上海市南洋模范中學2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學試卷（原卷版+解析版）

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一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1. 已知a，b均為實數(shù)，，則___________.
【答案】21
【解析】
【分析】直接由復數(shù)的乘法及復數(shù)相等求解即可.
【詳解】根據(jù)可得到，
故，，求得a=3,b=7，
所以.
故答案為：21
2. 的展開式中，常數(shù)項為______．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出展開式中的通項公式，然后令的指數(shù)為0求解.
【詳解】由展開式中的通項公式為：，
令，則，
故展開式中的常數(shù)項為：，
故答案為：3.
3. 已知平面向量的夾角為，則___________
【答案】
【解析】
【分析】由向量的數(shù)量積運算及運算律可求得答案.
【詳解】，
所以．
故答案為：.
4. 不等式的解集為________．
【答案】
【解析】
【分析】由于恒成立，所以將解分式不等式問題轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式，則答案可得.
【詳解】因為，所以恒成立，
所以，
所以，，
所以．
故答案為：.
5. 設，若，則實數(shù)的取值集合為__________.
【答案】
【解析】
【分析】化簡集合，即可根據(jù)分別求解.
【詳解】由可得,
由于,故,
因此，
，
，
故實數(shù)的取值集合為，
故答案為：
6. 圓的半徑的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】化為圓的標準方程求出半徑，根據(jù)a的范圍利用拋物線的單調(diào)性可得答案.
【詳解】由可得，
當表示圓，即解得a的取值范圍是，
半徑為，
是開口向下對稱軸為的拋物線，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，所以時最大值為.
故答案為：．
7. 已知，則_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用輔助角公式求出，再利用誘導公式和二倍角公式求解即可．
【詳解】，
∴，則，故，
，
故答案為：
8. 已知點為雙曲線右支上的一點，點，分別為雙曲線的左、右焦點，若M為的內(nèi)心，且，則雙曲線的離心率為________．
【答案】
【解析】
【分析】設出內(nèi)切圓半徑，由三角形面積等式，結(jié)合雙曲線定義可得關系，進而求出離心率.
【詳解】設內(nèi)切圓半徑為，由題意知，
所以，
即，由點為雙曲線右支上的一點，
則，
故雙曲線的離心率.
故答案為：.
9. 在一座尖塔的正南方向地面某點，測得塔頂?shù)难鼋菫?，又在此尖塔北偏東地面某點，測得塔頂?shù)难鼋菫?，且，兩點距離為，在線段上的點處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲?，則點到塔底的距離為______m.
【答案】
【解析】
【分析】由題意可確定，，設尖塔高為，則，，
在中解三角形即可.
【詳解】
如圖，尖塔為，設，
則由題意可知，，，
在中，由余弦定理可知，
即，解得，即，，
由線段上的點處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲罂芍?br>故，即，
得，
故答案為：
10. 已知是定義在上的奇函數(shù)，且，都有，當時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點之和為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)結(jié)合得出函數(shù)的周期，再應用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為零點是函數(shù)的交點橫坐標，最后應用對稱性即可求出零點和.
【詳解】奇函數(shù)y=fx，對于都有，
，則，即f4+x=fx，
則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．且關于直線對稱，
作出函數(shù)y=fx與的圖象知共有5個交點，其橫坐標從小到大依次為，
所以，，，，
則，故在內(nèi)所有的零點之，
故答案為:．
11. 已知函數(shù)若存在實數(shù)滿足，且，則的取值范圍為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段函數(shù)的值域，然后由題意得到，根據(jù)，可將化簡為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最值即可.
【詳解】結(jié)合解析式可知當時，；當時，.
因為，所以.
令，得，則，
故.
令，則，
令得；令得，
所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
當時，，
因為，所以.
所以的取值范圍為.
故答案為：
12. 定義：對于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項為1的數(shù)列滿足，記的前項和為，則數(shù)列的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解析式，再利用數(shù)列的遞推思想構(gòu)造等比數(shù)列，即可求和，從而用數(shù)列的單調(diào)性來求出最小值.
【詳解】由二次函數(shù)最低點為可知：，
又，所以，
則.由題意得，
又由，得，
因為，所以，
即，又，
所以，則，即，
故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以.
令.，則，
故當時，，當時，，
故.
故答案為：.
【點睛】方法點睛，根據(jù)二次遞推，則需要通過構(gòu)造兩邊對數(shù)，來得到等比數(shù)列遞推關系.
二、單選題（本大題共4題，滿分20分）
13. 某校高一年級個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，抽得個班的比賽得分如下：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將比賽得分從小到大重新排列，結(jié)合百分位數(shù)定義求其分位數(shù).
【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：，
因為，
所以這組數(shù)據(jù)分位數(shù)是第個數(shù)93.
故選：A.
14. 已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面，，則（ ）
A. 若∥，，，則∥
B. 若，，，則
C. 若，，則∥
D 若，，∥，則∥
【答案】D
【解析】
【分析】對于A，由題意可得m，n可能平行，也可能異面，即可判斷；對于B，由題意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判斷；對于C，由題意可得有可能是∥，也可能，即可判斷；對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可判斷.
【詳解】解：對于A，若∥，，，則m，n可能平行，也可能異面，故A錯誤；
對于B，若，，，則可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B錯誤；
對于C，若，，則有可能是∥，也可能，故C錯誤，
對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若，，∥，則∥，故D正確，
故選：D.
15. 已知函數(shù)．若存在，，使得，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知，或者，，即可求解.
【詳解】由，
因，必有，或者，，
由，，分別得到，．
于是，，或者，，得的最大值為．
故選：D．
16. 在平面直角坐標系中，定義為兩點，的“切比雪夫距離”，又設點與直線上任意一點，稱的最小值為點與直線間的“切比雪夫距離”，記作，給定下列兩個命題：
①已知點，直線，則；
②定點、，動點滿足則點的軌跡與直線（為常數(shù)）有且僅有2個公共點；下列說法正確的是（ ）
A. 命題①成立，命題②不成立B. 命題①不成立，命題②成立
C. 命題①②都成立D. 命題①②都不成立
【答案】C
【解析】
【分析】對于①，設點是直線上一點，且，可得，
討論與的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；
對于②，根據(jù)定義得，再根據(jù)對稱性進行討論，求得軌跡方程，即可判斷．
【詳解】對于①，設點Q是直線上一點，且，可得，
由，解得，即有，
當時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最值，
綜上可得，P，Q兩點的“切比雪夫距離”的最小值為.故①正確；
對于②，定點、，動點，
滿足dP,F1-dP,F2=2a(2c>2a>0)，
則：，
顯然上述方程所表示的曲線關于原點對稱，故不妨設，.
當時，有，得：；
當時，有，此時無解；
當x+c>yx-c