河南省許昌高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

這是一份河南省許昌高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析），共12頁(yè)。試卷主要包含了筒車是一種水利灌溉工具，已知平面向量，，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）
1．已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知三棱錐中，，，，E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點(diǎn)，則EF與AB所成的角大小為（ ）
A．B．C．D．
3．已知兩個(gè)非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，實(shí)心正方體的棱長(zhǎng)為2，其中上、下底面的中心分別為．若從該正方體中挖去兩個(gè)圓錐，且其中一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，另一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱為“趙爽弦圖”.他用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的證明，極富創(chuàng)新意識(shí).“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如圖，若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則（ ）
A．9B．C．12D．
6．在中，角，，的對(duì)邊分別為，b，，若，則角的值為（ ）．
A． B． C．或 D．或
7．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為
A．B．C．D．
8．筒車是一種水利灌溉工具（如圖所示），筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車轉(zhuǎn)輪的中心為，筒車的半徑為，筒車轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為，如圖所示，盛水桶在處距水面的距離為.后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為（ ）

A．B．C．D．
二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）
9．某市舉辦了“愛國(guó)愛黨”知識(shí)競(jìng)賽.把1000名參賽者的成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）按，，，分成四組，并整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯(cuò)誤的為（ ）
A．的值為0.035 B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90
C．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為89 D．估計(jì)成績(jī)低于80分的有350人
10．已知平面向量，，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，B．若，則
C．若，則D．若與的夾角為鈍角，則
11．在中，角所對(duì)的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A． B．若，則為直角三角形
C．若為銳角三角形，的最小值為1
D．若為銳角三角形，則的取值范圍為
三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）
12．有一個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件，底面邊長(zhǎng)為，高為，則這個(gè)正六棱柱的機(jī)械零件的表面積為 .
13．設(shè) 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)為
14．如圖，三棱柱中，底面，，是上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
四．解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）
（15分）15．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱平面ABCD，，，，，E為棱的中點(diǎn)，M為棱CE的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
（14分）16．近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行營(yíng)銷形式，某直播平臺(tái)有1000個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示，為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺(tái)打算用分層抽樣的方式抽取80個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．
(1)應(yīng)抽取小吃類商家多少家？
(2)在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的80個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率直方圖如圖②所示．
①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的第75百分位數(shù)；
②若將平均日利潤(rùn)超過480元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)質(zhì)商家”的個(gè)數(shù)．
（15分）17．已知向量，且與的夾角為，
(1)求證：
(2)若，求的值；
(3)若與的夾角為，求的值．
（15分）18．如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P，Q分別在棱、上.

(1)若P是的中點(diǎn)，證明：；
(2)若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積.
（18分）19．我校南門有條長(zhǎng)米，寬米的道路（如圖所示的矩形），路的一側(cè)劃有100個(gè)長(zhǎng)米，寬米的停車位（如矩形），由于停車位不足，放學(xué)時(shí)段道路擁堵，學(xué)校保安李師傅提出一個(gè)改造方案，在不改變停車位形狀大小、不改變汽車通道寬度的條件下，可通過壓縮道路旁邊綠化帶及改變停車位方向來增加停車位，記綠化帶被壓縮的寬度（米），停車位相對(duì)道路傾斜的角度，其中.
(1)若，求和的長(zhǎng)；
(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若，按照李老師的方案，該路段改造后的停車位比改造前增加多少個(gè)？數(shù)學(xué)答案
1．A【詳解】令，則，，
所以
.
2．A【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，如圖，
又為的中點(diǎn)，所以，，
同理可得，，
又，所以，則為與所成的角，
中，，所以與所成的角為.
3．D
4．D【詳解】?jī)蓤A錐的體積都為，
則其公共部分為，
故該正方體剩余部分的體積為.
5．B【詳解】由題意可知，，
設(shè)，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
6．D【詳解】解：，
，即，
且有意義即，
，
在中，為或，
7．B【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.
故求體積為：，圓錐的體積：，故.
故選：.

8．A【詳解】如圖，

過作直線與水面平行，
過 作，垂足為點(diǎn)，過 作，垂足為點(diǎn)，
設(shè)，，則，其中，
則，，
所以，，
所以，
整理可得，
因?yàn)?，則，所以，，解得.
9．ABD【詳解】易知，解得，所以A錯(cuò)誤；
由頻率分布直方圖可知眾數(shù)落在區(qū)間，用區(qū)間中點(diǎn)表示眾數(shù)即85，所以B錯(cuò)誤；
由頻率分布直方圖可知前兩組頻率之和為，
前三組頻率之和為.
故第70百分位數(shù)落在區(qū)間，設(shè)第70百分位數(shù)為，
則，解得，所以正確；
成績(jī)低于80分的頻率為，所以估計(jì)成績(jī)低于80分的有人.故D錯(cuò)誤.
10．ACD【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，所以，故A正確；
對(duì)B，若，則，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，若，則，解得，故C正確；
對(duì)D，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，
解得且，即，故D正確，
11．ABD【詳解】對(duì)于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，則，故，所以或，
即或（舍去），即，A正確；
對(duì)于B，若，結(jié)合和正弦定理知，
又，所以可得，B正確；
對(duì)于，在銳角中，，即.
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于，在銳角中，由，
，
令，則，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；
12．/
【詳解】
13．2
【詳解】，
它為純虛數(shù)，則且，解得．
14．
【詳解】把平面沿著展開與在同一平面上，
連接，則的最小值是，
因?yàn)?，三棱柱是直三棱柱?br>，，
，
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以，
由余弦定理得，
所以，故的最小值是.
15．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【詳解】（1）由底面，平面，得，
而，即直線兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，，
顯然，即，所以.
（2），，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
（3），，
設(shè)平面的法向量，則，令，得，
所以點(diǎn)到平面的距離.
16．(1)28家
(2)① 487.5元；②280
【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣知：應(yīng)抽取小吃類家；
（2）①根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)75百分位數(shù)為x，
因?yàn)?，?br>所以，解得，
所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的75百分位數(shù)為487.5元．
②，
所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為280．
17．(1)證明見解
(2)或
(3)
【詳解】（1）因?yàn)榕c的夾角為，
所以，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
因?yàn)椋?br>所以，即，
于是有，即
，解得或,
所以的值為或.
（3）由（1）知，，
因?yàn)?br>所以，
，
，
因?yàn)榕c的夾角為，
所以，即，且，
于是有，解得或（舍）,
所以的值為.
18．(1)證明見解析 (2)
【詳解】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，x軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
設(shè)，其中，，
若P是的中點(diǎn)，則，，，
于是，∴，即.
（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則取，得.
又平面的一個(gè)法向量是，
∴，
而二面角的余弦值為，因此，
解得或（舍去），此時(shí).
設(shè)（），而，由此得點(diǎn)，，
∵平面，且平面的一個(gè)法向量是，
∴，即，解得，從而.
將四面體視為以為底面的三棱錐，則其高，
故四面體的體積.
19．(1)，
(2)，
(3)個(gè)
【詳解】（1）注意到，又，
則.
則，
又，則，；
（2）由圖，，
又由（1），則，
即，；
（3）由（2），.
則，則，
化簡(jiǎn)得：，解得或.
因，則，故，
設(shè)改造后停車位數(shù)量最大值為.
如圖，過停車位頂點(diǎn)做射線垂線，垂足為.
則頂點(diǎn)到線段距離為：.
又由圖及題意可得：，，
則.
注意到，則.
，則.
則，，又.
則，
令,
即改造后最大停車位數(shù)量為，則改造后的停車位比改造前增加個(gè).