青竹湖湘一外國語學校2023-2024學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題（原卷及解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

姓名：______ 分數(shù)：______
一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）
1. 的倒數(shù)是（）
A. B. C. 8D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用倒數(shù)的定義，直接得出即可．
【詳解】的倒數(shù)是，
故選：D．
【點睛】本題考查了倒數(shù)．掌握倒數(shù)的定義，明確分子分母交換位置是求一個數(shù)的倒數(shù)是解題的關鍵．
2. 下列運算正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)冪的運算法則、同類項合并法則、整式乘法運算法則進行計算即可．
【詳解】解：A、；原計算錯誤，本選項不合題意；
B、；原計算錯誤，本選項不合題意；
C、不能進一步化簡；原計算錯誤，本選項不合題意；
D、，符合運算法則；計算正確，本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題考查冪的運算法則、合并同類項，整式的運算，二次根式的運算；理解運算法則是解題的關鍵．
3. 大家翹首以盼的長株潭城際鐵路將于2016年年底通車，通車后，從長沙到株洲只需24分鐘，從長沙到湘潭只需25分鐘，這條鐵路全長99500米，則數(shù)據(jù)99500用科學記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科學記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值小于1時，n是負數(shù)．
【詳解】解：99500用科學記數(shù)法表示為．
故選：C．
【點睛】本題考查用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)，一般形式為，其中，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來確定．用科學記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．
4. 下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A
【點睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．
5. 已知點P（2a?1，1?a）在第一象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)點的坐標，可得一元一次不等式組，根據(jù)解一元一次不等式，可得不等式組的解集，可得答案．
【詳解】∵點P（2a?1，1?a）在第一象限，
∴，
解得，
∴，
故選C
【點睛】本題考查了點的坐標及在數(shù)軸上表示不等式組的解集：把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來（＞，≥向右畫；＜，≤向左畫），數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示.
6. 一次函數(shù)y=-5x+3的圖象經(jīng)過的象限是（）
A. 一、二、三B. 二、三、四C. 一、二、四D. 一、三、四
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一次函數(shù)與系數(shù)的關系進行判斷．
【詳解】解：∵k=-5＜0，
∴一次函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，
∵b=3＞0，
∴一次函數(shù)與y軸交于正半軸，
∴一次函數(shù)y=-5x+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)與系數(shù)的關系：y=kx+b與y軸交于（0，b），當b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b＜0時，（0，b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸．k＞0，b＞0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k＞0，b＜0?y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k＜0，b＞0?y=kx+b的圖象在一、二、四象限；k＜0，b＜0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限．
7 如圖，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】∵AB∥DE，∠E=65°，
∴∠BFE=∠E=65°．
∵∠BFE是△CBF的一個外角，
∴∠B+∠C=∠BFE=∠E=65°．
故選D．
8. 如圖，菱形ABCD對角線AC，BD的長分別為6 cm，8 cm，則這個菱形的周長為（）
A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的性質和勾股定理求解即可．
【詳解】解：∵菱形的對角線AC與BD相交于點O，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=6cm，BD=8cm，
∴在Rt△AOB中，AO=3cm，BO=4cm，∠AOB=90°，
由勾股定理得：AB==5cm，
∴菱形的周長為4×5=20cm，
故選：D．
【點睛】本題考查菱形的性質、勾股定理，熟練掌握菱形的對角線互相垂直且平分是解答的關鍵．
9. 如圖，在⊙O中，，∠AOB=50°，則∠ADC的度數(shù)是（）
A. 50°B. 40°C. 30°D. 25°
【答案】D
【解析】
【詳解】解：∵在⊙O中，，
∴∠AOC=∠AOB，
∵∠AOB=50°，
∴∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故選D．
【點睛】本題考查圓周角定理及垂徑定理，難度不大．
10. 如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】先判斷出AD是BC的垂直平分線，進而求出∠ECB=45°，即可得出結論．
【詳解】解：∵等邊三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，
即：AD是BC的垂直平分線，
∵點EAD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故選A．
【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質，垂直平分線的判定和性質，等腰三角形的性質，求出∠ECB是解本題的關鍵．
二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）
11. 分解因式：3a2+6a+3=_____．
【答案】3（a+1）2
【解析】
分析】首先提取公因式，然后應用完全平方公式繼續(xù)分解.
【詳解】3a2＋6a＋3＝．
故答案為．
考點：分解因式．
12. 如圖，、是的切線，切點分別為、．若，，則的長為___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)切線的性質得到，，根據(jù)等邊三角形的性質解答即可．
【詳解】解：∵、是的切線，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查切線的性質，切線長定理，等邊三角形的判定和性質．掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．
13. 超速行駛是交通事故頻發(fā)的主要原因之一．交警部門統(tǒng)計某日經(jīng)過高速公路某測速點的汽車的速度，得到頻數(shù)分布折線圖，若該路段汽車限速為，則超速行駛的汽車有_______輛．
某日經(jīng)過某高速公路測速點的汽車速度的頻數(shù)分布折線圖：

【答案】80
【解析】
【分析】根據(jù)圖中的信息，找到符合條件的數(shù)據(jù)，再進一步計算．
【詳解】解：超過限速的有（輛）．
故答案為：80．
【點睛】本題考查的是頻數(shù)分布折線統(tǒng)計圖，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
14. 如圖，為的直徑，弦于點，已知，，則的半徑為______.

【答案】5
【解析】
【分析】連接，根據(jù)垂徑定理，得，解，得．
【詳解】解：連接，
在中，,，
∴,即.
解得，．
故答案為：5
【點睛】本題考查垂徑定理，勾股定理；添加輔助線，構建直角三角形是解題的關鍵．
15. 如圖，△ABC中，∠C=30°．將△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△ADE，AE與BC交于F，則∠AFB=____°．
【答案】90
【解析】
【分析】利用旋轉的性質可得∠CAF=60°，再利用三角形的外角性質即可求解．
【詳解】根據(jù)旋轉的性質可知∠CAF=60°，
根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角之和的性質，得：
∠AFB=∠C+∠CAF
=30°+60°
=90°．
故答案為：90．
【點睛】本題考查了旋轉的性質和三角形外角的性質，抓住對應點與旋轉中心形成的角是旋轉角是解題的關鍵．
16. A，，，，五名同學猜測自己的數(shù)學成績. A說：“如果我得優(yōu)，那么也得優(yōu).”說：“如果我得優(yōu)，那么也得優(yōu).”說：“如果我得優(yōu)，那么也得優(yōu).”說：“如果我得優(yōu)，那么也得優(yōu).”大家都沒說錯，但只有三個人得優(yōu)，請問得優(yōu)的三個人是______（填字母）.
【答案】
【解析】
【分析】本題考查邏輯推理，根據(jù)題意結合反證法的思想作相應推理得出結論．
【詳解】解：由題意，若A得優(yōu)，則A，，，，均為優(yōu)，不合題意，則A非優(yōu)；若B得優(yōu)，則，，，均為優(yōu)，不合題意，故B非優(yōu)；因只有三個得優(yōu)，故得優(yōu)．
故答案為：
【點睛】本題考查邏輯推理,根據(jù)題意由條件，得出相應結論，運用反證法的思想是解題問題的關鍵．
三.解答題（本大題共9個小題，共72分）
17. 計算：
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪運算法則，0指數(shù)冪運算法則，絕對值的性質，二次根式的性質以及實數(shù)的運算法則處理；
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查冪的運算，絕對值的性質，二次根式的性質，實數(shù)的運算；理解相關性質是運算的關鍵．
18. 先化簡，再求值：，其中a=2．
【答案】，4．
【解析】
【分析】先進行分式的除法運算，再進行分式的加減法運算，化簡后把數(shù)值代入進行計算即可得.
【詳解】原式= = =，
當a=2時，原式===4．
19. 如圖，過點的直線與直線交于．

（1）求直線對應的表達式；
（2）求四邊形的面積．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得點B，C的坐標，根據(jù)即可求解．
【小問1詳解】
解：把代入得，則點坐標為；
把，代入得：，
解得，
所以直線的表達式為：；
【小問2詳解】
交軸于，交軸于，
，，
四邊形的面積．
【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與坐標軸交點問題，三角形面積問題，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
20. 為了了解九年級學生參加體育活動的情況，學校對學生進行隨機抽樣調查，其中一個問題是“你平均每天參加體育活動的時間是多少？”，共有4個選項：
A、1.5小時以上（含1.5小時）
、小時（含1小時，不含1.5小時）
、小時（含0.5小時，不含1小時）
、0.5小時以下（不含0.5小時）
如圖是根據(jù)調查結果繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖：

請根據(jù)以上條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）學校共調查了______名學生；
（2）扇形統(tǒng)計圖中選項所占的百分比為______.
（3）請補全條形統(tǒng)計圖；
（4）若該校九年級共有400名學生，請估計該校九年級平均每天參加體育活動時間在1小時以上（含1小時）的學生約有______名.
【答案】（1）80 （2）
（3）見解析（4）260
【解析】
【分析】（1）根據(jù)A項的人數(shù)及占比求解；
（2）根據(jù)扇形圖求解；
（3）由樣本數(shù)量及C項占比求C項人數(shù)，畫統(tǒng)計圖；
（4）用樣本估計總體，即可求解．
【小問1詳解】
解：（名）；
【小問2詳解】
解：選項所占的百分比為；
【小問3詳解】
解：C組人數(shù)為（名）；統(tǒng)計圖如下，
【小問4詳解】
解：（名）；
∴九年級平均每天參加體育活動時間在1小時以上（含1小時）的學生約有260名.
【點睛】本題考查數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖，樣本估計總體；理解統(tǒng)計圖之間的信息聯(lián)系是解題的關鍵．
21. 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上一點，過點C作CF∥AB交ED的延長線于點F，
（1）求證：△BDE≌△CDF；
（2）當AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時，求AC的長．
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC邊上的中線，得到BD＝CD，于是得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到BE＝CF＝2，求得AB＝AE＋BE＝1＋2＝3，于是得到結論．
【詳解】解：（1）∵，
∴．
∵是邊上的中線，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
22. 為了更好地保護美麗如畫的邛海濕地，西昌市污水處理廠決定先購買A，B兩種型號的污水處理設備共20臺，對邛海濕地周邊污水進行處理．每臺A型污水處理設備12萬元，每臺B型污水處理設備10萬元．已知1臺A型污水處理設備和2臺B型污水處理設備每周可以處理污水640t，2臺A型污水處理設備和3臺B型污水處理設備每周可以處理污水1080t．
(1)求A，B兩種型號的污水處理設備每周每臺分別可以處理污水多少噸．
(2)經(jīng)預算，市污水處理廠購買設備的資金不超過230萬元，每周處理污水的量不低于4500t，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少，最少是多少．
【答案】(1) A型污水處理設備每周每臺可以處理污水240t，B型污水處理設備每周每臺可以處理污水200t(2)購買A型污水處理設備13臺，購買B型污水處理設備7臺時，所需資金最少，最少是226萬元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)1臺A型污水處理設備+2臺B型污水處理設備=每周可以處理污水640t，2臺A型污水處理設備+3臺B型污水處理設備=每周可以處理污水1080t，關系式列出二元一次方程組，從而解答即可；
（2）根據(jù)題意可以列出相應的不等式組求出購買A型污水處理設備臺數(shù)取值范圍，從而可以得到購買方案，算出每種方案購買資金即可得解．
【詳解】解：（1）設A型污水處理設備每周每臺可以處理污水x噸，B型污水處理設備每周每臺可以處理污水y噸，
由題意得，解得，
即A型污水處理設備每周每臺可以處理污水240t，B型污水處理設備每周每臺可以處理污水200t；
（2）設購買A型污水處理設備x臺，則購買B型污水處理設備（20﹣x）臺，
則，解得，12.5≤x≤15．
第一種方案：當x=13時，20－x=7，花費的費用為：13×12+7×10=226萬元；
第二種方案：當x=14時，20－x=6，花費的費用為：14×12+6×10=228萬元；
第三種方案；當x=15時，20－x=5，花費的費用為：15×12+5×10=230萬元；
即購買A型污水處理設備13臺，購買B型污水處理設備7臺時，所需購買資金最少，最少是226萬元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的綜合，能根據(jù)題意列出二元一次方程組和不等式組是解決本題的關鍵．
23. 如圖，在?ABCD中，AC⊥BC，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，連接AE交CD于點F．
（1）求證：四邊形ADEC是矩形；
（2）在?ABCD中，取AB的中點M，連接CM，若CM=5，且AC=8，求四邊形ADEC的面積．
【答案】(1)見解析；（2）48.
【解析】
【詳解】試題分析：(1)先根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形ACED是平行邊形，再證明∠DAC＝90即可；(2)在Rt△ABC中求得AB、BC的長度，再由平行四邊形的性質可得DE＝AC、AD＝BC求得DE、AD的長度，再計算機四邊形ADEC的面積.
試題解析：
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
又∵DE∥AC，
∴四邊形ADEC是平行四邊形．
又∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90o．
∴四邊形ADEC是矩形．
（2） ∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90o．
∵M是AB的中點，
∴AB=2CM=10．
∵AC=8，
∴．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC=AD．
又∵四邊形ADEC是矩形，
∴EC=AD．
∴EC= BC=6．
∴矩形ADEC的面積=．
【點睛】本題主要考查矩形的判定和性質，掌握矩形的對角線相等及勾股定理的應用是解題的關鍵．
24. 如圖，四邊形是的內接四邊形，，，點是的中點，且.

（1）求證：直線是的切線；
（2）若，，求的長；
（3）在（2）的條件下，若，求的內心與外心之間的距離.
【答案】（1）見解析（2）9
（3）
【解析】
【分析】（1）連接并延長交于點H，證明解題即可；
（2）過作垂線交延長線于，連接，推導,得到，然后證明解題即可；
（3）根據(jù)可知，設內心為,連接,,過作于.于.連接.則，利用解直角三角形解題即可.
【小問1詳解】
解：連接并延長交于點H，

∵點是的中點，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴直線是的切線；
【小問2詳解】
過作垂線交延長線于，連接，

∵是的中線，
∴，
∴，
∵和是所對圓周角
∴
∵
∴
∴,
∴
又∵
∴.
∴
又，
∴
∴，
【小問3詳解】
∵，

∴在中,,
∴
∴為直徑所對圓周角,為直徑，
由得,
∴
在中,.
∴，,
設內心為,連接,,過作于.于.連接.則
則：平分,平分,且，
∴，
設.則，
，
，
，解得，
:
∴，，
∵
∴，
則，
∴，
即.
【點睛】本題考查解直角三角形，切線的判定，全等三角形，熟練掌握作輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.
25. 定義：關于軸對稱的兩條拋物線叫做“同軸對稱拋物線”.
例如：的“同軸對稱拋物線”為.
（1）求拋物線的“同軸對稱拋物線”.
（2）如圖，在平面直角坐標系中，點是拋物線上一點，點的橫坐標為1，過點作軸的垂線，交拋物線的“同軸對稱拋物線”于點，分別作點、關于拋物線對稱軸對稱的點、，連接、、、.
①當四邊形為正方形時，求的值.
②在①的條件下，拋物線的“同軸對稱拋物線”的圖像與一次函數(shù)相交于點和點（其中在的左邊），將拋物線的“同軸對稱拋物線”的圖像向上平移得到新的拋物線與一次函數(shù)相交于點和點（其中在的左邊），滿足，在拋物線上有且僅有三個點、、，使得、、的面積均為定值，求、、的坐標.

【答案】（1）
（2）① ②，
【解析】
【分析】（1）先由，根據(jù)“同軸對稱拋物線”的定義計算即可.
（2）①根據(jù)拋物線，得到對稱軸為，點，，，，計算，根據(jù)正方形的性質，得到，計算即可.
②先解方程組得到，求得，根據(jù)得到，
設向上平移了t個單位長度，得到新拋物線為，設，則是方程的兩個根，利用根與系數(shù)關系定理，結合確定t，繼而確定平移后的拋物線解析式，設直線與新拋物線相切，確定切點坐標，得到面積的定值，利用對稱的思想，確定面積定值的另外兩個點，計算坐標即可.
【小問1詳解】
∵，
∴拋物線的“同軸對稱拋物線”是.
【小問2詳解】
①∵點是拋物線上一點，點的橫坐標為1，
∴拋物線的對稱軸為，點，，，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，
∴，
解得.
②根據(jù)題意，得，
解得，
∴，
∵，
∴，
設向上平移了t個單位長度，
∴新拋物線為，
設，
則是方程的兩個根，
∴是方程兩個根，
∴
∴，，
∴，
解得，
∴新拋物線為，
設直線與新拋物線相切，切點為，
∴有兩個相等的實數(shù)根，
∴的判別式為0，
∴，
解得，
∴，直線解析式為，
解得，
∴，
故，
設直線與x軸的交點為K，與y軸的交點為E，

故，
∴，
∴，
∵，
∴，
過點M作于點A，
則
延長到點D，使得，
過點D作，交y軸于點F，交拋物線于，
則，，、、的面積均為定值，
∴，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
根據(jù)題意，得，
整理得，，
解得，
∴，
故，
綜上所述，，．
【點睛】本題考查了拋物線的新定義，拋物線的平移，拋物線與一元二次方程的根的判別式，正方形的性質，直線的解析式，解方程，熟練掌握新定義，拋物線的平移，拋物線與一元二次方程的根的判別式，解方程組是解題的關鍵．

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