，故直線MB與垂直；
又，故MB與平面平行，故正確；
故選：D．
13．在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)中，因?yàn)椋势矫鍯NQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，AQ?平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；
C選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，
由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，
而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，
顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯(cuò)誤．
故選：B.
14．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，如圖所示，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡是一條線段
B．與是異面直線
C．與不可能平行
D．三棱錐F?ABD1的體積為定值
【答案】C
【分析】對(duì)于設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，
分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，可得平面，從而可判斷；對(duì)于 假設(shè)直線共面,從而到處矛盾，可判斷；對(duì)于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)可判斷；對(duì)于,可證平面，則到平面的距離是定值，從而可判斷.
【詳解】對(duì)于設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，連接、，則為的中點(diǎn)，
分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，
則易得，又平面，平面，
平面．同理可得平面，
、是平面內(nèi)的相交直線，
平面平面，由此結(jié)合平面，可得直線平面，
即點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)．A正確．
對(duì)于 假設(shè)直線共面, 由題意點(diǎn)在側(cè)面上，且三點(diǎn)不共線.
所以直線共面于側(cè)面，則平面
這就與在正方體中，平面相矛盾
故假設(shè)不成立，即，與是異面直線，B正確．
對(duì)于，連接,由分別為的中點(diǎn)，則，又
所以，且，所以四邊形為平行四邊形
所以，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與平行，C錯(cuò)誤．
對(duì)于，由選項(xiàng)A的過程可知,又,所以
又，分別為，的中點(diǎn)，所以,所以，則，
平面，平面，所以平面，
則到平面的距離是定值，三棱錐F?ABD1的體積為定值，所以D正確；
故選：．
15．在正方體中，P是平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．平面PAM內(nèi)任意一條直線都不與平行
B．平面和平面的交線不與平面平行
C．平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與平面PAM平行
D．平面PAM和平面的交線不與平面平行
【答案】B
【分析】對(duì)A，根據(jù)與平面PAM相交判斷即可；對(duì)B，根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)判斷即可；對(duì)CD，延長(zhǎng)，交于，根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)榕c在平面內(nèi)且不平行，故與相交，故與平面PAM相交，若平面PAM內(nèi)任意一條直線與平行，則平面PAM，矛盾，故A正確；
對(duì)B，由平行，平面，平面，故平面.設(shè)平面和平面的交線為，由線面平行的性質(zhì)可得AB//l，又l?平面，平面，故平面，故B錯(cuò)誤；
對(duì)CD，延長(zhǎng)，交于，連接如圖.
由題意，平面PAM和平面的交線即直線，故當(dāng)平面內(nèi)的直線與平行時(shí)，與平面PAM也平行，故C正確；
交線與平面交于，故D正確；
故選：B
16．如圖，在正方形中，M，N分別是，的中點(diǎn)，則直線AM與平面BND的位置關(guān)系是（ ）．
A．垂直B．平行C．相交但不垂直D．無(wú)法確定
【答案】B
【分析】連接交于，連接，由中位線、正方體性質(zhì)易得為平行四邊形，即，再根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論.
【詳解】連接交于，連接，而M，N分別是，的中點(diǎn)，
所以，即，且，即，
則為平行四邊形，故，
由面，面，則面.
故選：B
17．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，G為的重心，從、、、中取一點(diǎn)作為使得該棱柱恰有2條棱與平面平行，則為（ ）
A．KB．HC．GD．
【答案】C
【分析】對(duì)、、、四個(gè)點(diǎn)逐一進(jìn)行分析，找出棱柱中與平面平行的棱的條數(shù)，即可判斷．
【詳解】解：取的中點(diǎn)，連接，，，，如圖所示：
則，所以四邊形為平行四邊形，
若取點(diǎn)為，則，
故與平面平行的棱超過2條，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)，連接
所以
由棱柱性質(zhì)得，
所以四邊形是平行四邊形，故平面即為平面，
由于，平面，平面
所以平面，平面，
由于，平面，
所以平面平面，
所以結(jié)合棱柱的性質(zhì)可知均平行于平面，
故B選項(xiàng)錯(cuò)誤
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為時(shí)，連接，則為中點(diǎn)，
所以，
由于平面，平面，
故平面，平面，故C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，連接，
由C選項(xiàng)知，
所以平面即為平面，
此時(shí)平面，再?zèng)]有滿足條件的棱，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C
18．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且與平面的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．與不可能平行
B．與是異面直線
C．點(diǎn)的軌跡是一條線段
D．三棱錐的體積為定值
【答案】A
【分析】設(shè)平面與直線交于，連接，，則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，證明平面平面，即可分析選項(xiàng)ABC的正誤；再由，得點(diǎn)到平面的距離為定值，可得三棱錐的體積為定值判斷D．
【詳解】解：設(shè)平面與直線交于，連接，，
則為的中點(diǎn)，分別取，的中點(diǎn)，，
連接，，，
如圖.
∵，平面，平面，
∴平面，同理可得平面，
又、是平面內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面平面，而平面，∴平面，
得點(diǎn)的軌跡為一條線段，故C正確；
并由此可知，當(dāng)與重合時(shí)，與平行，故A錯(cuò)誤；
∵平面平面，和平面相交，∴與是異面直線，故B正確；
∵，則點(diǎn)到平面的距離為定值，∴三棱錐的體積為定值，故D正確．
故選：A．
19．如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別為棱的中點(diǎn)，則（ ）
A．直線都與平面平行
B．直線都與平面相交
C．直線與平面平行，直線與平面相交
D．直線與平面相交，直線與平面平行
【答案】C
【分析】用空間向量和幾何綜合的方法，可以判斷.
【詳解】
設(shè)對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，EF的中點(diǎn)為 ， ，
以 為基底，建立空間坐標(biāo)系如上圖，
則 ，
∵E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴ ，
，
∴ ，即 ， 平面EFG， 平面EFG，
平面EFG；
由以上分析知， ，并且 ，
， ，點(diǎn)O也是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，
是的 邊上的中位線，即 在 上，
平面EFG，即 與平面EFG交于點(diǎn) ，
綜上，平面EFG， 與平面EFG相交；
故選：C.
20．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（ ）
A．直線和平面所成的角為定值
B．點(diǎn)到平面的距離為定值
C．異面直線和所成的角為定值
D．直線和平面平行
【答案】A
【分析】逐個(gè)進(jìn)行分析，對(duì)點(diǎn)取特殊點(diǎn)可得A正誤，根據(jù)線面平行可知B的正誤，依據(jù)線面垂直可知C的正誤，然后利用線面平行可知D的正誤.
【詳解】對(duì)A，由平面，當(dāng)點(diǎn)分別在點(diǎn)或時(shí)，線面角不一致，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，由//,平面,平面,所以//平面，
所以點(diǎn)到平面的距離為直線上任意點(diǎn)到平面的距離，故B正確
對(duì)C，由平面即平面,,,
平面，所以平面，所以，故C正確
對(duì)D，由平面即平面，//，平面，
平面，所以//平面，所以D正確
故選：A
考點(diǎn)03：空間中異面直線垂直情況
第一步：將所求直線中的一條用刻度尺進(jìn)行平移然后與另一條直線銜接出現(xiàn)三角形
第二步：將三角形畫到草稿紙上并利用空間圖求出各邊的長(zhǎng)
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：檢查若求出的角為銳角或直角則即為所求，若求出的角為鈍角則補(bǔ)角即為所求
21．在正三棱柱中，已知，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】法一（定義法），通過補(bǔ)形，得出為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，再在中，根據(jù)條件，利用余弦定理即可求出結(jié)果；法二（向量法），根據(jù)條件求出，，再利用線線角的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，將正三棱柱補(bǔ)形成直四棱柱，易知其底面為菱形．
連接，則，所以為異面直線與所成角或其補(bǔ)角．
在菱形中，，連接，則，
在中，，
則由余弦定理得，
異面直線與所成角的余弦值為，

故選：A．
解法二 由題，，
，
所以，
所以，則異面直線與所成角的余弦值為．
故選：A．
22．已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題中條件連接，取的中點(diǎn)，連接，作出異面直線所成角或補(bǔ)角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，
由題意可得，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，
在中，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C
23．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．正方體各面所在平面將空間分成27個(gè)部分
B．過平面外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與這個(gè)平面平行
C．若空間中四條不同的直線滿足，則
D．若為異面直線，平面平面，且與相交，若直線滿足，則必平行于和的交線
【答案】A
【分析】利用空間關(guān)系，可以判斷AB，對(duì)于C可用正方體模型來(lái)舉反例，對(duì)于D也是舉反例.
【詳解】對(duì)于A，利用四個(gè)側(cè)面將空間分成九個(gè)部分，再由上下底面又將空間分成上中下三層，所以可以將空間分成27個(gè)部分，故A是正確的；
對(duì)于B，因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)可以作一個(gè)平面與該平面平行，在這個(gè)平行平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條過該點(diǎn)的直線都與已知平面平行，故B是錯(cuò)誤的；
對(duì)于C，
在正方體中，把看成，把看成，把看成，把看成，
它們滿足，但不滿足，故C是錯(cuò)誤的；
對(duì)于D，由平面平面，且與相交于，則，
即滿足條件，但此時(shí)與重合，它們不平行，故D是錯(cuò)誤的；
故選：A.
24．如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的正弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先補(bǔ)形，再作出異面直線與所成角的平面角，然后結(jié)合余弦定理即可求解.
【詳解】將直三棱柱補(bǔ)形為如圖所示的正四棱柱：

連接、AD，則，
則異面直線與所成角的平面角為(或其補(bǔ)角)，
又，，
由余弦定理可得：，
所以，故B正確.
故選：B.
25．如圖，已知正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)線線平行可得異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），即可根據(jù)余弦定理求解.
【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，
由題意知，，
則異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），
在中，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為，
故選：C．
26．如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段EB的中點(diǎn)，則（ ）
A．DM≠EN，且直線DM、EN是異面直線
B．DM＝EN，且直線DM、EN是異面直線
C．DM≠EN，且直線DM、EN是相交直線
D．DM＝EN，且直線DM、EN是相交直線
【答案】D
【分析】連接，可得是的中點(diǎn)，可得與相交，進(jìn)而可證，從而可得，從而可得.
【詳解】連接，
因?yàn)辄c(diǎn)N為正方形ABCD的中心，所以是的中點(diǎn)，
所以平面，所以與相交，
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br>又因?yàn)槭堑冗吶切危裕?br>所以，所以，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以.
故選：D.
27．如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．717B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)異面直線的定義，由，問題轉(zhuǎn)化為求的余弦值，在中根據(jù)余弦定理求解.
【詳解】連接，如圖所示，
正四棱柱中，有且，四邊形為平行四邊形，
則有，則就是異面直線與所成的角．
設(shè)，則，
中，由余弦定理得．
故選：C.
28．正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正八面體中，則有（ ）

A．直線與是異面直線B．平面平面
C．該幾何體的體積為D．平面與平面間的距離為
【答案】D
【分析】可借助正方體解決正八面體的有關(guān)問題.
【詳解】正八面體可由正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖：

因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為.
∵，，，四點(diǎn)共面，直線與是共面的，故A錯(cuò)；
設(shè)二面角為，，，所以.
所以：二面角，故B錯(cuò)；
，故C錯(cuò)；
由八面體的構(gòu)成可知：平面和平面之間的距離是正方體體對(duì)角線的13，所以兩個(gè)平面之間的距離為：，故D對(duì).
故選：D
29．已知各棱長(zhǎng)都為1的平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，則異面直線與所成角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何法求出異面直線與所成角.
【詳解】在平行六面體中，連接，，
則四邊形是平行四邊形，，于是是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，
由，棱兩兩的夾角均為，
得都是正三角形，即，則，
所以異面直線與所成角為.
故選：C
30．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解法一：找到異面直線所成角因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，最后利用余弦定理求解即可；
解法二：用向量法求異面直線夾角的余弦值，分別表示出，，代入公式即可；
解法三：建系，利用空間向量法求異面直線夾角.
【詳解】解法一第一步：找到異面直線所成角因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以，則或其補(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角．
第二步：結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長(zhǎng)度
連接AP，易知，．
第三步：利用余弦定理求解
在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．
解法二 設(shè)，，，則，，兩兩垂直，且，，則，，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．
解法三 易知ED，EB，EP兩兩垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，ED，EB，EP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，得，，故異面直線PD與BC所成角的余弦值為，
故選：B．

考點(diǎn)04：空間中證明垂直的兩種情況
證明垂直：線線垂直線面垂直面面垂直
必記結(jié)論：①特殊的平行四邊形邊長(zhǎng)之比1:2，夾角為，則對(duì)角線與邊垂直
②特殊的直角梯形邊長(zhǎng)之比1:1:2,對(duì)角線與腰垂直
③等腰三角形三線合一，三線與底垂直
④直徑所對(duì)的圓周角為直角
⑤菱形和正方形：對(duì)角線互相垂直
⑥特殊的矩形：邊長(zhǎng)之比1:2或1：有明顯的直角關(guān)系
31．如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)N.給出下面幾個(gè)結(jié)論，其中所有正確的結(jié)論是（ ）
①四邊形是平行四邊形；②四邊形可能是正方形；③存在平面與直線垂直；④任意平面都與平面垂直.

A．①②B．③④C．①④D．①②④
【答案】C
【分析】通過幾何性質(zhì)得出四邊形的形狀，由線線、線面垂直即可得出直線和平面與平面的關(guān)系.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槠矫媾c棱交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，
在正方體中，由平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故①正確
對(duì)于②，在正方體中，面，
因?yàn)槊?，所以?br>若是正方形， 有，，
若不重合，則與矛盾，
若重合，則不成立，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)槠矫?，?br>若直線與平面垂直，則直線，顯然矛盾，
所以平面與直線不可能垂直，故③錯(cuò)誤
對(duì)于④，因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理：，又平面，平面，，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故④正確.
綜上所述，正確的有①④.
故選：C.
32．如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，，N為AF的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得到平面ABEF，進(jìn)一步得出，，則MC為外接球直徑，代入球的表面積公式即可求解．
【詳解】由可知，，，可求，，，
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC為外接球直徑，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面積為．
故選：A．
33．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，，三棱柱外接球的球心為，點(diǎn)是側(cè)棱上的一動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①直線與直線是異面直線；②若，則與一定不垂直；③若，則三棱錐的體積為；④ 三棱柱外接球的表面積的最大值為.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)異面直線的判定判斷①；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷②；對(duì)于③：球心在兩底面中心邊線的中點(diǎn)，求出到平面的距離即可求三棱錐的體積；對(duì)④：設(shè)外接圓半徑，由，，可得沒有最大值也沒有最小值，由可得取值情況即可.
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)辄c(diǎn)平面，平面，點(diǎn)，
平面，所以直線與直線是異面直線，故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)閭?cè)棱底面， ，故底面,
底面，故；
而，則，即，
又平面,故平面,
又平面，故，
故當(dāng)（此時(shí)為近的四等分點(diǎn)）時(shí)，平面，則直線平面，
又平面， 所以，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③：若，則為正三角形，其外心為正三角形的中心，連接與交于，則為的中點(diǎn)，
三棱柱外接球的球心在兩底面中心連線的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫缘狡矫娴木嚯x相等，
因?yàn)閭?cè)棱底面，平面，所以面平面，
又面平面，，平面，所以平面，
所以到平面的距離為，即到平面的距離為，
所以，故③正確；
對(duì)④：設(shè)外接圓半徑，由正弦定理得，
因?yàn)椋詻]有最大值也沒有最小值，
故外接球半徑?jīng)]有最大值也沒有最小值，故④錯(cuò)誤.
故只有①③正確.
故選：B
34．已知四棱柱的底面為正方形，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)是側(cè)棱上的點(diǎn)，且.若點(diǎn)在側(cè)面（包括其邊界）上運(yùn)動(dòng)，且總保持，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先找到過點(diǎn)與垂直的平面與側(cè)面的交線，從而求解.
【詳解】

如圖，在側(cè)棱上取一點(diǎn)，使得，連接，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
由，可知，
平面，，
從而平面，所以，
又由在平面內(nèi)的射影，所以，
平面，，
知BP⊥平面，平面，所以，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段，
在中，，所以，
則，得
易得.
故選：D
35．在三棱錐中，，平面經(jīng)過的中點(diǎn)E，并且與BC垂直，當(dāng)α截此三棱錐所得的截面面積最大時(shí)，此時(shí)三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取靠近的四等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，截此三棱錐所得的截面為平面，當(dāng)時(shí)截面面積最大，，為，外接圓圓心，球心滿足面，面，由求得外接球的半徑進(jìn)而求得球的表面積.
【詳解】
如圖所示，取中點(diǎn)及靠近的四等分點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，
由，所以，又是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以
可知，同理可得，
又，平面，平面，所以平面，所以平面即為平面，
又因?yàn)椋?，所以?br>所以截此三棱錐所得的截面面積為，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
設(shè)外接球球心為，半徑為，，分別為，外接圓圓心，球心滿足面，面，
又因?yàn)楹途鶠檫呴L(zhǎng)為4的正三角形，所以，
所以四邊形為正方形，且，又,所以，
∴.
故選：D.
36．坡度是地表單元陡緩的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距離的比叫做坡度，就是坡面與水平面成角的正切值．如圖所示，已知斜面的坡度是1，某種越野車的最大爬坡度數(shù)是30°，若這種越野車從D點(diǎn)開始爬坡，則行駛方向與直線的最大夾角的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，在行駛方向上任取點(diǎn)E，作垂直于過的水平面，垂足為O，再作于F，確定出二面角、線面角、線線角，即可計(jì)算作答.
【詳解】在越野車行駛方向上任取不同于D的點(diǎn)E，作垂直于過的水平面，垂足為O，再作于F，連接，如圖，
于是，而平面EOF，則平面EOF，又平面EOF，
因此，是斜面與過的水平面所成二面角的平面角，，即，
因?yàn)樵揭败嚨淖畲笈榔露葦?shù)是，即直線與過的水平面所成角的最大值為，
令，在中，的最大值為，在中，的最大值為，
在中，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此的最大值為，
所以行駛方向與直線的最大夾角的度數(shù)為，B正確.
故選：B
37．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，在棱上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐體積不變
B．平面與平面所成二面角為
C．運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，上存在點(diǎn)，使平面
D．側(cè)面中不存在直線與垂直
【答案】D
【分析】根據(jù)線面平行即平面，可說(shuō)明E到平面的距離為定值，即可判斷A；根據(jù)二面角定義可判斷B；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷C；根據(jù)空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接與交于O，連接，則O為的中點(diǎn)，
則在中，,又平面，平面，
∴平面，則E到平面的距離為定值，為定值，
∴三棱錐體積不變，A正確．
對(duì)于B選項(xiàng)，由于，在棱上運(yùn)動(dòng)，
故平面即平面，平面平面，
平面，平面，所以，
故平面與平面所成二面角即為，
即平面與平面所成二面角即為，B正確．
對(duì)于C選項(xiàng)，由于，平面,平面,
∴平面，
∴當(dāng)P是 與平面的交點(diǎn)時(shí)，平面，C正確．
對(duì)于D，E在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由以上分析可知平面即平面，
平面，平面，
故平面平面，平面平面，
連接，則，平面，
故平面，平面，故，D錯(cuò)誤，
故選：D
38．如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形所在平面與矩形所在的平面垂直，．為的中點(diǎn)，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)線面垂直可得，，結(jié)合直角三角形分析可得為外接球直徑，結(jié)合球的表面積公式運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可知，，可得，
所以，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面?br>所以平面，平面，所以，
又平面，
則平面，平面，可得，
取的中點(diǎn)，連接，則，
所以為外接球直徑，設(shè)其半徑為R，
在中，，即，故外接球表面積為．
故選：A．

39．定義兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模，它的方向與和同時(shí)垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長(zhǎng)為2的正四面體中，則（ ）

A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題中條件確定，設(shè)底面△ABD的中心為O，則CO⊥平面ABD，可求得，又的方向與相同，代入計(jì)算可得答案．
【詳解】，
，
設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，
又AO，AB，AD ?平面ABD，故OC⊥AO， OC⊥AB，OC⊥AD，
，，
在中，，
則，又的方向與相同，
所以．
故選：A．
40．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一種被稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2，，、，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圖中四面體的體積為（ ）．
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】由題意可求，即與為全等的等腰三角形，
取的中點(diǎn)，連接，構(gòu)造出平面與垂直，從而可求四面體的體積.
【詳解】
依題意，根據(jù)勾股定理可求，
，，
即與為全等的等腰三角形，
取的中點(diǎn)，連接，
由等腰三角形的性質(zhì)可得，，
所以面，
且，可求的高為，
從而，
.
故選：B
考點(diǎn)05：空間中多線共點(diǎn)處理技巧
41．如圖，在正四棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，經(jīng)過BE的截面與棱，分別交于點(diǎn)F，G，直線BG與EF不平行．證明：直線BG，EF，共點(diǎn).
【答案】證明見解析
【分析】先設(shè)與有一公共點(diǎn)，再根據(jù)基本事實(shí)3證明該公共點(diǎn)在直線上即可
【詳解】四點(diǎn)共面，不平行于，設(shè)，
又平面，平面，均不平行于，
P為平面與的公共點(diǎn)，
∵平面平面，
∴根據(jù)基本事實(shí)3可得，
∴直線BG，EF，共點(diǎn).
42．如圖，在直三棱柱中，，為線段上一點(diǎn)，平面交棱于點(diǎn)．
(1)求證：直線共點(diǎn)；
(2)若點(diǎn)為中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面所成角的正弦值．
條件①：三棱錐體積為；
條件②：三棱柱的外接球半徑為．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合，可得與直線相交，進(jìn)而證明的交點(diǎn)在直線上即可，
（2）條件①根據(jù)等體積法可得，條件②根據(jù)外接球的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角與直線方向向量的夾角即可求解.
【詳解】（1）證明：如圖，由平面，平面平面，
平面平面，
故，且，所以直線與直線相交，
記，則平面，
同理平面，
所以P在平面與平面的交線上，即．
故三線共點(diǎn)，
（2）若選擇條件①，則有
，即；
若選條件②，記的外接圓半徑為r，三棱柱的外接球半徑R，則有，記外接圓心為O，
則有，且有，
故，
故；
以A為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則B1,0,0,,,,
則,，，記平面的一個(gè)法向量為，
則有，取，則，
記直線與平面所成角為α，
則有．
43．如圖，在正四棱柱中，，，E為的中點(diǎn)，經(jīng)過BE的截面與棱，分別交于點(diǎn)F，G，直線BG與EF不平行．

(1)證明：直線BG，EF，共點(diǎn)；
(2)當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．
【答案】(1)證明見詳解(2)
【分析】（1）先設(shè)與有一公共點(diǎn)，再證明該公共點(diǎn)在直線上即可；
（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合面面角的余弦公式即可求解.
【詳解】（1）四點(diǎn)共面，不平行于，設(shè)，
又平面，平面，均不平行于，
為平面與的公共點(diǎn)，
又平面平面，
根據(jù)基本事實(shí)3可得，
直線BG，EF，共點(diǎn)；
（2）

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)檎睦庵?，，，?br>所以，, ，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，，
設(shè)平面的法向量為m=x1,y1,z1，則，令，則y1=?1，
m=1,?1,0，則二面角的余弦值的絕對(duì)值為，
由圖可知，二面角的平面角大小為鈍角，
所以二面角的余弦值.
44．如圖，已知平面，且，設(shè)在梯形中，，且.求證：共點(diǎn)．
【答案】證明見解析
【分析】設(shè)交于點(diǎn)，再根據(jù)若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，即可得證.
【詳解】如圖，梯形中，因?yàn)椋?br>所以與必交于一點(diǎn)，
設(shè)交于點(diǎn)，則，
又因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)?，所以?br>所以共點(diǎn)．
45．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AA1，AB的中點(diǎn)．
(1)求證：四邊形EFCD1是梯形；
(2)證明：直線D1E，DA，CF共點(diǎn)．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.
【分析】(1)利用平行于同一直線的兩直線相互平行得且，故四邊形EFCD1是梯形；
(2)空間中要證三線共點(diǎn)可使用公理：若兩平面有公共點(diǎn)，有且僅有一條通過該點(diǎn)的公共直線.
【詳解】（1）如圖，連接EF，CD1，A1B，
∵AF＝BF，AE＝A1E，∴且
∵在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，且，
∴四邊形為平行四邊形，
∴且，
∴且，
∴四邊形EFCD1是梯形；
（2）由（1）可知，與CF一定相交，設(shè)，
所以，平面，所以平面，
同理可得平面AC，
所以平面平面，
又平面平面＝AD，所以，
所以直線，DA，CF共點(diǎn)．
46．如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且.求證：
（1）四點(diǎn)共面；
（2）直線共點(diǎn).
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）證明四點(diǎn)共面，可以證四點(diǎn)構(gòu)成的兩直線平行，連接，，利用中點(diǎn)關(guān)系，證明即可
（2）先證明直線與直線交于，再證明過點(diǎn)即可
【詳解】（1）連接，，分別是的中點(diǎn)，.
又，，，四點(diǎn)共面.
（2）易知與直線不平行，但共面，∴設(shè)，則平面，平面.
∵平面平面，，∴直線共點(diǎn).
考點(diǎn)06：空間中點(diǎn)共面處理技巧
經(jīng)常利用三角形中位線性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)
模型1：如圖，在四棱錐中，已知，，，，平面.
如圖，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共面；
破解：取中點(diǎn)，連接，
為上靠近的四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，；
分別為中點(diǎn)，，又，，
四邊形為平行四邊形，，又，，
四點(diǎn)共面；
47．如圖，已知平行六面體的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，且，點(diǎn)，分別在和上．
(1)若，，求證：，，，四點(diǎn)共面；
(2)若，點(diǎn)為線段上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）利用共面向量定理可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求線面角的正弦可得解．
【詳解】（1）因?yàn)椋?，?br>所以，所以，，，四點(diǎn)共面．
（2）因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)在底面的射影落在上，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，連接，
因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，，平面，?br>所以平面，又平面，
則，在中，，
又因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為4的菱形，且，
所以，則，
設(shè)與的交點(diǎn)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，以過點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
由，可求得，，
所以，，
設(shè)為平面的法向量，
由，即，取，則，，
所以，
因?yàn)椋裕?br>設(shè)，所以，
所以，
設(shè)直線與平面所成角的為，
所以，
因?yàn)?，所以，?br>所以．
48．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，為等邊三角形，平面平面ABCD，．點(diǎn)E在線段PC上．
(1)若，在PB上找一點(diǎn)F，使得E,F,A,D四點(diǎn)共面，并說(shuō)明理由；
(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離；
(3)若直線AE與平面ABCD所成角的正弦值為，求二面角的余弦值．
【答案】(1)，理由見解析(2)(3)
【分析】（1）令，結(jié)合，得出，進(jìn)而得證；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，由題意得，，，平面，，根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，可得，利用等體積法，即可得出答案；
（3）由（2）得，，兩兩垂直，則建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可得出答案．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，、、、四點(diǎn)共面，理由如下：
證明：令，，
即，，
又，，
故、、、四點(diǎn)共面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：
為等邊三角形，，
，，，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
平面，，
，BC//AD，
，
，且平面，平面，，
平面，
平面，，
在菱形中，，則，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，即，
即，解得，
故點(diǎn)到平面的距離為；
（3）由（2）得，，兩兩垂直，則建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，，，,0,，,0,，
為線段上一點(diǎn)，設(shè)，則，
，
平面，
平面的法向量為，
，
解得．
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，，
平面的法向量為，，，
設(shè)二面角的平面角為，
則，
由圖知，二面角的平面角為銳角，
故二面角的余弦值為．
49．如圖，已知四棱錐的底面為正方形，平面，分別為線段，中點(diǎn).
(1)證明：共面；
(2)求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）由題意利用平面向量的運(yùn)算可得，由共面向量定理即可證明；
（2）方法一：利用線面垂直的性質(zhì)得，由(1)，可得，進(jìn)而利用平面向量的夾角公式即可求解；
方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量線面角的公式求解即可.
【詳解】（1）由題意得：，
則由共面向量定理知，共面.
（2）方法一：由平面，知為平面的法向量，
又平面，所以.
由（1）知：，
，
設(shè)直線與平面所成角為，
所以，直線與平面所成角大小為.
方法二：由題平面及為正方形，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系;
則，則，
由平面知為平面的法向量
設(shè)直線與平面所成角為，
則
所以，直線與平面所成角大小為.
50．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)．

(1)證明、、、四點(diǎn)共面；
(2)求直線與平面所成的角的大?。?br>【答案】(1)證明見解析(2)
【分析】（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可得，即可得證；
（2）求出直線的方向向量與平面的法向量后借助空間向量夾角公式計(jì)算即可得.
【詳解】（1）如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為、、、、、，
因?yàn)?，，所以?br>因此直線與EF共面，即、、、四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)平面的法向量為，則，，
又，，
故，解得，
取，得平面的一個(gè)法向量，
又，故，
故直線與平面所成的角的正弦值為，
因此直線與平面所成的角的大小為．
51．如圖，正方體中，N，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．
(1)求證：E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)平面與平面交于直線，求證：；
(3)求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明過程見解析(2)證明過程見解析(3)
【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到，再證明出四邊形為平行四邊形，得到，從而得到線線平行，得到結(jié)論；
（2）由面面平行得到線線平行；
（3）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，由等體積法求出點(diǎn)到平面的距離，從而利用得到答案.
【詳解】（1）連接，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)?，且?br>所以四邊形為平行四邊形，
故，
所以，
故E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；
（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面平面，平面平面，
所以；
（3）設(shè)直線與平面所成角的大小為，點(diǎn)到平面的距離為，正方體的棱長(zhǎng)為2，
則，
由勾股定理得，
故，
其中，
因?yàn)椋?br>所以，
故，
所以直線與平面所成角的正弦值為
52．如圖，為空間四邊形，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且，．求證：
(1)、、、四點(diǎn)共面；
(2)、必相交且交點(diǎn)在直線上．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)中位線及等比分點(diǎn)可得平行，進(jìn)而可證四點(diǎn)共面；
（2）結(jié)合面面位置關(guān)系可得證.
【詳解】（1）
連接、，，
由，分別為，中點(diǎn)，則，
又，，則，
，
、、、四點(diǎn)共面.
（2）
由，，
易知，
又，分別為，中點(diǎn)，即，
，
結(jié)合（1）的結(jié)論可知，四邊形是梯形，因此直線、不平行，
設(shè)它們交點(diǎn)為，平面，同理平面，
又平面平面，因此，
即、必相交且交點(diǎn)在直線上．
53．如圖，在四棱柱中，四邊形為直角梯形，，.過點(diǎn)作平面，垂足為是的中點(diǎn).
(1)在四邊形內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為.
（i）求證：平面平面；
（ii）判斷是否共面，并證明.
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，給出證明：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)（i）證明見解析；（ii）不共面，證明見解析
(2)存在，證明見解析
【分析】（1）（i）由線面垂直的性質(zhì)可得，然后由面面垂直的判定可證，（ii）利用反證法，假設(shè)結(jié)論的反面成立，利用面面平行的性質(zhì)推出矛盾，進(jìn)而得到結(jié)論正確
（2）利用面面平行的判定可得平面平面，然后利用線面平行的定義得證
【詳解】（1）（i）由平面，平面，則，
又，，平面，則平面，
因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>（ii）不共面，
假設(shè)共面于，
由四棱柱，得平面平面，
又，所以，
又，所以，又，即，
又，且，，
從而四邊形為矩形，與矛盾!
所以不共面；
（2）取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，
因?yàn)椋?，所以為的中點(diǎn)，，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>由是的中點(diǎn)，平面，平面 ，
所以平面，
因?yàn)?，平面，所以平面平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平?
54．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，E，M，N分別是，，的中點(diǎn).

(1)求證：M，N，C，D四點(diǎn)共面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）由題意證明，即可證明M，N，C，D四點(diǎn)共面.
（2）取中點(diǎn)，連，，證明，進(jìn)而可證明平面.
【詳解】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴.
又在平行四邊形中，，
∴，∴，，，四點(diǎn)共面.
（2）取中點(diǎn)，連，，

∵，分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴且，
又∵平行四邊形中，∴且，
∴且，∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
55．四棱錐中，平面平面，，，，，，，M為PC的中點(diǎn)，N為PD靠近D的三等分點(diǎn)．
(1)證明：A、B、M、N四點(diǎn)共面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求平面ABMN截四棱錐所得的上、下幾何體的體積比．
【答案】(1)證明見解析(2)(3)
【分析】（1）作輔助線，證明點(diǎn)為的重心，即可證明A、B、M、N四點(diǎn)共面；
（2）建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得；
（3）利用割補(bǔ)法，先求和，相減得，再用減去得,即得結(jié)果.
【詳解】（1）
如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因且，故，
連接，中，分別是的中點(diǎn)，
故的交點(diǎn)為的重心，設(shè)為點(diǎn)，則,
又N為PD靠近D的三等分點(diǎn)，故點(diǎn)重合，
因點(diǎn)都在平面內(nèi)，故A、B、M、N四點(diǎn)共面；
（2）
如圖，取中點(diǎn)，連接，因，則,
又平面平面,平面平面，平面，故平面,
過點(diǎn)在平面內(nèi)作，分別取為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
因，故,
則,
設(shè)平面的法向量為，則，故可取；
又,
設(shè)平面的法向量為，則，故可取.
于是，，
因二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為；
（3）
如圖，設(shè)平面ABMN截四棱錐所得的上、下幾何體的體積分別為,
依題，,
而,
則，
又,
故，
于是，.
56．已知正方體中，，點(diǎn)M，N分別是線段，的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)M到平面的距離；
(2)判斷，M，B，N四點(diǎn)是否共面，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)；(2)是，證明見詳解.
【分析】（1）由即可求解；
（2）利用三角形中位線性質(zhì)證明，然后證明為平行四邊形，即可得，再由直線平行的傳遞性可證.
【詳解】（1）記點(diǎn)M到平面的距離為h，
易知為正三角形，且，所以，
又，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br>解得，即點(diǎn)M到平面的距離為.
（2），M，B，N四點(diǎn)共面，證明如下：
連接，
因?yàn)镸，N分別是線段，的中點(diǎn)，
所以，
由正方體性質(zhì)可知，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以，
所以，M，B，N四點(diǎn)共面.

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