2、精練習(xí)題。不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，在老師指導(dǎo)下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的深入理解。在解題時(shí)，要獨(dú)立思考，一題多思，一題多解，反復(fù)玩味，悟出道理。
3、加強(qiáng)審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學(xué)抱怨沒考好，糾其原因是考試時(shí)沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個(gè)問題勢必影響到高考的成敗。
4、重視錯(cuò)題。錯(cuò)誤要及時(shí)尋找錯(cuò)因，及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，三五個(gè)字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓(xùn)，力求相同的錯(cuò)誤不犯第二次。
專題02 一元二次函數(shù)、方程與不等式
（思維構(gòu)建+知識(shí)盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）
知識(shí)點(diǎn)1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)
1、等式性質(zhì)
2、不等式性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)2 一元二次不等式的解集
知識(shí)點(diǎn)3 基本不等式
1、重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取號(hào)）.
變形公式：
2、基本不等式：
（1）基本不等式成立的條件：
（2）等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
（3）算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，
基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
3、利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，則
（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值2eq \r(p).(簡記：積定和最小)
（2）如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值eq \f(p2,4).(簡記：和定積最大)
重難點(diǎn)01 利用基本不等式求最值的方法
法一、直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系
【典例1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，滿足， 則 的最小值為（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【解析】，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.
【典例2】（2024·四川成都·三模）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?br>所以，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值為.故選：A.
法二、配湊法：湊出“和為定值”或“積為定值”，直接使用基本不等式。
【典例1】（23-24高三下·河南·開學(xué)考試）已知，則的最小值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【解析】由于，所以，
由,
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得的最小值為3，故選：D．
【典例2】（23-24高三上·山西晉中·開學(xué)考試）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)椋獾?，故選：B
法三、代換法：代換法適用于條件最值中，出現(xiàn)分式的情況
類型1：分母為單項(xiàng)式，利用“1”的代換運(yùn)算，也稱乘“1”法；
【典例1】（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào).故選：D
【典例2】（23-24高三上·甘肅武威·期末）若，且，則的最小值為（ ）
A．6B．9C．4D．8
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為9，故選：B.
類型2：分母為多項(xiàng)式時(shí)
方法1：觀察法 適合與簡單型，可以讓兩個(gè)分母相加看是否與給的分子型成倍數(shù)關(guān)系；
方法2：待定系數(shù)法，適用于所有的形式，
如分母為與，分子為，
設(shè)
∴，解得：
【典例1】（23-24高三下·江蘇揚(yáng)州·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】實(shí)數(shù)，，由，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為.故選：B
【典例2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若是正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：A
法四、消元法：當(dāng)題目中的變元比較多的時(shí)候，可以考慮削減變元，轉(zhuǎn)化為雙變量或者單變量問題。
【典例1】（2024·浙江嘉興·二模）若正數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】由可得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)符合題意.
所以的最小值為.故選：A.
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是的最小值是，故選：B
法五、構(gòu)造不等式法：尋找條件和問題之間的關(guān)系，通過重新分配，使用基本不等式得到含有問題代數(shù)式的不等式，通過解不等式得出范圍，從而求得最值。
【典例1】（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測）若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知為正數(shù)，且，
所以，化簡得，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故A正確.故選：A.
【典例2】（23-24高三下·重慶·月考）對(duì)于正數(shù)，有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題可知：，
因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
化簡可得，解得，故C正確.故選：C.
重難點(diǎn)02 不等式恒成立與能成立問題
一般利用參變分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
【典例1】（23-24高一上·遼寧·月考）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【解析】由題意知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，
又不等式恒成立，
則不等式，解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A.
【典例2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（ ）
A．12B．24C．D．
【答案】B
【解析】，，變形為，
令，
則轉(zhuǎn)化為，即，
其中
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，可知.故選：B
重難點(diǎn)03 求含參數(shù)的一元二次不等式
對(duì)求含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有：
（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類；
（2）根據(jù)判別式與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù)；
（3）有兩個(gè)根式，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論。
【典例1】（23-24高三上·浙江紹興·期末）（多選）已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，或，故A正確；
當(dāng)時(shí)，，
若，則解集為空集；
若，則不等式的解為：，故D正確；
若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．
（2）解關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式：．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；
【解析】（1）易知方程的，
由得，解得，
當(dāng)時(shí)，的解集為，
當(dāng)時(shí)，的解集為，
當(dāng)時(shí)，的解集為．
（2）對(duì)方程，
當(dāng)時(shí)，即時(shí),不等式的解集為
當(dāng)時(shí)，即或時(shí),
的根為，
不等式的解集為；
綜上可得，時(shí),不等式的解集為，
或時(shí)，不等式的解集為.
一、比較兩數(shù)（式）的大小
1、作差法：
（1）原理：設(shè)，則；；；
（2）步驟：作差并變形判斷差與0的大小得出結(jié)論。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形。
2、作商法：
（1）原理：設(shè)，則；；
（2）步驟：作商并變形判斷商與1的大小得出結(jié)論。
（3）注意：作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反，變形方法有分母（分子）有理化，指、對(duì)數(shù)恒等變形。
【典例1】（22-23高三·全國·對(duì)口高考）（1）比較與的大??；
（2）已知，比較與大小
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>所以①當(dāng)時(shí)，，所以，
②當(dāng)時(shí)，，即，所以，
③當(dāng)時(shí)，，即，所以，
綜上所述：當(dāng)，.
（2），
因?yàn)椋?，所以?br>由，
所以，所以，即，
故.
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知均為正實(shí)數(shù)，且．
(1)比較與的大?。?br>(2)比較和的大?。?br>【答案】(1)；(2)答案見解析
【解析】（1），
均為正實(shí)數(shù)，，
；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．
①當(dāng)時(shí)，，則，
若，則；
若，則；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，，則，
若，則；
若，則．
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)或時(shí)，.
二、利用不等式的性質(zhì)求數(shù)（式）的范圍
已知，，求的取值范圍
第一步：設(shè)；
第二步：經(jīng)過恒等變形，求得待定系數(shù)；
第三步：再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得的取值范圍。
【典例1】（23-24高三上·河南洛陽·月考）（多選）已知，，則下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由，可得，又，所以，故A正確；
由，可得，又，所以，故B正確；
由，可得，又，
所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；
由，，得，，
所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB
【典例2】（23-24高一上·山西太原·月考）已知，，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意，，故，即.故選：D
三、解一元二次不等式的步驟
第一步：先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；
第二步：寫出相應(yīng)的方程，計(jì)算判別式：
①時(shí)，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；
②時(shí)，求根；
③時(shí)，方程無解
第三步：根據(jù)不等式，寫出解集.
【典例1】（23-24高三下·河北滄州·月考）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，所以，故選：B
【典例2】（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解為，那么的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】一元二次不等式的解為，
所以的解為，且，
由韋達(dá)定理得，
代入得，故選：D.
四、一元二次不等式恒成立問題
恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略：
（1）弄清楚自變量、參數(shù)。一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)；
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數(shù)求最值或分類討論。
【典例1】（23-24高三下·上海浦東新·月考）若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，不等式為，顯然不符合題意；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，
所以有，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【典例2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】.
【解析】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
令，則在單調(diào)遞增，
所以，所以.
五、基本不等式的實(shí)際應(yīng)用
解實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)注意點(diǎn)：
1、設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
2、根據(jù)實(shí)際問題抽象很出有關(guān)式關(guān)系式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值；
3、在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域（使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍）內(nèi)求解。
【典例1】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（ ）
A．10000B．10480C．10816D．10818
【答案】C
【解析】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以平整這塊場地所需的最少費(fèi)用為元.故選：C
【典例2】（2024·黑龍江·二模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角滿足，如圖，
設(shè)，由題設(shè)可得圓的直徑為，
故，因，為三角形內(nèi)角，故，
故，
故，
故，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
同理，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，
故四邊形周長的最大值為，故選：A.
六、利用不等的性質(zhì)及基本不等式證明不等式
1、無附加條件的不等式證明：證明時(shí)要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，合理地構(gòu)造并正確選用基本不等式或其變形形式，這也是證明輪換對(duì)稱結(jié)構(gòu)的不等式（把b換a，a換c，c換b后，代數(shù)式不變的式子叫做輪換對(duì)稱性，其特征是a，b，c的地位一樣）的常用思路。
2、有附加條件的不等式的證明：應(yīng)先觀察已知條件和所證不得呢公式之間的聯(lián)系，當(dāng)已知條件中含有“1”時(shí)，要注意“1”的代換。另外，解題時(shí)要時(shí)刻注意等號(hào)能否取到。
【典例1】（23-24高三下·陜西西安·月考）設(shè)為正數(shù)，且. 證明：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）由已知有，從而，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
（2）方法一：由已知條件，結(jié)合基本不等式即可得到
.
方法二：等價(jià)于，
根據(jù)題設(shè)有，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
【典例2】（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析
【解析】（1）證明：因?yàn)檎龜?shù)滿足，
由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，
即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
（2）證明：由
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號(hào)成立.
所以.

易錯(cuò)點(diǎn)1 忽視不等式性質(zhì)成立的條件
點(diǎn)撥：在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件．
【典例1】（2024·北京豐臺(tái)·二模）若，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，取，，，
無法得到，，故AB錯(cuò)誤，
取,則，無法得到，C錯(cuò)誤，
由于，則，所以，故選：D
【典例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，所以，所以錯(cuò)誤；
令，此時(shí)與無意義，所以錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以正確；
令，則，所以錯(cuò)誤.故選：.
易錯(cuò)點(diǎn)2 忽視基本不等式應(yīng)用的條件
點(diǎn)撥：（1）利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù))，特別要注意等號(hào)成立的條件．
（2）對(duì)形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，bx同號(hào)．
【典例1】（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，
這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而題中，
因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；
中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立．
故選：D．
【典例2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列不等式證明過程正確的是（ ）
A．若，則
B．若x＞0，y＞0，則
C．若x＜0，則
D．若x＜0，則
【答案】D
【解析】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；
∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；
∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；
∵，，，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．故選：D．
易錯(cuò)點(diǎn)3 連續(xù)使用均值不等式忽略等號(hào)能否同時(shí)成立
點(diǎn)撥：連續(xù)使用均值不等式求最值或范圍,要注意判斷每個(gè)等號(hào)成立的條件，檢驗(yàn)等號(hào)能否同時(shí)成立.
【典例1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為 ．
【答案】64
【解析】法一：因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為64．
法二：因?yàn)?，，?br>所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
所以的最小值為64．
【典例2】（23-24高三下·浙江寧波·月考）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】任意的正實(shí)數(shù)，，，滿足，
所以，
由于，為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
綜上，的最小值為16．
易錯(cuò)點(diǎn)4 解分?jǐn)?shù)不等式忽略分母不為零
點(diǎn)撥：解含有分?jǐn)?shù)的不等式,在去分母時(shí)要注意分母不為零的限制條件,防止出現(xiàn)增解,如
【典例1】（2024·山西朔州·一模）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,故，故選：C.
【典例2】（23-24高三上·山東聊城·期中）設(shè)集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式，則等價(jià)于，解得，
所以，由，則.故選：D.性質(zhì)
文字表述
性質(zhì)內(nèi)容
注意
1
對(duì)稱性
可逆
2
傳遞性
同向
3
可加、減性
可逆
4
可乘性
同向
5
可除性
同向
性質(zhì)
別名
性質(zhì)內(nèi)容
注意
1
對(duì)稱性
a>b?bb，b>c?a>c
同向
3
可加性
a>b?a＋c>b＋c
可逆
4
可乘性
a>b，c>0?ac>bc
a>b，cd?a＋c>b＋d
同向
6
正數(shù)同向可乘性
a>b>0，c>d>0?ac>bd
同向
7
正數(shù)乘方性
a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)
同正
判別式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的圖象
方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有兩相異實(shí)根x1，x2(x10
(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x

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