一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）
1.已知a，b均為實(shí)數(shù)，，則__________.
2.的展開式中，常數(shù)項為__________.
3.已知平面向量，的夾角為，且，，則__________.
4.不等式的解集為__________.
5.設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)a的取值集合為__________.
6.圓的半徑的最大值為__________.
7.已知，則__________.
8.已知點(diǎn)P為雙曲線（，）右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若M為的內(nèi)心，且，則雙曲線的離心率為__________.
9.在一座尖塔的正南方向地面某點(diǎn)A，測得塔頂?shù)难鼋菫椋衷诖思馑逼珫|地面某點(diǎn)B，測得塔頂?shù)难鼋菫?，且A，B兩點(diǎn)距離為7，在線段AB上的點(diǎn)C處測得塔頂?shù)难鼋菫樽畲螅瑒tC點(diǎn)到塔底O的距離為__________.
10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且任意，都有，當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)之和為__________.
11.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，且，則的取值范圍為__________.
12.定義：對于函數(shù)和數(shù)列，若，則稱數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為，且，若數(shù)列具有“函數(shù)性質(zhì)”，且首項為1的數(shù)列滿足，記的前n項和為，則數(shù)列的最小值為__________.
二、單選題（本大題共4題，滿分20分）
13.某校高一年級18個班參加藝術(shù)節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機(jī)抽樣，抽得10個班的比賽得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（ ）
A.93B.93.5C.94D.94.5
14.已知兩條不同的直線m，n，兩個不同的平面，，則（ ）
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，則
D.若，，，則
15.已知函數(shù).若存在，，使得，則的最大值為（ ）
A.B.C.D.
16.在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)Q，稱的最小值為點(diǎn)P與直線l間的“切比雪夫距離”，記作，給定下列四個命題：
①已知點(diǎn)，直線，則；
②定點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足則點(diǎn)P的軌跡與直線（k為常數(shù)）有且僅有2個公共點(diǎn)；下列說法正確的是（ ）
A.命題①成立，命題②不成立B.命題①不成立，命題②成立
C.命題①②都成立D.命題①②都不成立
三、解答題（本大題共5題，滿分76分）
17.如圖，在直三棱柱中，所有棱長均為4，D是AB的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的正弦值.
18.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)（，）.
（1）求的解析式；
（2）求當(dāng)時，函數(shù)的值域.
19.某大學(xué)數(shù)理教學(xué)部為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，并加強(qiáng)同學(xué)間的交流，特組織以“讓心靈沐浴陽光，讓快樂充滿胸膛”為主題的趣味運(yùn)動比賽，其中A、B兩名學(xué)生進(jìn)入趣味運(yùn)動比賽的關(guān)鍵階段，該比賽采取累計得分制，規(guī)則如下：每場比賽不存在平局，獲勝者得1分，失敗者不得分，其中累計得分領(lǐng)先對方2分即可贏得最終勝利，但本次比賽最多進(jìn)行6場.假設(shè)每場比賽中A同學(xué)獲勝的概率均為，且各場比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
（1）求趣味比賽進(jìn)行到第2場時比賽就結(jié)束的概率；
（2）此次趣味比賽中記比賽停止時已比賽的場數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
20.已知橢圓，點(diǎn)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).
（1）若橢圓上點(diǎn)P滿足，求的值；
（2）點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)在x軸上，若點(diǎn)S為橢圓上一動點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時點(diǎn)S恰與點(diǎn)A重合，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）已知m為常數(shù)，過點(diǎn)且法向量為的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)R滿足（、），求的最大值.
21.我們把底數(shù)和指數(shù)同時含有自變量的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，其一般形式為.對冪指函數(shù)求導(dǎo)時，可以將函數(shù)“指數(shù)化”再求導(dǎo)，例如：對于冪指函數(shù)，有.
（1）已知，求曲線在處的切線方程；
（2）若且，研究函數(shù)的單調(diào)性；
（3）已知m，n，s，t均大于0，且，討論和的大小關(guān)系.
答 案
一、填空題
1.【答案】21
【解析】根據(jù)可得到，
故，，求得，，所以.
2.【答案】3
【解析】由展開式中的通項公式為：，
令，則，故展開式中的常數(shù)項為：.
3.【答案】
【解析】由題意，可得，所以.
4.【答案】
【解析】因?yàn)?，所以恒成立?br>所以，所以，，所以.
5.【答案】
【解析】由可得，
由于，故，，，
因此，，，
，，，故實(shí)數(shù)a的取值集合為.
6.【答案】
【解析】由可得，
當(dāng)表示圓，即解得a的取值范圍是，半徑為，
是開口向下對稱軸為的拋物線，
在嚴(yán)格遞增，在嚴(yán)格遞減，所以時最大值為.
7.【答案】
【解析】，
，則，故，
.
8.【答案】2
【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為R，由題意知，
所以，即，
由點(diǎn)P為雙曲線右支上的一點(diǎn)，則，故雙曲線的離心率.
9.【答案】
【解析】設(shè)塔高為OP，如下圖所示，
由題意知：，
，，平面AOB，，
若在C處的仰角最大，即最大，則取得最大值，
，當(dāng)OC取得最小值時，最大，
設(shè)，則，，
，
解得：，，，
，
當(dāng)時，OC最小，，
即若在C處的仰角最大，則C點(diǎn)到塔底O的距離為.
10.【答案】
【解析】奇函數(shù)，對于都有
，，則，即，
則函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).且關(guān)于直線對稱，
作出函數(shù)與的圖象知共有5個交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，，，
所以，，，，
則，故在內(nèi)所有的零點(diǎn)之.
11.【答案】
【解析】結(jié)合解析式可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.
因?yàn)椋?
令，得，則，故.
令，則，
令得；令得，
所以函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，在上嚴(yán)格遞增，
所以，當(dāng)時，，
因?yàn)?，所?所以的取值范圍為.
12.【答案】
【解析】由二次函數(shù)最低點(diǎn)為可知：，
又，所以，則.
由題意得，
又由，得，
因?yàn)?，所以?br>即，又，，
所以，則，即，
故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，.
令，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故.
二、單選題
13.【答案】A
【解析】將比賽得分從小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，
因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第8個數(shù)93，故選：A.
14.【答案】D
【解析】對于A，若，，，則m，n可能平行，也可能異面，A錯誤；
對于B，若，，，則可能有，也可能有，也可能平面，相交，B錯誤；
對于C，若，，則有可能是，也可能，C錯誤，
對于D，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知若，，，則，正確，故選：D.
15.【答案】D
【解析】由，
因，必有，或者，，
由，，分別得到，.
于是，，或者，，得的最大值為，故選：D.
16.【答案】D
【解析】對于①，設(shè)點(diǎn)Q是直線上一點(diǎn)，且，可得，
由，解得，即有，
當(dāng)時，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范圍是，無最值，
綜上可得，P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為.故①正確；
對于②，定點(diǎn)、，動點(diǎn)，
滿足，
可得P不y軸上，P在線段間成立，可得，解得，
由對稱性可得也成立，即有兩點(diǎn)P滿足條件；
若P在第一象限內(nèi)，滿足，即為，為射線，
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，
則點(diǎn)P的軌跡與直線（k為常數(shù)）有且僅有2個公共點(diǎn).故②正確；
綜上可得，故選：C.
三、解答題
17.【答案】（1）見解析；（2）
【解析】（1）連接交于O，在直三棱柱中，所有棱長均為4，
因此四邊形是正方形，所以O(shè)是的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，
因此有，而平面，平面，所以平面；
（2）由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），
因?yàn)槭钦叫危裕?br>在直三棱柱中，所有棱長均為4，
因此四邊形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由函數(shù)是R上的奇函數(shù)，
則有，解得，
即，，，
即，，解得，
經(jīng)驗(yàn)證得，時，是奇函數(shù)，所以.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時，，
因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以所求值域?yàn)?
19.【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題可知，A同學(xué)連勝2場或連敗2場，則其概率.
（2）由題可知，X的取值可能是2，4，6，
由（1）知，，當(dāng)時，前2場打平，后兩場A連勝或連敗，
則，
，
所以分布列為：，所以數(shù)學(xué)期望.
20.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因?yàn)?，所以設(shè)點(diǎn)，
則，所以，即，
所以；
（2）設(shè)，則，，
則，
所以，，
要時取最小值，則必有，所以；
（3）設(shè)過點(diǎn)且法向量為的直線l的方程為，，，
聯(lián)立，消去x得，
則，，
則，
，
又，
又點(diǎn)R在橢圓C上，則，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，即的最大值為.
21.【答案】（1）略；（2）在上單調(diào)遞增；
（3）略.
【解析】（1）略
（2）依題意，，，
求導(dǎo)得，
，
設(shè)，，
求導(dǎo)得，
由，得，由，得，
則函數(shù)在上嚴(yán)格遞減，在上嚴(yán)格遞增，
因此，從而，
所以在上嚴(yán)格遞增.
（3）略

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