一、選擇題
1．( )
A.B.C.D.
2．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)的使用對數(shù)學(xué)的發(fā)展影響深遠(yuǎn),“=”作為等號(hào)使用首次出現(xiàn)在《礪智石》一書中,表達(dá)等式關(guān)系,英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”,便于不等式的表示,則命題,,的否定為( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
3．已知下列表格表示的是函數(shù),則的值為( )
A.B.C.0D.1
4．《紅樓夢》,《西游記》,《水滸傳》,《三國演義》為我國四大名著,其中羅貫中所著《三國演義》中經(jīng)典的戰(zhàn)役赤壁之戰(zhàn)是中國歷史上以弱勝強(qiáng)的著名戰(zhàn)役之一,東漢建安十三年(公元208年),曹操率二十萬眾順江而下,周瑜,程普各自督領(lǐng)一萬五千精兵,與劉備軍一起逆江而上,相遇赤壁,最后用火攻大敗曹軍.第49回“欲破曹公,宜用火攻;萬事俱備,只欠東風(fēng)”,你認(rèn)為“東風(fēng)”是“赤壁之戰(zhàn)東吳打敗曹操”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
5．某校高一6班有學(xué)生50人,為迎接國慶節(jié)的到來,班級(jí)組織了兩個(gè)活動(dòng),其中活動(dòng)參與的人數(shù)有30人,B活動(dòng)參與的人數(shù)有25人,由于個(gè)人原因有5人兩個(gè)活動(dòng)都沒有參與,則該班僅參與一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)為( )
A.40B.35C.30D.25
6．函數(shù),若,則,,的大小關(guān)系是( ).
A.B.
C.D.
7．如圖直角坐標(biāo)系中,角,角的終邊分別交單位圓于A,B兩點(diǎn),若B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,且滿足,則的值為( )
A.B.C.D.
8．某企業(yè)從2011年開始實(shí)施新政策后,年產(chǎn)值逐年增加,下表給出了該企業(yè)2011年至2021年的年產(chǎn)值(萬元).為了描述該企業(yè)年產(chǎn)值(萬元)與新政策實(shí)施年數(shù)(年)的關(guān)系,現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型:,（,且）,（,且）,選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型,預(yù)測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為( )(附:)
A.924萬元B.976萬元C.1109萬元D.1231萬元
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù),則( )
A.的最大值為2
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．德國數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)立者,為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了重要貢獻(xiàn).某數(shù)學(xué)小組類比拓?fù)鋵W(xué)中的康托爾三等分集,定義了區(qū)間上的函數(shù),且滿足:①任意,;
②;
③,則( )
A.在上單調(diào)遞增B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.當(dāng)時(shí),D.當(dāng)時(shí),
11．設(shè),當(dāng)時(shí),規(guī)定,如,.則下列選項(xiàng)正確的是( )
A.
B.
C.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)镸,則M的子集個(gè)數(shù)為
D.
三、填空題
12．已知,,則________.
13．為豐富學(xué)生課余生活,拓寬學(xué)生視野,某校積極開展社團(tuán)活動(dòng),高一(1)班參加社團(tuán)的學(xué)生有21人,參加B社團(tuán)的學(xué)生有18人,兩個(gè)社團(tuán)都參加的有7人,另外還有3個(gè)人既不參加A社團(tuán)也不參加B社團(tuán),那么高一(1)班總共有學(xué)生人數(shù)為________.
14．已知不是常數(shù)函數(shù),且滿足:.
①請寫出函數(shù)的一個(gè)解析式________;
②將你寫出的解析式得到新的函數(shù),若,則實(shí)數(shù)a的值為________.
四、解答題
15．已知關(guān)于x的不等式的解集為.
（1）求實(shí)數(shù)m,n的值;
（2）若正實(shí)數(shù)a,b滿足,求的最小值.
16．已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性,并加以證明.
17．已知函數(shù).請從條件①,條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,解答下面的問題.
條件①:;
條件②:.
（1）求實(shí)數(shù)k的值;
（2）設(shè)函數(shù),判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并給出證明;
（3）設(shè)函數(shù),指出函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
18．設(shè)函數(shù),,.
（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間;
（2）若,,使成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
（3）求證:函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),并求(表示不超過x的最大整數(shù),如,).
參考數(shù)據(jù):,.
19．有如下條件:
①對,,2,,均有;
②對,,2,,均有;
③對,,2,3,;若,則均有;
④對,,2,3,;若,則均有.
（1）設(shè)函數(shù),,請寫出該函數(shù)滿足的所有條件序號(hào),并充分說明理由;
（2）設(shè),比較函數(shù),,值的大小,并說明理由;
（3）設(shè)函數(shù),滿足條件②,求證:t的最大值.
參考答案
1．答案：B
解析：.
故選:B.
2．答案：D
解析：因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題,
所以命題,,的否定為,,.
故選:D.
3．答案：B
解析：依題意,,,所以.
故選:B
4．答案：B
解析：易知:“東風(fēng)”是“打敗曹操”的必要不充分條件.
故選:B
5．答案：B
解析：依題意參加A,B兩項(xiàng)活動(dòng)的有人,
則僅參與一個(gè)活動(dòng)的人數(shù)為人.
故選:B
6．答案：A
解析：因?yàn)?所以,所以,
所以,又,
所以.
故選:A
7．答案：C
解析：由B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,即,則,故,
,即,
又,則有,故,
.
故選:C.
8．答案：C
解析：由表中數(shù)據(jù)可知該企業(yè)年產(chǎn)值y(萬元)隨著新政策實(shí)施年數(shù)x(年)的增加而增加,
結(jié)合2012年比2011年增加31萬元,2021年比2020年增加82萬元,
可知越往后的年份比上一年增加的產(chǎn)值越多,即y的增長速度越來越快,
結(jié)合三種函數(shù)模型:,(,且),（,且）,
可知(,且)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型;
則,故,
故預(yù)測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為,則(萬元),
即預(yù)測該企業(yè)2024年的年產(chǎn)值約為1109萬元,
故選:C
9．答案：AB
解析：函數(shù),
對于選項(xiàng)A,,A正確;
對于選項(xiàng)B和C,將代入函數(shù)的解析式,得,函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,B正確,C錯(cuò)誤;
對于選項(xiàng)D,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,D不正確;
故選:AB.
10．答案：BCD
解析：由②得,即,
得,而,得,
,故A錯(cuò)誤;
由③可知,,即,
則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,故B正確;
由②得,則,
由③得,即,
由,得,故C正確;
由,得,則,
任意,,
當(dāng)時(shí),,即,
,即,則,故D正確.
故選:BCD.
11．答案：BD
解析：對于A中,例如,則,,
可得,所以A錯(cuò)誤;
對于B中,由,,
所以,所以,所以B正確;
對于C中,因?yàn)?可得,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
若,則且,
所以且,即且,
所以,不符合題意,即,
同理,
若,則與其中一個(gè)為,另一個(gè)為,或其中一個(gè)為,另一個(gè)為,
不妨令,則,
此時(shí),,
則,,所以,,
又,顯然不符合題意;
再令,則,
此時(shí),,
則,,所以,,
又,不妨令,,此時(shí)滿足;
即函數(shù)的值域?yàn)?
所以集合M的子集個(gè)數(shù)為,所以C錯(cuò)誤;
對于D中,設(shè),
若,可得,所以,,
則,
所以的周期為,
又當(dāng)時(shí),可得,此時(shí);
,此時(shí);
,此時(shí);
,此時(shí),
所以,結(jié)合周期為,即恒為0,
即,
所以,所以D正確.
故選:BD.
12．答案：3
解析：因?yàn)?,所以,
故.
故答案為:3
13．答案：35
解析：由題意,
高一(1)班參加社團(tuán)的學(xué)生有21人,參加B社團(tuán)的學(xué)生有18人,兩個(gè)社團(tuán)都參加的有7人,
只參加A社團(tuán)的學(xué)生有(人),
只參加B社團(tuán)的學(xué)生有(人),
另外還有3個(gè)人既不參加A社團(tuán)也不參加B社團(tuán),
高一(1)班總共有學(xué)生人數(shù)為:(人)
故答案為:35.
14．答案：(答案不唯一,形如,是周期為的奇函數(shù)均可),0或2
解析：由,可知函數(shù)為奇函數(shù),
由,即,
可知,函數(shù)是周期函數(shù),周期為,
函數(shù)的一個(gè)解析式為;
設(shè),定義域?yàn)镽,
且,
所以函數(shù)也是奇函數(shù),
則,
則,由題意可知,,
解得:或.
故答案為:(答案不唯一,形如,是周期為的奇函數(shù)均可);0或2
15．答案：（1）,
（2）
解析：（1）因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集為,
所以是方程的兩根,
由韋達(dá)定理得,解得;
（2）由（1）得,
則,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
所以取得最小值.
16．答案：（1）為奇函數(shù),理由見解析
（2）當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,理由見解析
解析：（1）為奇函數(shù),理由如下:
的定義域?yàn)镽,
又,
故為奇函數(shù);
（2）當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,
,且,
則
,
因?yàn)?,且,所以,,
當(dāng)時(shí),,即,
故單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,即,
故單調(diào)遞增,
17．答案：（1）答案見解析
（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減,證明見解析
（3）在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),理由見解析
解析：（1）令,解得,所以函數(shù)的定義域?yàn)?
若選①:因?yàn)?即為奇函數(shù),
則,
整理得,
注意到對任意上式均成立,可得,解得;
若選②:因?yàn)?即為偶函數(shù),
則,
整理得,
注意到對任意上式均成立,可得,解得.
（2）若選①:則,可得,
可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,證明如下:
對任意,且,
則,
因?yàn)?則,
可得,即,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
若選②:則,可得,
可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,證明如下:
對任意,且,
則,
因?yàn)?則,
可得,即,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（3）若選①:則,則,
由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
可知在內(nèi)單調(diào)遞減,
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù),則在內(nèi)單調(diào)遞減,
且在內(nèi)單調(diào)遞減,可知在內(nèi)單調(diào)遞減,
結(jié)合,,
可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
若選②:則,則,
由（2）可知在內(nèi)單調(diào)遞減,且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
可知在內(nèi)單調(diào)遞減,
又因?yàn)闉榕己瘮?shù),則在內(nèi)單調(diào)遞增,
且在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,
結(jié)合,,
可知在內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
18．答案：（1）單調(diào)增區(qū)間是和;單調(diào)減區(qū)間是和
（2）
（3）證明見解析,
解析：（1）令,,解得,,
又,得的單調(diào)增區(qū)間是和;
令,,解得,,
又,得的單調(diào)減區(qū)間是和.
函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是和;
（2）若,,使成立,
則,,的值域應(yīng)為的值域的子集.
由（1）知,在單調(diào)遞減,
的值域?yàn)?
,當(dāng)時(shí),令,
則,開口方向向上,對稱軸是,,
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,不符合題意;
當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
,即,解得,
所以;
（3）由（1）知在上是減函數(shù),易知在上是增函數(shù),
所以在上是減函數(shù),,
又,,
根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有唯一零點(diǎn),
當(dāng)時(shí),,,
所以,
即在上無零點(diǎn),
綜上,在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
,
,
,
.
19．答案：（1）選①④,理由見解析
（2）,理由見解析
（3）證明見解析
解析：（1）選①④理由:
由在上單調(diào)遞增,故①滿足,②不滿足;
由,且,則,,,
故,,,且,
顯然,故③錯(cuò);
由于,則,
當(dāng),則,故,
此時(shí)與的距離比與的距離小,且,在兩側(cè),
故;
當(dāng),則,則:;
綜上,,故④對.
所以,滿足①④.;
（2）由,則,
而時(shí),在上單調(diào)遞減,在上遞增,
所以,
故.
（3）由題意知,已知函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)遞減,
在恒成立,
當(dāng)時(shí),的增長率比大,故隨著x增大,變小;
當(dāng)時(shí),遞增,遞減,故隨x增大,變小;
綜上,在上且遞減,而在上,,
顯然,使在上遞減,
所以在上遞減,則最大值,得證.
x
0
1
2
3
y
0
2
1
4
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年產(chǎn)值
278
309
344
383
427
475
528
588
655
729
811

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