注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．21B．19C．12D．42
2．命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分又不必要條件
3．如圖所示，六氟化硫分子結(jié)構(gòu)是六個(gè)氟原子處于頂點(diǎn)位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個(gè)頂點(diǎn)看作正方體各個(gè)面的中心點(diǎn)．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
4．將這個(gè)數(shù)據(jù)作為總體，從這個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，則該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率為（ ）
A．B．C．D．
5．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．已知正實(shí)數(shù)滿足，則（ ）
A．的最小值為B． 的最小值為8
C．的最小值為D．沒(méi)有最大值
8．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且滿足，函數(shù)的對(duì)稱中心為，則（ ）（注：）
A．B．
C．D．
二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）
9．已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)P有2個(gè)
B．的周長(zhǎng)一定小于
C．的面積可以大于
D．若恒成立，則C的離心率的取值范圍是
10．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，D．的最小值為
11．函數(shù)，關(guān)于x的方程，則下列正確的是（ ）
A．函數(shù)的值域?yàn)镽
B．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為
C．當(dāng)時(shí)，則方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
D．若方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是
三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）
12．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義，設(shè)函，則函數(shù)的最小值是 ．
13．甲?乙玩一個(gè)游戲，游戲規(guī)則如下：一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為的6個(gè)大小質(zhì)地完全相同的小球，甲先從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，乙緊接著從盒子中不放回地隨機(jī)取一個(gè)球，比較小球上的數(shù)字，數(shù)字更大者得1分，數(shù)字更小者得0分，以此規(guī)律，直至小球全部取完，總分更多者獲勝.甲獲得3分的概率為 .
14．過(guò)雙曲線的上焦點(diǎn)，作其中一條漸近線的垂線，垂足為，直線與雙曲線的上?下兩支分別交于，若，則雙曲線的離心率 .
四．解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）
（14分）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
（14分）16．如圖，在四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD為梯形，，，，Q為AD的中點(diǎn)．

(1)在上是否存在點(diǎn)P，使直線平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置并給出證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若（1）中點(diǎn)P存在，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
（15分）17．函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足對(duì)于任意，有，當(dāng).
(1)證明：在上是增函數(shù)；
(2)證明：是偶函數(shù)；
(3)如果，解不等式.
（16分）18．2021屆高考體檢工作即將開(kāi)展，為了了解高三學(xué)生的視力情況，某校醫(yī)務(wù)室提前對(duì)本校的高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)，并得到如下圖的頻率分布直方圖.
（1）若直方圖中前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列，試估計(jì)全年級(jí)高三學(xué)生視力的中位數(shù)（精確到0.01）；
（2）該校醫(yī)務(wù)室發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績(jī)突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績(jī)是否有關(guān)系，對(duì)抽取的100名學(xué)生名次在名和名的學(xué)生的體檢數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系?
（3）在（2）中調(diào)查的不近視的學(xué)生中按照分層抽樣抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，求在這6人中任取2人，至少有1人的年級(jí)名次在名的概率.
，其中.
（18分）19．在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.
(1)求的方程;
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;
(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線年級(jí)名次
是否近視
近視
40
30
不近視
10
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
數(shù)學(xué)答案
1．A【詳解】是等差數(shù)列，，即，所以
故公差，，
2．A【詳解】要在上單調(diào)遞減，
則，解得，
在1,+∞為增函數(shù)，則，
解得，
因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故命題是命題的充分不必要條件.
3．B【詳解】如圖正八面體，連接和交于點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>所以，，又和為平面內(nèi)相交直線，
所以平面，所以為正八面體的中心，
設(shè)正八面體的外接球的半徑為，因?yàn)檎嗣骟w的表面積為8×34AB2=123，所以正八面體的棱長(zhǎng)為，
所以EB=EC=BC=6,OB=OC=3,EO=EB2?OB2=3，
則R=3,V=43πR3=43π×33=43π．
4．D【詳解】依題意可知，總體平均數(shù)為，
從這個(gè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)樣本，情況如下：
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
選到，則樣本平均數(shù)為，所以，
所以該樣本的平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率為.
5．D【詳解】由不等式的解集為，
可知1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
由韋達(dá)定理可得，即可得，
所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立；
即可得.
6．B【詳解】設(shè)以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，則到漸近線的距離，所以，
因?yàn)?，所以，可得?br>即，可得，
所以，所以，
又，所以雙曲線的離心率的取值范圍是.
7．A【詳解】對(duì)于A中，由正實(shí)數(shù)滿足，可得，且，
則，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以A正確；
對(duì)于B中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，所以B不正確；
對(duì)于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，由，
因?yàn)?，設(shè)，
可得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
則的最大值為，所以D不正確.
8．C【詳解】，故，
所以，
函數(shù)的對(duì)稱中心為，
函數(shù)往左平移1個(gè)單位得到函數(shù)，
故函數(shù)的對(duì)稱中心為，
，令得，，
故，即
且的對(duì)稱中心為，故
故即的對(duì)稱軸為.
對(duì)于A,在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，
且，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,在區(qū)間上單調(diào)遞減，對(duì)稱中心為，
故，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則，
，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
且，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故，故C正確；
對(duì)于D，，故，
且，即，
結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故D錯(cuò)誤.
9．ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，最大，此時(shí)，若，
則，所以，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：的周長(zhǎng)為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：的面積為，故C錯(cuò)誤；
故于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，可得?br>得，得，又，所以，故D正確．
10．BC【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，則，即，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，顯然，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br>令，則，令，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.
11．BD【詳解】①當(dāng)時(shí)，，
則在單調(diào)遞減，且漸近線為軸和，恒有.
②當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)，在0,1單調(diào)遞增；當(dāng)，在1,+∞單調(diào)遞減，
故，且恒有，綜上①②可知，，
綜上，作出函數(shù)大致圖象，如下圖：
對(duì)于A，由上可知函數(shù)的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，則方程，解得或，
由，得或，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
由圖象可知，由得此時(shí)有不相等的實(shí)數(shù)根，且均不為，也不為，
所以當(dāng)時(shí)，則方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程與方程共有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
又因?yàn)橐延袃蓚€(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則方程有且僅有1個(gè)根，且不為.
所以與有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，
由圖象可知，滿足題意，即m的取值范圍是，故D正確.
12．2
【詳解】由題意得x∈0,+∞，
因?yàn)楹瘮?shù)在x∈0,+∞上單調(diào)遞減，
函數(shù)在x∈0,+∞上單調(diào)遞增，
又，
所以點(diǎn)是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，，可得，
當(dāng)時(shí)，，可得，
可得?x的大致圖象，如下圖，
13．/
【詳解】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在三個(gè)盒子中各放入2個(gè)編號(hào)不同的小球，甲從每個(gè)盒子中各取一個(gè)小球，求甲取到每個(gè)盒子中編號(hào)較大小球的概率.
甲從三個(gè)盒子中各取一球，共有種取法，三個(gè)都是編號(hào)較大小球只有一種取法，
所以，甲獲得3分的概率為.
14．
【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，由題，雙曲線的一條漸近線方程為即，
過(guò)該漸近線作垂線，則由題，，
設(shè)，則由題，，，
所以，，
所以在中，①，
在中，②，
在中，③，
由①②得，化簡(jiǎn)解得，
由①③得，化簡(jiǎn)解得，
所以，
故雙曲線的離心率.
15．(1) (2)
【詳解】（1）由可知數(shù)列an是以公差的等差數(shù)列,
又得，
解得,
故，
即.
（2）因?yàn)?
所以
.
16．(1)存在，P是中點(diǎn)，證明見(jiàn)解析； (2)．
【詳解】（1）存在，證明如下：
在四棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以可在平面內(nèi)作，
由平面幾何知識(shí)可證，所以，可知P是中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫?，所以平面?br>即存在線段的中點(diǎn)，滿足題設(shè)條件．
滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，證明如下：
當(dāng)平面時(shí)，因?yàn)槠矫妫?br>所以過(guò)作平行于CQ的直線既在平面內(nèi)，也在平面內(nèi)，
而在平面內(nèi)過(guò)只能作一條直線，
故滿足條件的點(diǎn)P只有唯一一個(gè)．
所以，有且只有的中點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)P，使直線平面．
（2）過(guò)點(diǎn)D作，垂足為F，又因?yàn)槠矫鍭BCD，

所以DA，DF，兩兩互相垂直，
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DF，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
則A2,0,0，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
則有即
令，得，，所以．
設(shè)平面的法向量為．
則有即
令，得，，所以．
所以．
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
17．(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析 (3)
【詳解】（1）設(shè)，則，
由于，所以，所以，
所以，所以，
所以在上是增函數(shù)；
（2）因?qū)Χx域內(nèi)的任意，有，
令，則有，
又令，得，
再令，得，從而，
于是有，所以是偶函數(shù)．
（3）由于，所以，
于是不等式可化為，
由（2）可知函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式可化為，
又由（1）可知在上是增函數(shù)，所以可得，
解得，所以不等式的解集為．
18．（1）4.74；（2）能；（3）.
【詳解】（1）由圖可知，第三組和第六組的頻數(shù)為人
第五組的頻數(shù)為人
所以前四組的頻數(shù)和為人
而前四組的頻數(shù)依次成等比數(shù)列
故第一組的頻數(shù)為4人，第二組的頻數(shù)為8人，第四組的頻數(shù)為32人
所以中位數(shù)落在第四組，設(shè)為x，
因此有（或）
解得
所以中位數(shù)是4.74
（2）因?yàn)?br>所以
所以
因此在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系
（3）依題意按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了6人中年級(jí)名次在名和
名的分別有2人和4人
從6人中任意抽取2人的基本事件共15個(gè)
至少有1人來(lái)自于1~100名的基本事件有9個(gè)
所以至少有1人的年級(jí)名次在名的概率為.
19．(1) (2)12 (3)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）由題意知，顯然點(diǎn)在直線的上方，
因?yàn)橹本€為的等線，所以，
解得，所以的方程為
（2）設(shè)Px0,y0，切線，代入得:
故，
該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，
所以，即方程為
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，也成立
漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，
聯(lián)立得，故，
所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)榈竭^(guò)的直線距離相等，
則過(guò)點(diǎn)的等線必定滿足:到該等線距離相等，
且分居兩側(cè)，所以該等線必過(guò)點(diǎn)，即的方程為，
由，解得，故 .
所以，
所以，
所以，所以
（3）
設(shè)，由，所以，
故曲線的方程為
由（*）知切線為，也為，即，即
易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，
由（2）知，
所以
由得
因?yàn)椋?br>所以直線為的等線 .

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河南省許昌市魏都區(qū)許昌高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題：

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浙江省名校協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

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河南省許昌高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

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