高三數(shù)學(xué)
2024.08
本試卷共19題，滿分150分，共8頁.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙?試題卷上答題無效.
3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.
4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A.1 B.-1 C. D.16
3.已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
4.若，則（ ）
A. B. C. D.
5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
6.已知正四棱臺(tái)的頂點(diǎn)都在同一球面上，其上?下底面邊長(zhǎng)分別為，高為3，則該球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)滿足，若，則（ ）
A.25 B.125 C.625 D.15625
8.已知函數(shù)，則（ ）
A.是的一個(gè)周期 B.是圖象的一條對(duì)稱軸
C.是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.某校在開展“弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，深植文化自信之根”主題教育的系列活動(dòng)中，舉辦了“誦讀國(guó)學(xué)經(jīng)典，傳承中華文明”知識(shí)競(jìng)賽.賽前為了解學(xué)生的備賽情況，組織對(duì)高一年和高二年學(xué)生的抽樣測(cè)試，測(cè)試成績(jī)數(shù)據(jù)處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是（ ）
A.高一年抽測(cè)成績(jī)的眾數(shù)為75
B.高二年抽測(cè)成績(jī)低于60分的比率為
C.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的平均分低于高二年學(xué)生成績(jī)的平均分
D.估計(jì)高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)低于高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)
10.已知函數(shù)，則（ ）
A.的值域?yàn)?br>B.圖象的對(duì)稱中心為
C.當(dāng)時(shí)，無極值
D.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是動(dòng)點(diǎn).下列命題正確的是（ ）
A.若，則的軌跡的長(zhǎng)度等于2
B.若，則的軌跡方程為
C.若，則的軌跡與圓沒有交點(diǎn)
D.若，則的最大值為3
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.若曲線在處的切線與直線垂直，則__________.
13.過雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別作實(shí)軸的垂線，交于四個(gè)點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，則的離心率為__________.
14.如圖，有一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8.將該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數(shù)字，則這三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若的角平分線與交于點(diǎn)，求.
16.（15分）
如圖，在圓柱中，分別為圓柱的母線和下底面的直徑，為底面圓周上一點(diǎn).
（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；
（2）若，圓柱的體積為，求二面角的正弦值.
17.（15分）
已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）過且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，記的面積為的面積為，求的取值范圍.
18.（17分）
已知曲線.
（1）證明：；
（2）若曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線為，則稱為與的一條對(duì)稱軸.請(qǐng)寫出與的一條對(duì)稱軸，并探究是否存在其它的對(duì)稱軸；
（3）已知是上的兩點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，若四邊形為正方形，其周長(zhǎng)為，證明：.（參考數(shù)據(jù)：）
19.（17分）
已知正整數(shù)滿足，正整數(shù)滿足，.對(duì)于確定的正整數(shù)，記的最小值為.例如：當(dāng)時(shí)，或或.
（1）當(dāng)時(shí)，寫出的所有值及的值；
（2）探究的值；
（3）證明：.
泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（一）
高三數(shù)學(xué)
2024.08
本試卷共19題，滿分150分，共8頁.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.
2.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙?試題卷上答題無效.
3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整?筆跡清楚.
4.保持答題卡卡面清潔，不折疊?不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.【命題意圖】本小題主要考查集合的運(yùn)算?不等式等知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力等；考查函數(shù)與方程思想?化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：（排除法）因符合題意，排除D；因?yàn)榉项}意，排除；
故選C.
解法二：因?yàn)?，所以?br>故選C.
2.【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念?四則運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力?推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想?函數(shù)與方程思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：設(shè)，則，解得，所以，所以，故選A.
解法二：因?yàn)?，所以，故選A.
解法三：方程兩邊同時(shí)平方，有，所以，故選A.
3.【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解等能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等思想，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：設(shè)，由題得，所以
，，所以，
所以，又，所以，
故選D.
解法二：建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
所以，所以，
所以，又，所以，
故選D.
解法三：運(yùn)用向量運(yùn)算的幾何表示，構(gòu)造平面圖形，觀察圖形可快速得解.
4.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義?三角恒等變換等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想?特殊與一般思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?
數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：（特殊法）由題知滿足條件，所以.
故選C.
解法二：由題得，所以，
所以，所以
.故選C.
解法三：由題得，
所以，即，
所以，即.故選C.
解法四：由題得，所以，
所以，即，
所以，所以.故選C.
解法五：觀察，知同正，為第一象限角，其正
切值為正，排除A，B.若，可取，則，
不符合已知條件，排除D，故應(yīng)選C.
5.【命題意圖】本小題主要考查分段函數(shù)?基本初等函數(shù)?函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力?抽象概括能力等，考查函數(shù)與方程思想?轉(zhuǎn)化和化歸的思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】由指數(shù)函數(shù)的底數(shù)要求只討論且，
由題意得為單調(diào)遞增，故，
又時(shí)，為單調(diào)遞增，故，
再由，即得，綜上，，
故選B.
6.【命題意圖】本小題主要考查多面體?球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力?運(yùn)算求解能力等，考查數(shù)形結(jié)合?轉(zhuǎn)化和化歸的思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：正四棱臺(tái)的對(duì)角面的外接圓為其外接球球的大圓（如下圖），對(duì)角面為等腰梯形，其上下底邊長(zhǎng)分別為2，4，高為3，由正四棱臺(tái)的對(duì)稱性可知，球的球心在梯形上下底的中點(diǎn)連線所在直線上，設(shè)，則，設(shè)球半徑為，再由，可得，解得，所以所求的球的表面積為
解法二：下底的外接圓不大于球的大圓，故球半徑（下底對(duì)角線長(zhǎng)的一半），表面積排除D；
對(duì)角面等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)，故球半徑，表面積，排除C；
若，則.易求球心到的距離為，球心到的距
離為，無法滿足，或，故A不正確.
故選B.
7.【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)?遞推數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?特殊與一般的函數(shù)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，綜合性，導(dǎo)向?qū)壿嬐评?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：由題意取，可得
即知?jiǎng)t.
故選C.
解法二：令，則
，
所以，
即，所以，則.故選C.
解法三：由可構(gòu)造滿足條件的函數(shù)，
可以快速得到.
故選C.
8.【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)?三角恒等變換等知識(shí)；考查推理論
證能力?運(yùn)算求解能力等，考查特殊與一般思想?函數(shù)與方程思想?化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：（排除法）因?yàn)椋?br>，所以，故A錯(cuò)誤；
同理，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>所以，故D錯(cuò)誤.
故選B.
解法二：因?yàn)椋?br>所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?br>，所以，故B正確；
因?yàn)椋?br>所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?br>所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
同理當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
故選B.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.【命題意圖】本小題主要考查頻率分步直方圖?樣本的數(shù)字特征等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)據(jù)分析與處理?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?或然與必然等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】選項(xiàng)A：高一年學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)為區(qū)間的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，故A正確.
選項(xiàng)B：高二年學(xué)生成績(jī)得分在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)頻率為
，所以低于60分的比率為，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：高一年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為
分；
高二年學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)約為
分.
因?yàn)椋蔆正確.
選項(xiàng)D：高一年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于[，高二年學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)位于，故D正確.
故選ACD.
10.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?函數(shù)的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查數(shù)形結(jié)合?化歸與轉(zhuǎn)化等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】A選項(xiàng)：當(dāng)至少一個(gè)不為0，則函數(shù)為三次函數(shù)或者一次函數(shù)，值域均為；當(dāng)均為0時(shí)，值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)：函數(shù)滿足，可知為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于中心對(duì)稱，
所以的圖象為的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位后得到的，
即關(guān)于中心對(duì)稱，【或者用驗(yàn)證】，故B正確.
C選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，恒大于0或者恒小于0，所以函數(shù)在上單調(diào)，無極值.故C正確.
D選項(xiàng)：，當(dāng)時(shí)，取，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上不單調(diào).D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
另一方面，當(dāng)時(shí)，在
單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.
故選BC.
11.【命題意圖】本小題主要考查曲線與方程?向量數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以的軌跡為線段，從而的軌跡的長(zhǎng)度等于2，故A正確.
選項(xiàng)B：因?yàn)?，由雙曲線的定義知，
的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，而結(jié)論的方程中未限制范圍，故B錯(cuò)誤.（由，得的軌跡方程為）.
選項(xiàng)C：解法一：由，得，化簡(jiǎn)得，，聯(lián)立得，
這與矛盾，所以方程組無解，故的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確.
解法二：若有交點(diǎn)，則，又，矛盾，所以的軌跡與圓沒有交點(diǎn)，故C正確.
選項(xiàng)D：
解法一：由得，，
化簡(jiǎn)得，
所以的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
等于在軸上的投影的長(zhǎng)度，
由圖知其最大值為3，故D正確.
解法二：同法一得的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
，由圓的方程知可取到最大值3，故D正確.
解法三：由得，
，當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào).
①；
②當(dāng)在的反向延長(zhǎng)線上，且時(shí)，
滿足條件，此時(shí).
所以的最大值為3，故D正確.
故選ACD.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.【命題意圖】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義?直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】由題意得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故在處切線的斜率為，
直線的斜率存在為，根據(jù)題意得，，解得.
故答案為-2.
13.【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：不妨設(shè)雙曲線，
令，可得，所以.
依題意可得，，所以，
又，所以，解得：，
又因?yàn)?，所?故答案為.
解法二：如圖，連結(jié)，在中，
所以離心率.
故答案為.
解法三：，依題意知在曲線上，故，
整理得（取正），
所以，
故答案為.
14.【命題意圖】本小題主要考查古典概型?計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查分類與整合?或然與必然等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性
與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)據(jù)分析?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算?數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】由題意可知所有可能情況共有種，按順序記錄的三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，
可以按照公差為分類，其中公差為和的做法數(shù)對(duì)應(yīng)相等.
公差為0的有共8種做法；
公差為1的有共6種做法，同公差為-1的；
公差為2的有共4種做法，同公差為-2的；
公差為3的有共2種做法，同公差為-3的；
所以三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率.
故答案為.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
【命題意圖】本小題主要考查正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力?運(yùn)算求解能力等，考查函數(shù)與方程思想?數(shù)形結(jié)合思想等，體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】（1）依題意，由正弦定理可得
所以，
又
所以，
因?yàn)?，所以，所以?br>又，所以.
（2）解法一：如圖，由題意得，，
所以，
又，所以，
所以，即，
所以.
解法二：如圖，中，因?yàn)椋?br>由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
16.（15分）
【命題意圖】本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的體積?直線與平面的位置關(guān)系?求二面角等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象?推理論證?運(yùn)算求解等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】（1）解法一：如下圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，
分別為的中點(diǎn)，
，
又圓柱上下底面平行，
且與平面交于和，
，且，
又且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面平面
平面.
解法二：連結(jié)，
圓柱的母線與旋轉(zhuǎn)軸平行，
又平面平面，
平面，
分別為的中點(diǎn)，
，
又平面平面，
平面，
又平面，
平面平面，
又平面，
平面.
（2）為底面直徑，
，
又圓柱的體積為，
得到.
解法一：過作平面，則，
又，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?
軸?軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
設(shè)平面的法向量為，
平面的法向量為，
，得到，
，
取，可得，
又，得到，
取，可得，
設(shè)二面角的大小為，
則
則
即二面角的正弦值為.
解法二：如下圖，連結(jié)，過作，垂足，
取中點(diǎn)，連結(jié)，過作，垂足，
平面交直線于點(diǎn)，連結(jié)，
分別為的中點(diǎn)，
，又，
，
平面，
，又，
平面，
平面，
又
平面，
同理可證平面，
，，又，
平面，即平面，
，
為二面角的平面角，
在中，，
在中，，
在中，，
在平面四邊形中，如下圖，，
，
則，
.
即二面角的正弦值為.
17.（15分）
【命題意圖】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程?直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
即，解得，
所以，
所以橢圓的方程為.
【若方程求錯(cuò)，能體現(xiàn)各得1分】
（1）解法一：
由（1）得，依題意設(shè)，
由消去，得，
設(shè)，則
設(shè)，則，
，
由得，，
即
因?yàn)?，所以，所?br>所以，
令且，
則，解得，且，
所以，所以的取值范圍為.
解法二：
由（1）得，依題意設(shè)，
由消去，得，
設(shè)，則，
所以，
設(shè)，則，
，
令且，
則代入可得，
消去得：，
因?yàn)?，所以?br>所以，解得，且，
所以，所以的取值范圍為.
18.（17分）
【命題意圖】本題主要考查基本初等函數(shù)?函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性?導(dǎo)數(shù)的幾何意義?導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解?推理論證等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化?數(shù)形結(jié)合?函數(shù)與方程等思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性?綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算?直觀想象?邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】解法一：（1）要證原命題，只需證，
設(shè)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，
顯然在單調(diào)遞增，
且，
故存在唯一的滿足，即，
從而可得在單調(diào)遞減；
在單調(diào)遞增；
所以在處取到最小值，
其中即，
所以
故本題得證.
（2）與的一條對(duì)稱軸為直線，
且是與的唯一對(duì)稱軸，
證明如下：由（1）分析得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即曲線與直線相切于點(diǎn)，
且曲線在直線的上方（除點(diǎn)）；
同理曲線與直線相切于點(diǎn)，
且曲線在直線的下方（除點(diǎn)）；
而平行線的距離為，
故曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離不小于，
注意到兩點(diǎn)距離恰為，
故可得結(jié)論①：曲線上的任意點(diǎn)與上任意點(diǎn)的距離最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)這兩點(diǎn)分別為時(shí)取到.
反證法：假設(shè)與存在除以外的其它對(duì)稱軸，
那么關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，
注意到兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，故在上且異于點(diǎn)，
同理關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，其中在上且異于點(diǎn)，
根據(jù)對(duì)稱性可得，
這與①矛盾，故假設(shè)不成立.故是與的唯一對(duì)稱軸.
（3）由題意，不妨設(shè)，其中，
并由（2）分析得分別與關(guān)于直線對(duì)稱，
可得，且，
由正方形可得，即
所以，即正方形對(duì)角線軸，
因?yàn)?，?br>即.②
又因?yàn)椋寓谑娇苫癁?br>故為方程的根，
即的零點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>所以在單調(diào)遞增，
且，
所以，
所以正方形的邊長(zhǎng)，
令，且，
，所以在單調(diào)遞增，
則，即正方形的邊長(zhǎng)大于，
所以正方形的周長(zhǎng).
解法二：（1）對(duì)任意，即證，
先證明：，即證，
設(shè)，其導(dǎo)函數(shù)，
在區(qū)間單調(diào)遞減；
在區(qū)間單調(diào)遞增；
故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，
所以，即；
同樣也可得，即，即，
所以，即，
本題得證.
（2）同解法一；
（3）同解法一.
19.（17分）
【命題意圖】本題主要考查整數(shù)的離散性?數(shù)列的求和?不等式等知識(shí)，考查閱讀理解能力?邏輯思維能力與創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力；考查數(shù)形結(jié)合思想?轉(zhuǎn)化與化歸思想；體現(xiàn)綜合性?應(yīng)用性與創(chuàng)新性，彰顯高考的選拔特點(diǎn)，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理?數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.
【試題解析】
（1）的所有值為：，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，探究展示如下表：
由上表可知，.
當(dāng)時(shí)，探究展示如下表：
由上表可知，.
猜想時(shí)，.
證明如下：
的各項(xiàng)的取值只有三種可能，
記其中取值為的項(xiàng)數(shù)分別為.
取，有，
此時(shí).
假設(shè)不是的最小值，則存在，
使得，且.
消去，得，
因?yàn)椋曰蚧?br>則若則
若則；
若則.
故矛盾.
所以，是的最小值，.
（3）解法一：
由（2），
要證，即證，
因?yàn)樽筮?br>故原不等式得證.
解法二：
由（2），
要證，即證，
因?yàn)樽筮?br>故原不等式得證.
解法三：
由（2）
因?yàn)樽筮?br>’
故原不等式得證.項(xiàng)數(shù)
3
0
1
6
項(xiàng)數(shù)
0
3
0
6
項(xiàng)數(shù)
4
2
0
8
項(xiàng)數(shù)
8
1
0
10
項(xiàng)數(shù)
12
0
0
12
項(xiàng)數(shù)
3
0
2
9
項(xiàng)數(shù)
0
3
1
9
項(xiàng)數(shù)
4
2
1
11
項(xiàng)數(shù)
8
1
1
13
項(xiàng)數(shù)
12
0
1
15
項(xiàng)數(shù)
1
5
0
11
項(xiàng)數(shù)
5
4
0
13
項(xiàng)數(shù)
9
3
0
15
項(xiàng)數(shù)
13
2
0
17
項(xiàng)數(shù)
17
1
0
19
項(xiàng)數(shù)
21
0
0
21
3
0
1
6
3
0
2
9
3
0
3
12
3
0

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