2024-2025學(xué)年初中上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)第一次月考卷（蘇科版）（解析版）【測試范圍：第一章~第二章】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）
考前須知：
1．本卷試題共24題，單選6題，填空10題，解答8題。
2．測試范圍：第一章~第二章（蘇科版）。
第Ⅰ卷
一．選擇題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
1．（3分）下列關(guān)于x的方程中，是一元二次方程的為（）
A．x2+2x=-1B．x2﹣4＝2y
C．﹣2x2+3＝0D．（a﹣1）x2﹣2x＝0
【分析】根據(jù)一元二方程的定義進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：A．x2+2x=-1是分式方程，不是一元二次方程，不符合題意；
B．x2﹣4＝2y是二元二次方程，不符合題意；
C．﹣2x2+3＝0是一元二次方程，符合題意；
D．當(dāng)a＝1時，（a﹣1）x2﹣2x＝0化為一元一次方程﹣2x＝0，不符合題意．
故選：C．
2．（3分）將一元二次方程4x2+81＝5x化為一般形式后，常數(shù)項(xiàng)為81，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為（）
A．4，5B．4，﹣5C．4，81D．4x2，﹣5x
【分析】方程整理為一般形式，找出所求即可．
【解答】解：方程整理得：4x2﹣5x+81＝0，
則二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別為4，﹣5．
故選：B．
3．（3分）如圖，矩形ABCD是某會展中心一樓展區(qū)的平面示意圖，其中邊AB的長為40m，邊BC的長為25m，該展區(qū)內(nèi)有三個全等的矩形展位，每個展位的面積都為200m2，陰影部分為寬度相等的人行通道，求人行通道的寬度．若設(shè)人行通道的寬度為x m，下列方程正確的是（）
A．（40﹣3x）（25﹣2x）＝200
B．（40﹣4x）（25﹣2x）＝600
C．40×25﹣80x﹣100x+8x2＝200
D．40×25﹣80x﹣100x＝600
【分析】由人行通道的寬度為x m，可得出每個展位的長為（25﹣2x）m，寬為40-4x3m，根據(jù)每個展位的面積都為200m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：∵人行通道的寬度為x m，
∴每個展位的長為（25﹣2x）m，寬為40-4x3m．
依題意得：40-4x3?（25﹣2x）＝200，
即（40﹣4x）（25﹣2x）＝600．
故選：B．
4．（3分）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B．點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)（點(diǎn)E與A，B兩點(diǎn)不重合）．若∠P＝70°，則∠AEB＝（）
A．75°B．30°或50°C．60°或120°D．75°或105°
【分析】連接OA，OB，分為E是優(yōu)弧AB?上一點(diǎn)，和E是劣弧AB?上一點(diǎn)，兩種情況計算即可．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)E為優(yōu)弧上一點(diǎn)，連接OA，OB，
∵PA，PB分別與⊙O相切，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠AEB=12∠AOB=75°，
（2）如圖，點(diǎn)E為劣弧上一點(diǎn)，若M是優(yōu)弧AMB?上一點(diǎn)，連接OA、OB，
∵PA，PB分別與⊙O相切，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝30°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°，
∴∠AMB=12∠AOB=75°，
∵四邊形AEBM是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠AMB+∠AEB＝180°，
∴∠AEB＝180°﹣75°＝105°，
故選：D．
5．（3分）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點(diǎn)O，A，B，C均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為（）
A．（﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（﹣2，﹣2）
【分析】連接CB，作CB的垂直平分線，根據(jù)勾股定理和半徑相等得出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．
【解答】解：連接CB，作CB的垂直平分線，如圖所示：
在CB的垂直平分線上找到一點(diǎn)D，
CD＝DB＝DA=32+12=10，
∴點(diǎn)D是過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心，
即D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），
故選：C．
6．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)M，切點(diǎn)為N，則DM的長為（）
A．133B．92C．4313D．25
【分析】連接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出結(jié)果．
【解答】解：連接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四邊形AFOE，F(xiàn)BGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切線，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM=43，
∴DM＝3+43=133，
故選：A．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
7．（3分）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2024﹣9a+3b的值為 2018 ．
【分析】把x＝3代入關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6得﹣9a+3b＝﹣6，再把所求結(jié)果整體代入所求代數(shù)式進(jìn)行計算即可．
【解答】解：把x＝3代入關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6得：9a﹣3b＝6，
∴﹣9a+3b＝﹣6，
∴2024﹣9a+3b＝2024﹣6＝2018，
故答案為：2018．
8．（3分）已知⊙O的圓心坐標(biāo)為（3，0），直徑為6，則⊙O與y軸的位置關(guān)系是相切．
【分析】由已知條件可證得圓心O到y(tǒng)軸的距離為等于⊙O的半徑，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得結(jié)論．
【解答】解：∵⊙O的圓心坐標(biāo)為（3，0），
∴圓心O到y(tǒng)軸的距離為3，
∵⊙O的直徑為6，
∴⊙O的半徑為3，
∴圓心O到y(tǒng)軸的距離為等于⊙O的半徑，
∴⊙O與y軸相切．
故答案為：相切．
9．（3分）如圖，⊙O的弦AB和直徑CD交于點(diǎn)E，且CD平分AB，已知AB＝8，CE＝2，那么⊙O的半徑長是 5 ．
【分析】連接OA，由垂徑定理的推論得出AB⊥CD，由已知可得AE=12AB＝4，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOE中，利用勾股定理求r．
【解答】解：連接OA，
∵，⊙O的弦AB和直徑CD交于點(diǎn)E，且CD平分AB，
∴AB⊥CD，
∴AE=12AB＝4，又OE＝OC﹣CE＝r﹣2，OA＝r，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
故答案為：5．
10．（3分）若圓錐的底面半徑是2，側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的母線長是 6 ．
【分析】易得圓錐的底面周長，也就是側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而利用弧長公式即可求得圓錐的母線長．
【解答】解：圓錐的底面周長＝2π×2＝4πcm，
則：120πl(wèi)180=4π，
解得l＝6．
故答案為：6．
11．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13-2024x1+x22的值為 4049 ．
【分析】先利用一元二次方程的根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12-x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，即x13-2024x1=x12，最后代入即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2024＝0兩個實(shí)數(shù)根，
∴x12-x1﹣2024＝0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣2024，
∴x13-x12-2024x1＝0，
∴x13-2024x1=x12，
∴x13-2024x1+x22
=x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝12+4048
＝4049．
故答案為：4049．
12．（3分）已知⊙O的直徑為8，點(diǎn)P到圓心O的距離為3，則經(jīng)過點(diǎn)P的最短弦的長度為 27 ．
【分析】與OP垂直的弦最短，利用勾股定理求．
【解答】解：與OP垂直的弦AB最短．證明如下：
過點(diǎn)P任作一條弦CD，作OQ垂直于CD，垂足為Q，連接OD，
AB＝2AP＝2OA2-OP2=242-32=27，
CD＝2QD＝2OD2-OQ2=242-OQ2，
在Rt△OPQ中，OP＞OQ，即3＞OQ，
∴42﹣32＜42﹣OQ2，
∴AB＜CD，
∴弦AB最短，
故答案為：27．
13．（3分）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝ 75 °．
【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等求解即可．
【解答】解：如圖：連接AD，
∵∠O＝130°，OA＝OD，
∴∠OAD=12（180°﹣130°）＝25°，
∵∠C＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．
故答案為：75．
14．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上．將AC沿AC翻折與AB交于點(diǎn)D．若OA＝3cm，BC的度數(shù)為40°，則AD= 53π cm．
【分析】作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接AE，BE，OE，則AD=AE，然后再根據(jù)BC的度數(shù)為40°知∠CAB＝20°，然后再根據(jù)圓周角定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)可得∠AOE＝180°﹣80°＝100°，最后運(yùn)用弧長公式即可解答．
【解答】解：如圖，作D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接AE，BE，OE，
則AD=AE，
∵BC 的度數(shù)為40°，
∴∠CAB＝20°，
∴∠EAB＝2∠CAB＝40°，
∴∠EOB＝2∠EAB＝80°，
∴∠AOE＝180°﹣80°＝100°，
∴AE的長度為100°×2π×3360°=53π，
∴AD 的長度為53π．
故答案為：53π．
15．（3分）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝ 105 °．
【分析】連接OA，OB，OE，OF，利用正六邊形的性質(zhì)得到OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，則△OAB為等邊三角形，D，O，A在一條直線上；利用正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得∠AON的度數(shù)，則結(jié)論可得．
【解答】解：連接OA，OB，OE，OF，如圖，
∵點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB為等邊三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一條直線上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO=180°-30°2=75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案為：105．
16．（3分）如圖，已知A（6，0），B（4，3）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)，以點(diǎn)B圓心的⊙B經(jīng)過原點(diǎn)O，BC⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為⊙B上一動點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則線段CE長度的最大值為 5+132 ．
【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)A′，連接BA′，BD，DA′．因?yàn)锳C＝CA′，DE＝EA，所以EC=12DA′，求出DA′的最大值即可解決問題．
【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)A′，連接BA′，BD，DA′．
由題意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB=32+42=5，
∴BA′=32+22=13，
∵AC＝CA′，DE＝EA，
∴EC=12DA′，
∵DA′≤BD+BA′，
∴DA′≤5+13，
∴DA′的最大值為5+13，
∴EC的最大值為5+132，
故答案為5+132．
三．解答題（共8小題，滿分72分）
17．（6分）解方程：
（1）x2﹣4x﹣5＝0；
（2）x2+ax﹣2a2＝0．（a為常數(shù)且a≠0）
【分析】（1）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x﹣5＝0或x+1＝0，然后兩個一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為x+2a＝0或x﹣a＝0，然后兩個一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
所以x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2+ax﹣2a2＝0，
（x+2a）（x﹣a）＝0，
x+2a＝0或x﹣a＝0，
所以x1＝﹣2a，x2＝a．
18．（6分）如圖，A、B是⊙O上的點(diǎn)，以O(shè)B為直徑作⊙O1．僅用無刻度的直尺完成下列作圖．
（1）在圖①中，在⊙O1上作出一個點(diǎn)C，使BC與AB的長度相等；
（2）在圖②中，在⊙O上作出一個點(diǎn)D，使AD與BD的長度相等．
【分析】（1）連接OA交⊙O1于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求．
（2）連接AB交⊙O1于點(diǎn)T，作直線OT交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)D′，點(diǎn)D，點(diǎn)D′即為所求．
【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)C即為所求．
（2）如圖，點(diǎn)D或D′即為所求．
19．（8分）已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊a＝3，另兩邊長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式的符號進(jìn)行證明；
（2）注意：分b＝c，b＝a兩種情況做．
【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝（k﹣2）2，
∵無論k取何值，（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：①當(dāng)b＝c時，則Δ＝0，
即（k﹣2）2＝0，
∴k＝2，
方程可化為x2﹣4x+4＝0，
∴x1＝x2＝2，
而b＝c＝2，
∴△ABC的周長＝a+b+c＝3+2+2＝7；
②解：當(dāng)b＝a＝3時，
∵x2﹣（k+2）x+2k＝0．
∴（x﹣2）（x﹣k）＝0，
∴x＝2或x＝k，
∵另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，
∴k＝b＝3，
∴c＝2，
∴△ABC的周長＝a+b+c＝3+3+2＝8；
綜上所述，△ABC的周長為7或8．
20．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：直線EF是⊙O的切線；
（2）若AC＝13，BC＝10，求DE長．
【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，得出∠ODB＝∠C，進(jìn)而得出OD∥AC，由DE⊥AC，得出OD⊥EF，即可證明EF是⊙O的切線；
（2）先求出BD＝5，再由勾股定理求出AD=AB2-BD2=132-52=12，最后再用面積法求解即可．
【解答】（1）證明：如圖1，連接OD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，
∴BD＝5，
∴AD=AB2-BD2=132-52=12，
∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13，
∴12DE?AC=12AD?CD
即DE=6013．
21．（10分）如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為BC的中點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F，連接DA．
（1）若AB＝90cm，則圓心O到EF的距離是多少？說明你的理由．
（2）若DA=DF=63，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【分析】（1）直接利用切線的判定方法結(jié)合圓周角定理分析得出OD⊥EF，即可得出圓心O到EF的距離為圓的半徑；
（2）利用扇形面積公式和三角形面積公式計算即可；
【解答】解：（1）如圖所示，連接OD，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的長是圓心O到EF的距離，
∵AB＝90cm，
∴OD=12AB=45cm．
（2）如圖所示，過點(diǎn)O作OG⊥AD交AD于點(diǎn)G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，OG=12×6=3，
∴S△AOD=12×63×3=93，
∴S陰影=S扇形OBD+S△AOD=60π×62360+93=6π+93．
22．（10分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．
（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？
【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，
依題意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．
答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．
（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元，
依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，
答：該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元．
23．（12分）【問題提出】
我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半．那在一個圓內(nèi)同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？
【初步思考】
（1）如圖1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，點(diǎn)P1、P2分別是優(yōu)弧AB和劣弧AB上的點(diǎn)，則∠AP1B＝ 50 °，∠AP2B＝ 130 °．
（2）如圖2，AB是⊙O的弦，圓心角∠AOB＝m（m＜180°），點(diǎn)P是⊙O上不與A、B重合的一點(diǎn)，求弦AB所對的圓周角∠APB的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）（m2）°或180°﹣（m2）° ．
【問題解決】
（3）如圖3，已知線段AB，點(diǎn)C在AB所在直線的上方，且∠ACB＝135°，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．
【實(shí)際應(yīng)用】
（4）如圖4，在邊長為12的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E、F分別是邊AC、BC上的動點(diǎn)，連接AF、BE，交于點(diǎn)P，若始終保持AE＝CF，在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C過程中，PC的最小值是 43 ．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理計算∠AP1B的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠AP2B的度數(shù)；
（2）與（1）的求法一樣（注意分類討論）；
（3）先作AB的垂直平分線得到AB的中點(diǎn)P，再以AB為直徑作圓交AB的垂直平分線于O，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑作⊙O，則⊙O在⊙P內(nèi)的弧為滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形；
（4）由等邊三角形的性質(zhì)證明△AEB≌△CFA可以得出AF＝BE，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，結(jié)合勾股定理分別求得DC、DP，即可得解．
【解答】解：（1）∠AP1B=12∠AOB=12×100°＝50°，
∠AP2B＝180°﹣∠APB＝180°﹣50°＝130°．
故答案為：50，130；
（2）當(dāng)P在優(yōu)弧AB上時，∠A PB=12∠AOB＝（m2）°；
當(dāng)P在劣弧AB上時，∠A PB＝180°﹣（m2）°；
故答案為：（m2）°；180°﹣（m2）°；
（3）如圖劣弧AB（不包含A、B兩個端點(diǎn)）就是所滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形；
（4）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC＝BC＝12，∠BAC＝∠C＝60°．
在△AEB和△CFA中，
AB=AC∠BAC=∠CAE=CF，
∴△AEB≌△CFA（SAS），
∴AF＝BE．
點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，PC最小，此時△ABP為等腰三角形．且∠ABP＝∠BAP＝30°，OC⊥AB，如圖3：
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝12，AP＝2DP，
∴AD＝6，DP=(2DP)2-62，
∴DP＝23，
在Rt△ADC中，DC=AC2-AD2=122-62=63，
∴PC＝63-23=43．
故答案為：
24．（12分）已知△ABC的外接圓，圓心為點(diǎn)O，點(diǎn)P是該三角形的內(nèi)心．
（1）如圖1，在△ABC中，直線AP與△ABC外接圓交點(diǎn)為D，求證：BD＝PD＝CD；
（2）如圖2，若該△ABC，M是弧ABC中點(diǎn)，MN⊥BC與點(diǎn)N，
①求證：AB+BN＝CN；
②如圖3，若△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，求證：直線MN經(jīng)過內(nèi)心點(diǎn)P；
③將上述第②題中∠BAC＝90°改為∠BAC為任意角，參考圖3，其他條件均不變，試猜想該結(jié)論是否成立：是（是，或者不是）．
【分析】（1）連接BP，可推出∠ABP＝∠CBP，∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，從而∠DBP＝∠DPB，從而BD＝PD，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)M作ME⊥AB，交AB的延長線于E，連接BM，可證得Rt△AME≌Rt△CMN，從而MN＝EM，進(jìn)而證得△BME≌△BMN，從而BE＝BN，進(jìn)一步得出結(jié)論；
②設(shè)AE，AC切⊙P于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)AB＝a，AE＝AF＝x，則AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a，可證得△ABM≌△CQM，從而BM＝QM，進(jìn)而得出BN＝NQ=12BQ，根據(jù)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓可得出BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x，從而BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x，進(jìn)而得出BN=12BQ＝a﹣x，從而BE＝BN，進(jìn)一步得出結(jié)論；
③由②得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，
連接BP，
∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，
∴AP、BP分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABP＝∠CBP，
∴CD=BD，
∴CD＝BD，
∵∠BAD＝∠BCD，∠DAC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∴∠CBD+∠CBP＝∠BAD+∠ABP，
∴∠DBP＝∠DPB，
∴BD＝PD，
∴BD＝PD＝CD；
（2）①證明：如圖2，
過點(diǎn)M作ME⊥AB，交AB的延長線于E，連接BM，
則∠E＝90°，
∵M(jìn)N⊥BC，
∴∠BNM＝∠CNM＝90°，
∴∠E＝∠BNM＝∠CMN，
∵M(jìn)是弧ABC中點(diǎn)，
∴AM＝CM，
∵BM=BM，
∴∠MAB＝∠MCB，
∴Rt△AME≌Rt△CMN（HL），
∴MN＝EM，CN＝AE，
∵BM＝BM，
∴△BME≌△BMN（HL），
∴BE＝BN，
∵AB+BE＝AE，
∴AB+BN＝CN；
②證明：
設(shè)AE，AC切⊙P于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)AB＝a，AE＝AF＝x，則AC＝2a，在BC上截取CQ＝AB＝a，
∵∠C＝∠BAM，AM＝CM，
∴△ABM≌△CQM（SAS），
∴BM＝QM，CQ＝AB＝a，
∵M(jìn)N⊥BC，
∴BN＝NQ=12BQ，
∵⊙P是△ABC的內(nèi)切圓，
∴BC＝BE+CF＝（a﹣x）+（2a﹣x）＝3a﹣2x，
∴BQ＝BC﹣CQ＝2a﹣2x，
∴BN=12BQ＝a﹣x，
∴BE＝BN，
∴⊙P切BC于N，
∴M、N、P共線，
∴PN⊥BC，
∴直線MN經(jīng)過圓內(nèi)心點(diǎn)P；
③解：由②知：直線MN經(jīng)過圓內(nèi)心點(diǎn)P，
故答案為：是．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多