專題1.2 一元二次方程的解法【十大題型】 【蘇科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc3683" 【題型1 直接開平方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc3683 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc22373" 【題型2 配方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc22373 \h 2  HYPERLINK \l "_Toc21955" 【題型3 公式法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc21955 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc26216" 【題型4 因式分解法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc26216 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc2409" 【題型5 十字相乘法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc2409 \h 5  HYPERLINK \l "_Toc30986" 【題型6 用適當(dāng)方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc30986 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc23023" 【題型7 用指定方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc23023 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc15064" 【題型8 用換元法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc15064 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc5253" 【題型5 解含絕對(duì)值的一元二次方程】  PAGEREF _Toc5253 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc15542" 【題型10 配方法的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc15542 \h 5  知識(shí)點(diǎn)1：直接開平方法解一元二次方程 根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法. 直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式； ②直接開平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解. 【題型1 直接開平方法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）將方程(2x－1)2=5的兩邊同時(shí)開平方， 得2x－1= ， 即2x－1＝ 或2x－1＝ ， 所以x1＝ ，x2＝ ． 【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）用直接開平方解下列一元二次方程，其中無解的方程為(??) A．x2+5＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0 【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程x?52=m?7可以用直接開平方求解，則m的取值范圍是 ． 【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程xx+4=6． 解：原方程可變形，得：x+2?2x+2+2=6．x+22?22=6，x+22=10．直接開平方并整理，得．x1=?2+10，x2=?2?10． 我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法” (1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程x+5x+5=5時(shí)寫的解題過程． 解：原方程可變形，得：x+a?bx+a+b=5．x+a2?b2=5，∴x+a2=5+b2．直接開平方并整理，得．x1=c，x2=d． 上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______． (2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：x?5x+7=12． 知識(shí)點(diǎn)2 配方法解一元二次方程 將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二 次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④ 把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法 來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解． 【題型2 配方法解一元二次方程】 【例2】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過程． 3x2?52=12x． 解：兩邊同除以3，得______________________________． 移項(xiàng)，得x2?16x=56． 配方，得_________________________________， 即(x?112)2=121144． 兩邊開平方，得__________________， 即x?112=1112，或x?112=?1112． 所以x1=1，x2=?56． 【變式2-1】（23-24九年級(jí)下·廣西百色·期中）用配方法解方程x2?6x?1=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（????） A．x?32=5 B．x?32=10 C．x+32=8 D．x?32=8 【變式2-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）用配方法解方程：x2+2mx?m2=0． 【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x?8=0的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)． ①小明同學(xué)的解答過程，從第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤； ②請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的解答過程． 知識(shí)點(diǎn)3 公式法解一元二次方程 當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為x=?b±b2?4ac2a的形式，這個(gè) 式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入這個(gè)公式，這種解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【題型3 公式法解一元二次方程】 【例3】（23-24九年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得x=?6±62?4×4×12×4，則該一元二次方程是 ． 【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用公式法解一元二次方程：x?23x?5=0． ?? 解：方程化為3x2?11x+10=0． a=3,b= ，c=10． Δ=b2?4ac= ?4×3×10=1>0． 方程 實(shí)數(shù)根． x= = ， 即x1= ，x2=53． 【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南三門峽·期中）用公式法解方程?ax2+bx?c=0?(a≠0)，下列代入公式正確的是（????） A．x=?b±b2?4a×(?c)2×(?a) B．x=b±b2?4ac2a C．x=b±b2?4a×(?c)2×(?a) D．x=?b±b2?4ac2a 【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則（????） A．b=0 B．c=0 C．b2?4ac=0 D．b+c=0 知識(shí)點(diǎn)4 因式分解法解一元二次方程 當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程 轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【題型4 因式分解法解一元二次方程】 【例4】（23-24九年級(jí)下·安徽亳州·期中）關(guān)于x的一元二次方程xx?2=2?x的根是（????） A．?1 B．0 C．1和2 D．?1和2 【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）以下是某同學(xué)解方程x2?3x=?2x+6的過程： 解：方程兩邊因式分解，得xx?3=?2x?3，① 方程兩邊同除以x?3，得x=?2，② ∴原方程的解為x=?2．③ (1)上面的運(yùn)算過程第______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤． (2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程． 【變式4-2】（23-24九年級(jí)下·安徽安慶·期中）對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，定義運(yùn)算“※”：m※n=m2?2n，例如：2※3=22?2×3=?2．若x※5x=0，則方程的根為（????） A．都為10 B．都為0 C．0或10 D．5或?5 【變式4-3】（13-14九年級(jí)·浙江·課后作業(yè)）利用因式分解求解方程 （1）4y2=3y； (2)(2x+3)(2x?3)?x(2x+3)=0． 【題型5 十字相乘法解一元二次方程】 【例5】（23-24九年級(jí)下·廣西百色·期中）以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一種方法：二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列為： 然后按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此時(shí)滿足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解為(a1x+c1)(a2x+c2)=0，這種方法叫做“十字相乘法”．那么6x2?11x?10=0按照“十字相乘法”可因式分解為（??） A．(x?2)(6x+5)=0 B．(2x+2)(3x?5)=0 C．(x?5)(6x+2)=0 D．(2x?5)(3x+2)=0 【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末）試用十字相乘法解下列方程 (1)x2+5x+4=0； (2)x2+3x?10=0． 【變式5-2】（23-24九年級(jí)下·廣西梧州·期中）解關(guān)于x的方程x2?7mx+12m2=0得（????） A．x1=?3m，x2=4m B．x1=3m，x2=4m C．x1=?3m，x2=?4m D．x1=3m，x2=?4m 【變式5-3】（23-24九年級(jí)下·重慶·期中）閱讀下面材料： 材料一：分解因式是將一個(gè)多項(xiàng)式化為若干個(gè)整式積的形式的變形，“十字相乘法”可把某些二次三項(xiàng)式分解為兩個(gè)一次式的乘積，具體做法如下：對(duì)關(guān)于x，y的二次三項(xiàng)式ax2+bxy+cy2，如圖1，將x2項(xiàng)系數(shù)a=a1?a2，作為第一列，y2項(xiàng)系數(shù)c=c1?c2，作為第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式為：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y 示例1：分解因式：x2+5xy+6y2 解：如圖2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2； ∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 示例2：分解因式：x2?4xy?12y2． 解：如圖3，其中1=1×1，?12=?6×2，而?4=1×2+1×(?6)； ∴x2?4xy?12y2=(x?6y)(x+2y)； 材料二：關(guān)于x，y的二次多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解為兩個(gè)一次式的乘積．如圖4，將a=a1a2作為一列，c=c1c2作為第二列，f=f1f2作為第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式分解因式的結(jié)果為：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2； ??? 示例3：分解因式：x2?4xy+3y2?2x+8y?3． 解：如圖5，其中1=1×1，3=(?1)×(?3)，?3=(?3)×1； 滿足?4=1×(?3)+1×(?1)，?2=1×(?3)+1×1,8=(?3)×(?3)+(?1)×1； ∴x2?4xy+3y2?2x+8y?3=(x?y?3)(x?3y+1) 請(qǐng)根據(jù)上述材料，完成下列問題： （1）分解因式：x2+3x+2= ；x2?5xy+6y2+x+2y?20= ； （2）若x，y，m均為整數(shù)，且關(guān)于x，y的二次多項(xiàng)式x2+xy?6y2?2x+my?120可用“十字相乘法”分解為兩個(gè)一次式的乘積，求出m的值，并求出關(guān)于x，y的方程x2+xy?6y2?2x+my?120=?1的整數(shù)解． 【題型6 用適當(dāng)方法解一元二次方程】 【例6】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1)x2=4x； (2)x?32?4=0； (3)2x2?4x?5=0； (4)x?1x+2=2x+2． 【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·山西太原·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?(1)x2+4x?2=0； (2)xx+3=5x+15. 【變式6-2】（23-24九年級(jí)下·山東泰安·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)3x2=54； (2)x+13x?1=1； (3)4x2x+1=32x+1； (4)x2+6x=10． 【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1)(x+2)2?25=0； (2)x2+4x?5=0； (3)2x2?3x+1=0． 【題型7 用指定方法解一元二次方程】 【例7】（23-24九年級(jí)下·山東日照·期末）用指定的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接開方法） （2）x2+2 x﹣3=0（配方法） （3）（x+1）（x-2）=4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法） 【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）用指定的方法解方程： (1)x2?4x?1=0（用配方法） (2)3x2?11x=?5（用公式法） (3)5x?32=x2?5（用因式分解法） (4)2y2+4y=y+2（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）用指定的方法解方程： (1)12x2?2x?5=0（用配方法） (2)x2=8x+20（用公式法） (3)x?32+4xx?3=0（用因式分解法） (4)x+23x?1=10（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）按指定的方法解下列方程： ∵y+22≥0，∴y+22+4≥4 ∴當(dāng)y=?2時(shí)，y2+4y+8的最小值是4． (1)【類比探究】 求代數(shù)式x2?6x+12的最小值； (2)【舉一反三】 若y=?x2?2x當(dāng)x=________時(shí)，y有最________值（填“大”或“小”），這個(gè)值是________； (3)【靈活運(yùn)用】 已知x2?4x+y2+2y+5=0，則x+y=________； (4)【拓展應(yīng)用】 如圖某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為15m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，柵欄的總長(zhǎng)度為24m．當(dāng)BF為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？ 【變式10-1】（2023·河北石家莊·一模）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列結(jié)論正確的是（????） A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1 C．當(dāng)B=2A時(shí)，x為正數(shù) D．當(dāng)B=2A時(shí)，x為負(fù)數(shù) 【變式10-2】（23-24九年級(jí)上·四川攀枝花·期中）已知三角形的三條邊為a,b,c，且滿足a2?10a+b2?16b+85=0，則這個(gè)三角形的最大邊c的取值范圍是（????） A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13 【變式10-3】（23-24九年級(jí)下·浙江寧波·期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用.例如：已知x可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2； ∵無論x取何實(shí)數(shù)，都有(x+1)2≥0， ∴(x+1)2+2≥2，即x2+2x+3的最小值為2． 【嘗試應(yīng)用】（1）請(qǐng)直接寫出2x2+4x+10的最小值______ ； 【拓展應(yīng)用】（2）試說明：無論x取何實(shí)數(shù)，二次根式x2+x+2都有意義； 【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=10，求四邊形ABCD的面積最大值． ?? 解：移項(xiàng)，得2x2+4x=8 第一步 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x=4 第二步 配方，得x+22=8 第三步 由此可得x+2=±22 第四步 所以，x1=?2+22，x2=?2?22 第五步 專題1.2 一元二次方程的解法【十大題型】 【蘇科版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc3683" 【題型1 直接開平方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc3683 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc22373" 【題型2 配方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc22373 \h 4  HYPERLINK \l "_Toc21955" 【題型3 公式法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc21955 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc26216" 【題型4 因式分解法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc26216 \h 8  HYPERLINK \l "_Toc2409" 【題型5 十字相乘法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc2409 \h 11  HYPERLINK \l "_Toc30986" 【題型6 用適當(dāng)方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc30986 \h 14  HYPERLINK \l "_Toc23023" 【題型7 用指定方法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc23023 \h 18  HYPERLINK \l "_Toc15064" 【題型8 用換元法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc15064 \h 23  HYPERLINK \l "_Toc5253" 【題型5 解含絕對(duì)值的一元二次方程】  PAGEREF _Toc5253 \h 24  HYPERLINK \l "_Toc15542" 【題型10 配方法的應(yīng)用】  PAGEREF _Toc15542 \h 27  知識(shí)點(diǎn)1：直接開平方法解一元二次方程 根據(jù)平方根的意義直接開平方來解一元二次方程的方法，叫做直接開平方法. 直接降次解一元二次方程的步驟:①將方程化為x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式； ②直接開平方化為兩個(gè)一元一次方程；③解兩個(gè)一元一次方程得到原方程的解. 【題型1 直接開平方法解一元二次方程】 【例1】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）將方程(2x－1)2=5的兩邊同時(shí)開平方， 得2x－1= ， 即2x－1＝ 或2x－1＝ ， 所以x1＝ ，x2＝ ． 【答案】 ±3 3 －3 2 －1 【分析】依照直接開平方法解一元二次方程的方法及步驟,一步步解出方程即可 【詳解】∵(2x－1)2=5 ∴2x－1=±3 ∴2x－1＝3，2x－1＝-3 ∴x1＝2，x2＝-1 【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程直接開平方法，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵 【變式1-1】（23-24九年級(jí)上·貴州遵義·階段練習(xí)）用直接開平方解下列一元二次方程，其中無解的方程為(??) A．x2+5＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0 【答案】C 【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根即可求出答案． 【詳解】解：（A）移項(xiàng)可得x2=?5，故選項(xiàng)A無解； （B）?2x2=0，即x2=0，故選項(xiàng)B有解； （C）移項(xiàng)可得x2=3，故選項(xiàng)C有解； （D）x?22=0，故選項(xiàng)D有解； 【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法． 【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程x?52=m?7可以用直接開平方求解，則m的取值范圍是 ． 【答案】m≥7 【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性得出不等式，求出不等式的解集即可． 【詳解】解：∵方程x?52=m?7可以用直接開平方求解， ∴m?7≥0， 解得：m≥7， 故答案為：m≥7． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出關(guān)于m的不程是解此題的關(guān)鍵． 【變式1-3】（23-24九年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）小明在解一元二次方程時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一種解法：如：解方程xx+4=6． 解：原方程可變形，得：x+2?2x+2+2=6．x+22?22=6，x+22=10．直接開平方并整理，得．x1=?2+10，x2=?2?10． 我們稱小明這種解法為“平均數(shù)法” (1)下面是小明用“平均數(shù)法”解方程x+5x+5=5時(shí)寫的解題過程． 解：原方程可變形，得：x+a?bx+a+b=5．x+a2?b2=5，∴x+a2=5+b2．直接開平方并整理，得．x1=c，x2=d． 上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為______，______，______，______． (2)請(qǐng)用“平均數(shù)法”解方程：x?5x+7=12． 【答案】(1)7，2，?4，?10． (2)x1=?1+43，x2=?1?43． 【分析】（1）仿照平均數(shù)法可把原方程化為x+7?2x+7+2=5，可得x+72=5，再解方程即可； （2）仿照平均數(shù)法可把原方程化為x+1?6x+1+6=12，可得x+12=48，再解方程即可； 【詳解】（1）解：∵x+5x+5=5， ∴x+7?2x+7+2=5， ∴x+72?4=5， ∴x+72=5， ∴x+7=3或x+7=?3， 解得：x1=?4，x2=?10． ∴上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為7，2，?4，?10． （2）∵x?5x+7=12， ∴x+1?6x+1+6=12， ∴x+12?36=12， ∴x+12=48， ∴x+1=43，x+1=?43， 解得：x1=?1+43，x2=?1?43． 【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運(yùn)算的含義，理解平均數(shù)法結(jié)合直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵． 知識(shí)點(diǎn)2 配方法解一元二次方程 將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程兩邊同除以二 次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④ 把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法 來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解． 【題型2 配方法解一元二次方程】 【例2】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用配方法解方程，補(bǔ)全解答過程． 3x2?52=12x． 解：兩邊同除以3，得______________________________． 移項(xiàng)，得x2?16x=56． 配方，得_________________________________， 即(x?112)2=121144． 兩邊開平方，得__________________， 即x?112=1112，或x?112=?1112． 所以x1=1，x2=?56． 【答案】x2?56=16x??x2?16x+(112)2=56+(112)2??x?112=±1112 【分析】方程兩邊除以3把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后，開方即可求出解． 【詳解】3x2?52=12x． 解：兩邊同除以3，得x2?56=16x． 移項(xiàng)，得x2?16x=56． 配方，得x2?16x+(112)2=56+(112)2， 即(x?112)2=121144． 兩邊開平方，得x?112=±1112， 即x?112=1112，或x?112=?1112． 所以x1=1，x2=?56． 【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵． 【變式2-1】（23-24九年級(jí)下·廣西百色·期中）用配方法解方程x2?6x?1=0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（????） A．x?32=5 B．x?32=10 C．x+32=8 D．x?32=8 【答案】A 【分析】此題考查了配方法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握配方法求解一元二次方程的步驟．根據(jù)配方法的步驟，求解即可． 【詳解】解：x2?6x?1=0 移項(xiàng)得：x2?6x=1 配方得：x2?6x+5=1+5 即x?32=10 故選：B 【變式2-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）用配方法解方程：x2+2mx?m2=0． 【答案】x1=?m+2m，x2=?m?2m 【分析】本題考查了解一元二次方程——配方法．先移項(xiàng)，再進(jìn)行配方，最后開方即可得． 【詳解】解：移項(xiàng)得x2+2mx=m2， 配方得x2+2mx+m2=m2+m2，即x+m2=2m2， 所以原方程的解為：x1=?m+2m，x2=?m?2m． 【變式2-3】（2024·貴州黔東南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2x2+4x?8=0的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)． ①小明同學(xué)的解答過程，從第 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤； ②請(qǐng)寫出你認(rèn)為正確的解答過程． 【答案】①第三步；②詳見解析 【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法，先將方程2x2+4x?8=0變?yōu)閤2+2x=4，然后配方為x+12=8，再開平方即可． 【詳解】解：①小明同學(xué)的解答過程，從第三步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤； ②2x2+4x?8=0， 移項(xiàng)，得2x2+4x=8， 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2+2x=4， 配方，得x+12=5， 由此可得x+1=±5， 所以，x1=?1+5，x2=?1?5． 知識(shí)點(diǎn)3 公式法解一元二次方程 當(dāng)b2?4ac≥0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通過配方，其實(shí)數(shù)根可寫為x=?b±b2?4ac2a的形式，這個(gè) 式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入這個(gè)公式，這種解 一元二次方程的方法叫做公式法. 【題型3 公式法解一元二次方程】 【例3】（23-24九年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得x=?6±62?4×4×12×4，則該一元二次方程是 ． 【答案】4x2+6x+1=0 【分析】根據(jù)公式法的公式x=?b±b2?4ac2a，可得方程的各項(xiàng)系數(shù)，即可解答． 【詳解】解： ∵x=?b±b2?4ac2a=?6±62?4×4×12×4， ∴a=4，b=6，c=1， 從而得到一元二次方程為4x2+6x+1=0， 故答案為：4x2+6x+1=0． 【點(diǎn)睛】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用公式法解一元二次方程：x?23x?5=0． ?? 解：方程化為3x2?11x+10=0． a=3,b= ，c=10． Δ=b2?4ac= ?4×3×10=1>0． 方程 實(shí)數(shù)根． x= = ， 即x1= ，x2=53． 【答案】 ?11 (?11)2 有兩個(gè)不相等的 ??11±12×3 11±16 2 【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的解法步驟求解即． 【詳解】解：方程化為3x2?11x+10=0． a=3，b=?11，c=10． Δ=b2?4ac= ?112?4×3×10=1>0． 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． x= ??11±12×3 = 11±16， 即x1=2，x2=53． 故答案為：?11；(?11)2；有兩個(gè)不相等的；??11±12×3；11±16；2． 【點(diǎn)睛】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的解法步驟是解答的關(guān)鍵． 【變式3-2】（23-24九年級(jí)上·河南三門峽·期中）用公式法解方程?ax2+bx?c=0?(a≠0)，下列代入公式正確的是（????） A．x=?b±b2?4a×(?c)2×(?a) B．x=b±b2?4ac2a C．x=b±b2?4a×(?c)2×(?a) D．x=?b±b2?4ac2a 【答案】A 【分析】先將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程的求根公式，即可做出判斷． 【詳解】解：方程?ax2+bx?c=0?(a≠0)可化為ax2?bx+c=0 由求根公式可得：x=?(?b)±(?b)2?4ac2a=b±b2?4ac2a 故選：B 【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，準(zhǔn)確的識(shí)記求根公式是解答本題的關(guān)鍵． 【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用求根公式法解得某方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則（????） A．b=0 B．c=0 C．b2?4ac=0 D．b+c=0 【答案】C 【分析】根據(jù)求根公式法求得一元二次方程的兩個(gè)根x1、x2，由題意得x1+x2=0，可求出b=0． 【詳解】∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩根， ∴Δ=b2?4ac?0且a≠0． 求根公式得到方程的根為x=?b±b2?4ac2a，兩根互為相反數(shù)， 所以x1+x2=0，即?b+b2?4ac2a+ ?b?b2?4ac2a=0， 解得b=0． 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程－公式法，相反數(shù)的意義，熟練掌握用公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵． 知識(shí)點(diǎn)4 因式分解法解一元二次方程 當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程 轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【題型4 因式分解法解一元二次方程】 【例4】（23-24九年級(jí)下·安徽亳州·期中）關(guān)于x的一元二次方程xx?2=2?x的根是（????） A．?1 B．0 C．1和2 D．?1和2 【答案】B 【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【詳解】解：∵xx?2=2?x， ∴xx?2+x?2=0， ∴x+1x?2=0， ∴x+1=0或x?2=0， 解得x=?1或x=2， 故選：D． 【變式4-1】（23-24九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）以下是某同學(xué)解方程x2?3x=?2x+6的過程： 解：方程兩邊因式分解，得xx?3=?2x?3，① 方程兩邊同除以x?3，得x=?2，② ∴原方程的解為x=?2．③ (1)上面的運(yùn)算過程第______步出現(xiàn)了錯(cuò)誤． (2)請(qǐng)你寫出正確的解答過程． 【答案】(1)② (2)過程見解析 【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)作答即可； （2）先移項(xiàng)，然后用因式分解法求解． 【詳解】（1）解：∵x?3可能為0， ∴不能除以x?3， ∴第②步出現(xiàn)了錯(cuò)誤 故答案為②． （2）解：方程兩邊因式分解，得xx?3=?2x?3， 移項(xiàng)，得xx?3+2x?3=0， ∴x?3x+2=0， ∴x1=3，x2=?2． 【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵． 【變式4-2】（23-24九年級(jí)下·安徽安慶·期中）對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，定義運(yùn)算“※”：m※n=m2?2n，例如：2※3=22?2×3=?2．若x※5x=0，則方程的根為（????） A．都為10 B．都為0 C．0或10 D．5或?5 【答案】C 【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是新定義運(yùn)算、解一元二次方程，解題關(guān)鍵是理解題意． 現(xiàn)根據(jù)新定義運(yùn)算得出一元二次方程，再求解即可． 【詳解】解：根據(jù)定義運(yùn)算m※n=m2?2n可得， x※5x=0即為x2?5x·2=0， 即xx?10=0， ∴x1=0，x2=10， 則方程的根為0或10． 故選：C． 【變式4-3】（13-14九年級(jí)·浙江·課后作業(yè)）利用因式分解求解方程 （1）4y2=3y； (2)(2x+3)(2x?3)?x(2x+3)=0． 【答案】（1）y1=0,y2=34；（2）x1=?32,x2=3 【分析】(1)利用移項(xiàng)、提公因式法因式分解求出方程的根； (2)利用提公因式法分解因式求出方程的根. 【詳解】(1) 4y2=3y； 4y2?3y=0 y(4y?3)=0 y=0或4y-3=0 ∴y1=0,y2=34， 故答案為：y1=0,y2=34； (2) (2x+3)(2x?3)?x(2x+3)=0 (2x+3)(x?3)=0 2x+3=0或x?3=0 x1=?32,x2=3， 故答案為：x1=?32,x2=3． 【點(diǎn)睛】本題考查利用因式分解解方程，關(guān)鍵是防止丟掉方程的根．例如：解方程4y2=3y時(shí)，給方程兩邊同除以y，解得y=34，而丟掉y=0的情況． 【題型5 十字相乘法解一元二次方程】 【例5】（23-24九年級(jí)下·廣西百色·期中）以下是解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一種方法：二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，并且把a(bǔ)1，a2，c1，c2排列為： 然后按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若此時(shí)滿足a1c2+a2c1=b，那么ax2+bx+c=0(a≠0)就可以因式分解為(a1x+c1)(a2x+c2)=0，這種方法叫做“十字相乘法”．那么6x2?11x?10=0按照“十字相乘法”可因式分解為（??） A．(x?2)(6x+5)=0 B．(2x+2)(3x?5)=0 C．(x?5)(6x+2)=0 D．(2x?5)(3x+2)=0 【答案】B 【分析】根據(jù)“十字相乘法”分解因式得出6x2?11x?10=(2x?5)(3x+2)即可． 【詳解】∵ ∴6x2?11x?10=2x?53x+2=0． 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵． 【變式5-1】（23-24九年級(jí)上·江西上饒·期末）試用十字相乘法解下列方程 (1)x2+5x+4=0； (2)x2+3x?10=0． 【答案】(1)x1=?4，x2=?1； (2)x1=2，x2=?5． 【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵． （1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，進(jìn)一步求解可得答案． 【詳解】（1）解：x2+5x+4=0 x+4x+1=0 x+4=0或x+1=0 ∴x1=?4，x2=?1； （2）解：x2+3x?10=0 x+5x?2=0 x+5=0或x?2=0 ∴x1=2，x2=?5． 【變式5-2】（23-24九年級(jí)下·廣西梧州·期中）解關(guān)于x的方程x2?7mx+12m2=0得（????） A．x1=?3m，x2=4m B．x1=3m，x2=4m C．x1=?3m，x2=?4m D．x1=3m，x2=?4m 【答案】A 【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用十字相乘法求解即可． 直接運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程即可． 【詳解】解：x2?7mx+12m2=0， x?3mx?4m=0， x?3m=0或x?4m=0， x1=3m，x2=4m． 【變式5-3】（23-24九年級(jí)下·重慶·期中）閱讀下面材料： 材料一：分解因式是將一個(gè)多項(xiàng)式化為若干個(gè)整式積的形式的變形，“十字相乘法”可把某些二次三項(xiàng)式分解為兩個(gè)一次式的乘積，具體做法如下：對(duì)關(guān)于x，y的二次三項(xiàng)式ax2+bxy+cy2，如圖1，將x2項(xiàng)系數(shù)a=a1?a2，作為第一列，y2項(xiàng)系數(shù)c=c1?c2，作為第二列，若a1c2+a2c1恰好等于xy項(xiàng)的系數(shù)b，那么ax2+bxy+cy2可直接分解因式為：ax2+bxy+cy2=a1x+c1ya2x+c2y 示例1：分解因式：x2+5xy+6y2 解：如圖2，其中1=1×1，6=2×3，而5=1×3+1×2； ∴x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)； 示例2：分解因式：x2?4xy?12y2． 解：如圖3，其中1=1×1，?12=?6×2，而?4=1×2+1×(?6)； ∴x2?4xy?12y2=(x?6y)(x+2y)； 材料二：關(guān)于x，y的二次多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f也可以用“十字相乘法”分解為兩個(gè)一次式的乘積．如圖4，將a=a1a2作為一列，c=c1c2作為第二列，f=f1f2作為第三列，若a1c2+a2c1=b，a1f2+a2f1=d，c1f2+c2f1=e，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式分解因式的結(jié)果為：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2； ??? 示例3：分解因式：x2?4xy+3y2?2x+8y?3． 解：如圖5，其中1=1×1，3=(?1)×(?3)，?3=(?3)×1； 滿足?4=1×(?3)+1×(?1)，?2=1×(?3)+1×1,8=(?3)×(?3)+(?1)×1； ∴x2?4xy+3y2?2x+8y?3=(x?y?3)(x?3y+1) 請(qǐng)根據(jù)上述材料，完成下列問題： （1）分解因式：x2+3x+2= ；x2?5xy+6y2+x+2y?20= ； （2）若x，y，m均為整數(shù)，且關(guān)于x，y的二次多項(xiàng)式x2+xy?6y2?2x+my?120可用“十字相乘法”分解為兩個(gè)一次式的乘積，求出m的值，并求出關(guān)于x，y的方程x2+xy?6y2?2x+my?120=?1的整數(shù)解． 【答案】（1）(x+1)(x+2)，(x?3y+5)(x?2y?4)；（2）m=54m=?56，x=?1y=4和x=2y=?4 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某個(gè)字母看成常數(shù)用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情況全部列出求出m值． 【詳解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式=(x+1)(x+2)； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 滿足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式=(x?3y+5)(x?2y?4)； （2）①1?35a1c1f11?2?4a2c2f2??{a1c2+a2c1=?5a1f22+a2f1=1c1f2+c2f1=2 ②1?21013?12??{a1c2+a2c1=1a1f2+a2f1=?2c1f2+c2f1=m??1?2?121310 (x?2y+10)(x+3y?12)=x2+xy?6y2?2x+my?120 ∴m=54 (x?2y?12)(x+3y+10)=x2+xy?6y2?2x+my?120 ∴m=?56 當(dāng)m=54時(shí)，(x?2y+10)(x+3y?12)=?1 {x?2y+10=1x+3y?12=?1或{x?2y+10=?1x+3y?12=1，{x=?75y=245（舍），{x=?1y=4 當(dāng)m=?56時(shí)，(x?2y?12)(x+3y+10)=?1 {x?2y?12=1x+3y+10=?1或{x?2y=12=1x+3y+10=1，{x=2y=?4或{x=655y=25（舍） 綜上所述，方程x2+xy?6y2?2x+my?120=?1的整數(shù)解有{x=?1y=4和{x=2y=?4； 方法二：x2+xy+(?6y2)?2x+my?120=(x+3y)(x?2y)?2x+my?12y =(x+3y+a)(x?2y+b)=(x+3y)(x?2y)+(a+b)x+(3b?2a)y+ab {a+b=?23b?2a=mab=?120?{a=?12b=10或{a=10b=?12?m=54m=?56． 【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清題目中的十字相乘的方法是解題關(guān)鍵． 【題型6 用適當(dāng)方法解一元二次方程】 【例6】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1)x2=4x； (2)x?32?4=0； (3)2x2?4x?5=0； (4)x?1x+2=2x+2． 【答案】(1)x1=4，x2=0 (2)x1=5，x2=1 (3)x1=2+142，x2=2?142 (4)x1=?2，x2=3 【分析】本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵． （1）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答； （3）利用解一元二次方程-公式法進(jìn)行計(jì)算，即可解答； （4）利用解一元二次方程-因式分解法進(jìn)行計(jì)算，即可解答． 【詳解】（1）解：x2?4x=0 xx?4=0， 解得x1=4，x2=0 （2）解：x?3?2x?3+2=0 x?5x?1=0， 解得x1=5，x2=1 （3）解：∵a=2，b=?4，c=?5 ∴b2?4ac=?42?4×2×?5=16??40=56 ∴x=4±562×2=2±142 解得x1=2+142，x2=2?142 （4）解：x?1x+2?2x+2=0 x+2x?1?2=0， x+2x?3=0， ∴x+2=0,x?3=0， 解得x1=?2，x2=3 【變式6-1】（23-24九年級(jí)上·山西太原·期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?(1)x2+4x?2=0； (2)xx+3=5x+15. 【答案】(1)x1=6?2，x2=?6?2 (2)x1=?3，x2=5 【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵． （1）利用配方法解方程； （2）先移項(xiàng)，再利用提公因式法解方程． 【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得x2+4x=2， 配方，得x2+4x+4=2+4， x+22=6， 兩邊開平方，得x+2=±6， 所以，x1=6?2，x2=?6?2； （2）解：原方程可變形為：xx+3=5x+3， xx+3?5x+3=0， x+3x?5=0， x+3=0或x?5=0， 所以，x1=?3，x2=5 【變式6-2】（23-24九年級(jí)下·山東泰安·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?(1)3x2=54； (2)x+13x?1=1； (3)4x2x+1=32x+1； (4)x2+6x=10． 【答案】(1)x1=32，x2=?32 (2)x1=?1+73，x2=?1?73 (3)x1=?12，x2=34 (4)x1=?3+15，x2=?3?15 【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求解即可； （2）方程整理后，利用求根公式法求解即可； （3）方程利用因式分解法求解即可； （4）方程利用配方法求解即可． 【詳解】（1）解：方程整理得：x2=18， 開方得：x=±32， 解得：x1=32，x2=?32； （2）解：方程整理得：3x2+2x?2=0， 這里a=3，b=2，c=?2， ∵△=22?4×3×(?2)=4+24=28>0， ∴x=?2±276=?1±73， 解得：x1=?1+73，x2=?1?73； （3）解：方程移項(xiàng)得：4x(2x+1)?3(2x+1)=0， 分解因式得：(2x+1)(4x?3)=0， 所以2x+1=0或4x?3=0， 解得：x1=?12，x2=34； （4）解：配方得：x2+6x+5=15，即(x+3)2=15， 開方得：x+3=±15， 解得：x1=?3+15，x2=?3?15． 【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程?因式分解法，公式法，直接開平方法，配方法，熟練掌握根據(jù)方程的特征選擇恰當(dāng)?shù)慕夥ㄊ墙獗绢}的關(guān)鍵． 【變式6-3】（23-24九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?(1)(x+2)2?25=0； (2)x2+4x?5=0； (3)2x2?3x+1=0． 【答案】(1)x1=3，x2=?7 (2)x1=1，x2=?5 (3)x1=12，x2=1 【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【詳解】（1）解：(x+2)2?25=0， (x+2?5)(x+2+5)=0， ∴x?3=0或x+7=0， 解得x1=3，x2=?7； （2）解：x2+4x?5=0， x?1x+5=0， ∴x?1=0或x+5=0， 解得x1=1，x2=?5； （3）解：2x2?3x+1=0， 2x?1x?1=0， ∴2x?1=0或x?1=0， 解得x1=12，x2=1． 【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想)． 【題型7 用指定方法解一元二次方程】 【例7】（23-24九年級(jí)下·山東日照·期末）用指定的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接開方法） （2）x2+2 x﹣3=0（配方法） （3）（x+1）（x-2）=4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法） 【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2． 【分析】（1）直接利用開方法進(jìn)行求解即可得到答案； （2）直接利用配方法進(jìn)行求解即可得到答案； （3）直接利用公式法進(jìn)行求解即可得到答案； （4）直接利用因式分解法進(jìn)行求解即可得到答案； 【詳解】解：（1）∵4x?12?36=0 ∴（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±3， ∴x1＝4，x2＝﹣2； （2）∵x2+2x＝3， ∴x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x1＝1，x2＝﹣3； （3）∵x2﹣x﹣6＝0， ∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25， ∴x＝1±252=1±52， ∴x1＝3，x2＝﹣2； （4）∵2x+1?xx+1=0 ∴（x+1）（2﹣x）＝0， ∴x+1＝0或2﹣x＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元二次方程的方法. 【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）用指定的方法解方程： (1)x2?4x?1=0（用配方法） (2)3x2?11x=?5（用公式法） (3)5x?32=x2?5（用因式分解法） (4)2y2+4y=y+2（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?【答案】(1)x1=5+2，x2=?5+2 (2)x1=11+136，x2=11?136 (3)x1=3，x2=52 (4)y1=12，y2=?2 【分析】本題考查了解一元二次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵． （1）運(yùn)用配方法解方程，先移項(xiàng)再配方，然后開方即可作答． （2）先化為一般式，再根據(jù)Δ=b2?4ac算出，以及代入x=?b±Δ2a進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可作答． （3）先移項(xiàng)，再提取公因式，令每個(gè)因式為0，進(jìn)行解出x的值，即可作答． （4）先移項(xiàng)，再提取公因式，令每個(gè)因式為0，進(jìn)行解出x的值，即可作答． 【詳解】（1）解：x2?4x?1=0 移項(xiàng)，得x2?4x=1 配方，得x2?4x+4=1+4，即x?22=5 ∴x?2=±5 解得x1=5+2，x2=?5+2； （2）解：3x2?11x=?5 3x2?11x+5=0 Δ=b2?4ac=121?4×3×5=121?108=13 ∴x=11±136 解得x1=11+136，x2=11?136； （3）解：5x?32=x2?5 5x?32?x2?5=0 5x?32?x?3x+3=0 x?35x?3?x+3=x?34x?18=0 則x?3=0，4x?18=0 解得x1=3，x2=52； （4）解：2y2+4y=y+2 2y2+4y?y+2=0 2yy+2?y+2=0 2y?1y+2=0 ∴2y?1=0，y+2=0 解得y1=12，y2=?2． 【變式7-2】（23-24九年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）用指定的方法解方程： (1)12x2?2x?5=0（用配方法） (2)x2=8x+20（用公式法） (3)x?32+4xx?3=0（用因式分解法） (4)x+23x?1=10（用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?【答案】(1)x1=2+14,x2=2?14 (2)x1=10,x2=?2 (3)x1=3,x2=0.6 (4)x1=?3,x2=43 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）先將給出的方程進(jìn)行變形，然后利用因式分解法解方程即可． 【詳解】（1）移項(xiàng)，得：12x2?2x=5， 系數(shù)化1，得：x2?4x=10， 配方，得：x2?4x+4=14， (x?2)2=14， x?2=±14， ∴x1=2+14，x2=2?14； （2）原方程可變形為x2?8x?20=0， a=1，b=?8，c=?20， Δ=(?8)2?4×1×?20=64+80=144>0，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴x=?b±b2?4ac2a=8±1442=8±122， ∴x1=10，x2=?2； （3）原方程可變形為：x?3x?3+4x=0， 整理得：x?35x?3=0， 解得x1=3，x2=0.6； （4）原方程可變形為：3x2+5x?2?10=0， 整理得：3x2+5x?12=0， 3x?4x+3=0， ∴x1=?3，x2=43 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有關(guān)知識(shí)，掌握配方法的基本步驟，一元二次方程的求根公式是解題關(guān)鍵． 【變式7-3】（23-24九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）按指定的方法解下列方程： (1)x2=8x+5（配方法）； (2)2y2+7y+3=0（公式法）； (3)x+22=3x+6（因式分解法）． 【答案】(1)x1=5，x2=?1． (2)x1=?3，x2=?12． (3)x1=?2，x2=1． 【分析】（1）先把方程化為x2?8x+16=25，可得x?42=25，再利用直接開平方法解方程即可； （2）先計(jì)算△=72?4×2×3=45?24=25>0，再利用求根公式解方程即可； （3）先移項(xiàng)，再把方程左邊分解因式可得x+2x?1=0，再化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可． 【詳解】（1）解：x2=8x+5， 移項(xiàng)得：x2?8x=5， ∴x2?8x+16=25， 配方得：x?42=25， ∴x?4=5或x?4=?5， 解得：x1=5，x2=?1． （2）解：2y2+7y+3=0， ∴△=72?4×2×3=45?24=25>0， ∴x=?7±254=?7±54， ∴x1=?3，x2=?12． （3）解：x+22=3x+6， 移項(xiàng)得：x+22?3x+2=0， ∴x+2x?1=0， ∴x+2=0或x?1=0， 解得：x1=?2，x2=1． 【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵． 【題型8 用換元法解一元二次方程】 【例8】（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知a2+b2a2+b2+2?15=0，求a2+b2的值． 【答案】3 【分析】先用換元法令a2+b2=x(x>0)，再解關(guān)于x的一元二次方程即可． 【詳解】解：令a2+b2=x(x>0)，則原等式可化為： x(x+2)?15=0， 解得：x1=3,x2=?5， ∵x>0， ∴x=3，即a2+b2=3． a2+b2的值為3． 【點(diǎn)睛】本題考查了換元法、一元二次方程的解法，注意a2+b2為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵． 【變式8-1】（23-24九年級(jí)下·安徽合肥·期中）關(guān)于x的方程x2+x2+2x2+2x?3=0，則x2+x的值是（　?。?A．?3 B．1 C．?3或1 D．3或?1 【答案】A 【分析】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關(guān)鍵． 設(shè)x2+x=t，則此方程可化為t2+2t?3=0，然后用因式分解法求解即可． 【詳解】解：設(shè)x2+x=t，則此方程可化為t2+2t?3=0， ∴t?1t+3=0， ∴t?1=0或t+3=0， 解得t1=1，t2=?3， ∴x2+x的值是1或?3． ∵x2+x=?3，即x2+x+3=0， Δ=12?4×1×3=?11

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

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