1. 已知平行四邊形，點，分別是，的中點（如圖所示），設，，則等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量的線性運算，即可得到答案；
【詳解】連結，則為的中位線，
，

故選：A
2. 函數(shù)的定義域為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根號內大于等于，真數(shù)大于，計算即可得.
【詳解】由題意得，解得，
故其定義域為.
故選：C.
3. 若第四象限角，則點在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)的符號確定正確答案.
【詳解】由于是第四象限角，所以，
所以在第二象限.
故選：B
4. 將函數(shù)的圖象平移后所得的圖象對應的函數(shù)為，則進行的平移是（ ）
A. 向右平移個單位B. 向左平移個單位
C. 向右平移個單位D. 向左平移個單位
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，然后判斷出平移的過程即可.
【詳解】因為，
所以將的圖象向左平移個單位可得到的圖象，
而把的圖象向左平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意；
把的圖象向右平移后的圖象對應的函數(shù)為，不合題意；
故選：B.
5. 已知且，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)指數(shù)式對數(shù)式互化求出，再根據(jù)換底公式轉化，再根據(jù)求解即可.
【詳解】由，得，即，
所以，所以.
故選:C.
6. 已知是兩個不共線的向量，若與是共線向量，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由平面向量共線定理，列出方程，即可得到結果.
【詳解】依題意，設，又是兩個不共線的向量，
所以，所以．
故選：D
7. 設，，，則有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用兩角差的正弦公式、正切的二倍角公式、余弦的二倍角公式，即可判斷出三者的大小，做出結論.
【詳解】由，
又，
且，
因為
所以，即.
故選：D
8. 在平行四邊形ABCD中，，點為平行四邊形ABCD所在平面內一點，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設，由向量數(shù)量積的坐標表示確定滿足的關系式，并用三角換元法，設，計算，結合兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)性質得范圍．
【詳解】以為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示.
設，則，，所以，
所以，記，
所以，
所以，其中，，
又，所以，即的取值范圍是.
故選：B.
二、多項選擇題（每小題6分）
9. 已知向量，，，下列結論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，，則在上的投影向量為
D. 若，，則在上的投影向量為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示可判斷AB；由向量垂直的坐標表示結合已知求出向量，可得向量，然后根據(jù)投影向量公式可得投影向量，可判斷CD.
【詳解】由向量平行的坐標表示可知，若，則，A正確，B錯誤；
若，且，則，解得，
則，，
則在上的投影向量為，C正確，D錯誤．
故選：AC
10. 已知點是的中線上一點（不包含端點）且，則下列說法正確的是（ ）
A. B. C. D. 的最小值是
【答案】ACD
【解析】
分析】設，利用向量線性運算表示出，即可得到，判斷選項AB，然后利用基本不等式求最值，即可判斷選項CD.
【詳解】由題知，設，
則
，
因為，
所以，則，且，A正確，B不正確；
，
當且僅當時，等號成立，C正確；
又
，
當且僅當，即時，等號成立，D正確.
故選：ACD
11. 在等腰梯形中，，，，點是梯形內部一點（不含邊界），且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A. 若，則，
B. 當時，的最小值為
C. 若，則的面積為定值
D. 若，則的最小值為
【答案】AC
【解析】
【分析】取的中點，連接、，推導出四邊形、都是邊長為的菱形，且，利用平面向量的線性運算可判斷A選項；推導出點在直線上，結合可判斷B選項；推導出，可得出，可判斷C選項；計算出，分析可知，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓位于梯形內部的圓?。▓A心角為的扇形弧），利用圓的幾何性質可判斷D選項.
【詳解】對于A，取的中點，連接、，
因為，，為的中點，所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，
同理可證四邊形為平行四邊形，
由，得，
所以，
又因為，則，，故A正確；
對于B，當時，，
點在上，
由A選項可知，四邊形、都為平行四邊形，
所以，，且，即平行四邊形為菱形，
同理可知平行四邊形是邊長為的菱形，則是邊長為的等邊三角形，
則，
因四邊形為菱形，則，所以，，即，
所以，點到直線的距離為，此時點與點重合，故取不到最小值，故B錯誤；
對于C，若，則，
所以，，則，所以，點在上，
由于，則點到直線的距離等于點到直線的距離，
則，故C正確；
對于D，由平面向量數(shù)量積的定義可得，
因為，
則，則，
所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓位于梯形內部的圓?。▓A心角為的扇形?。?，
在中，，，，
則，
所以，，故D錯誤，
故選：AC.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數(shù)量積的幾何意義．
具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
12. 已知扇形的半徑為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是1，則扇形的周長為__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長公式先求出弧長，然后得到周長.
【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，圓心角的弧度數(shù)為，
由題意，
根據(jù)扇形的弧長公式，，
于是扇形的周長是.
故答案為：
13. 若向量滿足，且，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】將兩邊平方并化簡，進而結合數(shù)量積運算即可求得答案.
【詳解】由得；
由得；
由得，所以.
故答案為：
14. 在中，已知，為線段的中點，若，則______.
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題中條件，結合平面向量基本定理，直接表示出，即可求出，進而可求出結果.
【詳解】由，得，又為線段的中點，
所以，
即，，
所以.
故答案為：.
四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步摖.
15. 在直角三角形中，，，.設BF與CE交點為，求的值
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系，利用向量共線求出點的坐標，再利用數(shù)量積的坐標表示求出數(shù)量積.
【詳解】在中，，，
以為原點，射線分別為軸非負半軸建立平面直角坐標系，
則，由，，得，
由點在上，設，則，
，由點在上，得，
因此，解得，則，，而，
所以.
16. 如圖，，是全等的等腰直角三角形，，為直角頂點，O，，三點共線.若點，分別是邊，上的動點（不包含端點）.記，，
（1）試確定的值；
（2）比較和的大小.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）建立如圖示的直角坐標系，設，求出的坐標，進而設出的坐標，再應用向量數(shù)量積的坐標運算求；
（2）利用向量數(shù)量積的坐標運算求出，求出的范圍，即可比較大小.
【小問1詳解】
構建如下圖示的直角坐標系，設，則，，，，
所以，可設，，且，，
則，即.
【小問2詳解】
，又，
所以.
17. 已知函數(shù)在上奇函數(shù)，，.
（1）求實數(shù)的值；
（2）指出函數(shù)的單調性（說明理由，不需要證明）；
（3）設對任意，都有成立；請問是否存在的值，使最小值為，若存在求出的值.
【答案】（1）；
（2）減函數(shù)； （3）.
【解析】
【分析】（1）因為為奇函數(shù)，所以恒成立，據(jù)此可求出的值；
（2）由（1）可求出，討論，根據(jù)復合函數(shù)的單調性可判斷的單調性；
（3）根據(jù)題意，結合（1）對原不等式變形可得，
又根據(jù)的單調性得，整理得，
從而轉化為求的最小值，再解關于的不等式，
對函數(shù)換元討論求最小值，得到關于的方程解之即可得到答案.
【小問1詳解】
因為函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以恒成立，
即恒成立，
所以，又，所以；
【小問2詳解】
由（1）知
因為在是減函數(shù)，又，
所以在上為減函數(shù)；
【小問3詳解】
因為對任意都有,
所以對任意都有，
由在上為減函數(shù)；
所以對任意都有，
所以對任意都有，
因為，
所以即，解得
因為，
令，則，
令，它的對稱軸為，
當，即時，
在上是增函數(shù)，
，
解得舍去，
當即時，
此時，
解得，所以.
【點睛】小問(3)屬于單調性和奇偶性綜合應用問題，以及函數(shù)不等式恒成立問題，解決問題的關鍵是利用函數(shù)性質進行恒等變形，轉化為不等式恒成立問題，求最值解不等式得到的范圍，再通過換元把轉化為二次函數(shù)閉區(qū)間上最值問題.本小題難度較大，對數(shù)學能力要求較高.
18. 已知函數(shù)圖像的兩個相鄰的對稱中心的距離為.
（1）求的單調遞增區(qū)間；
（2）求方程在區(qū)間上所有實數(shù)根之和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助三角恒等變換公式將化簡為正弦型函數(shù)后結合函數(shù)性質即可得；
（2）可將方程的根轉化為求兩函數(shù)在坐標軸上的交點橫坐標，結合圖象即可得.
【小問1詳解】
，
由條件知的最小正周期為，所以，解得，
所以，
由，
得.
所以的單調遞增區(qū)間是.
【小問2詳解】
的實數(shù)根，即的圖象與直線的交點橫坐標.
當時，，由，得，
由，得，
作出在上的圖象與直線，大致如圖：
由圖可知，的圖象與直線在上有4個交點，
其中兩個關于直線對稱，另外兩個關于直線對稱，
所以4個交點的橫坐標之和為，即所求的實數(shù)根之和為.
19. 對于一組向量（且），令，如果存在，使得，那么稱，是該向量組的“向量”．
（1）設，若是向量組，，的“向量”，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，向量組，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在說明理由；
（3）已知，，均是向量組，，的“向量”，其中，，求證：可以寫成一個關于的二次多項式與一個關于的二次多項式的乘積．
【答案】（1）
（2）存在“向量”，分別為，，
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意分析可得，結合模長公式列式求解即可；
（2）根據(jù)題意可得，，結合可得，即可分析證明；
（3）根據(jù)題意分析可得，，結合模長公式分析證明即可.
【小問1詳解】
由題意可得：，
因為，則，，
則，即，
整理得，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
【小問2詳解】
存在，理由如下：
假設存在“向量”，
因為，
且，
則由題意，只需要使得，
又因為，
則，
可得，
由，即，
整理得，解得，
又因為，即，6，10滿足上式，
所以存在“向量”，分別為，，滿足題意；
【小問3詳解】
由題意得：，，
即，，
同理，，
三式相加并化簡得：，
即，，所以，
由，可得，
可得
，
所以可以寫成一個關于的二次多項式與一個關于的二次多項式的乘積.
【點睛】方法點睛：新定義題型的特點是通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.

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