題型一 動(dòng)態(tài)平衡問題
1．動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài)．
2．常用方法
(1)解析法
對研究對象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變量的函數(shù)表達(dá)式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化．
(2)圖解法
此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力方向不變的情況．一般按照以下流程分析：
eq \x(受力分析)eq \(―――――――→,\s\up7(化“動(dòng)”為“靜”))eq \x(畫不同狀態(tài)下的平衡圖)eq \(―――――――→,\s\up7(“靜”中求“動(dòng)”))eq \x(確定力的變化)
(3)相似三角形法
在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解(構(gòu)建三角形時(shí)可能需要畫輔助線)．
圖解法
例1 (多選)如圖1所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中( )
圖1
A．斜面對球的支持力逐漸增大
B．斜面對球的支持力逐漸減小
C．擋板對小球的彈力先減小后增大
D．擋板對小球的彈力先增大后減小
答案 BC
解析 對小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個(gè)不同位置力的受力分析圖，由圖看出，斜面對小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時(shí)，彈力FN2最小，故選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤．
解析法
例2 如圖2所示，在豎直放置的穹形支架上，一根長度不變且不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑滑輪懸掛一重物G.現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點(diǎn)，另一端從B點(diǎn)沿支架緩慢地向C點(diǎn)靠近(C點(diǎn)與A點(diǎn)等高)．則在此過程中繩中拉力大小( )
圖2
A．先變大后不變B．先變大后變小
C．先變小后不變D．先變小后變大
答案 A
解析 對滑輪受力分析如圖甲所示，由于跨過滑輪的繩子拉力一定相等，即F1＝F2，由幾何關(guān)系易知繩子拉力與豎直方向夾角相等，設(shè)為θ，可知：
F1＝F2＝eq \f(mg,2cs θ)①
如圖乙所示，設(shè)繩長為L，由幾何關(guān)系
eq \f(d1,sin θ)＋eq \f(d2,sin θ)＝L，
即sin θ＝eq \f(d1＋d2,L)＝eq \f(d,L)②
其中d為兩端點(diǎn)間的水平距離，由B點(diǎn)向C點(diǎn)移動(dòng)過程中，d先變大后不變，因此θ先變大后不變，由①式可知繩中拉力先變大后不變，故A正確．
相似三角形法
例3 (2020·山西大同市開學(xué)考試)如圖3所示，AC是上端帶光滑輕質(zhì)定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計(jì)的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點(diǎn)，另一端B懸掛一重力為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪，用力F拉繩，開始時(shí)∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°.此過程中，輕桿BC所受的力( )
圖3
A．逐漸減小 B．逐漸增大
C．大小不變 D．先減小后增大
答案 C
解析 以結(jié)點(diǎn)B為研究對象，分析受力情況，如圖所示，根據(jù)平衡條件可知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反．根據(jù)相似三角形得eq \f(F合,FN)＝eq \f(AC,BC)，且F合＝G，則有FN＝eq \f(BC,AC)G，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，即FN不變，則輕桿BC所受的力大小不變，C正確，A、B、D錯(cuò)誤．
1.(單個(gè)物體的動(dòng)態(tài)平衡問題)(多選)(2020·廣東惠州一中質(zhì)檢)如圖4所示，在粗糙水平地面上放著一個(gè)截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．設(shè)墻壁對B的支持力為F1，A對B的支持力為F2，若把A向右移動(dòng)少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是( )
圖4
A．F1減小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2減小
答案 AD
解析 法一：解析法
以球B為研究對象，受力分析如圖甲所示，可得出F1＝Gtan θ，F(xiàn)2＝eq \f(G,cs θ)，當(dāng)A向右移動(dòng)少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，故A、D正確．
法二：圖解法
先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖乙所示的矢量三角形，在θ角減小的過程中，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都減小，故A、D正確．
2．(多個(gè)物體的動(dòng)態(tài)平衡問題) (多選)(2019·全國卷Ⅰ·19)如圖5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪．一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動(dòng)N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中( )
圖5
A．水平拉力的大小可能保持不變
B．M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
答案 BD
解析 對N進(jìn)行受力分析如圖所示，因?yàn)镹的重力與水平拉力F的合力和細(xì)繩的拉力FT是一對平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細(xì)繩的拉力也一直增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會一直增大，若mNgF1，故A、D錯(cuò)誤，B、C正確．
3．(多選)(2016·全國卷Ⅰ·19)如圖3，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則( )
圖3
A．繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化
B．物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化
C．連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化
D．物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化
答案 BD
解析 由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對a受力分析得，繩的拉力FT′＝mag，所以物塊a受到的繩的拉力保持不變．滑輪兩側(cè)繩的拉力大小相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對b進(jìn)行受力分析，如圖所示．由平衡條件得：FTcs β＋Ff＝Fcs α，F(xiàn)sin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項(xiàng)正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項(xiàng)正確．
4.(2020·安徽黃山市高三期末)如圖4所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點(diǎn)，系著一根不可伸長的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環(huán)．現(xiàn)將木棒繞其左端逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，則關(guān)于輕繩對M、N兩點(diǎn)的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是( )
圖4
A．F1和F2都變大
B．F1變大，F(xiàn)2變小
C．F1和F2都變小
D．F1變小，F(xiàn)2變大
答案 C
解析 由于是一根不可伸長的柔軟輕繩，所以繩子的拉力相等．木棒繞其左端逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對小金屬環(huán)的合力等于重力，保持不變，所以繩子上的拉力變小，選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤．
5.(2020·廣東高三模擬)如圖5所示，豎直墻上連有細(xì)繩AB，輕彈簧的一端與B相連，另一端固定在墻上的C點(diǎn)．細(xì)繩BD與彈簧拴接在B點(diǎn)，現(xiàn)給BD一水平向左的拉力F，使彈簧處于伸長狀態(tài)，且AB、CB與墻的夾角均為45°.若保持B點(diǎn)不動(dòng)，將BD繩繞B點(diǎn)沿順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中BD繩的拉力F的變化情況是( )
圖5
A．變小 B．變大
C．先變小后變大 D．先變大后變小
答案 A
解析 要保持B點(diǎn)的位置不變，BD繩順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度最大為45°，由于B點(diǎn)的位置不變，因此彈簧的彈力不變，由圖解可知，AB繩的拉力減小，BD繩的拉力也減小，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．
6．(2020·河南信陽市高三上學(xué)期期末)如圖6所示，足夠長的光滑平板AP與BP用鉸鏈連接，平板AP與水平面成53°角固定不動(dòng)，平板BP可繞水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的均勻圓柱體O放在兩板間，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，重力加速度為g.在使BP板由水平位置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置的過程中，下列說法正確的是( )
圖6
A．平板AP受到的壓力先減小后增大
B．平板AP受到的壓力先增大后減小
C．平板BP受到的最小壓力為0.6mg
D．平板BP受到的最大壓力為eq \f(4,3)mg
答案 D
解析 圓柱體受重力、斜面AP的彈力F1和擋板BP的彈力F2，將F1與F2合成為F＝mg，如圖
圓柱體一直處于平衡狀態(tài)，故F1和F2的合力F一定與重力等值、反向、共線．從圖中可以看出，當(dāng)擋板PB由水平位置緩慢地轉(zhuǎn)向豎直位置的過程中，F(xiàn)1越來越大，F(xiàn)2先變小后變大，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；由幾何關(guān)系可知，當(dāng)F2的方向與AP的方向平行(即與F1的方向垂直)時(shí)，F(xiàn)2有最小值：F2min＝mgsin 53°＝0.8mg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)擋板BP豎直時(shí)，F(xiàn)2最大，為：F2max＝mg·tan 53°＝eq \f(4,3)mg，選項(xiàng)D正確．
7. (2020·黑龍江哈爾濱市三中高三模擬)如圖7所示，斜面固定，平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧一端連接物塊A，另一端固定，最初A靜止．在A上施加與斜面成30°角的恒力F，A仍靜止，下列說法正確的是( )
圖7
A．A對斜面的壓力一定變小
B．A對斜面的壓力可能不變
C．A對斜面的摩擦力一定變大
D．A對斜面的摩擦力可能變?yōu)榱?br>答案 D
解析 設(shè)斜面傾角為θ，對物塊進(jìn)行受力分析，垂直于斜面方向，最初支持力等于mgcs θ，施加恒力F后，支持力等于mgcs θ＋Fsin 30°，支持力一定增大．根據(jù)牛頓第三定律，A對斜面的壓力一定變大，故A、B錯(cuò)誤；平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧，最初摩擦力方向可能向上，可能向下，也可能為0，施加恒力F后，F(xiàn)沿斜面向上的分力為Fcs 30°，由于F大小未知，摩擦力可能仍向上，可能等于0，也可能沿斜面向下，摩擦力的大小可能增大，也可能減小，故C錯(cuò)誤，D正確．
8．(多選)如圖8所示，傾角為α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物體a放在斜劈的斜面上，輕質(zhì)細(xì)線一端固定在物體a上，另一端繞過光滑的定滑輪1固定在c點(diǎn)，滑輪2下懸掛物體b，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．若將固定點(diǎn)c向右移動(dòng)少許，而物體a與斜劈始終靜止，則( )
圖8
A．細(xì)線對物體a的拉力增大
B．斜劈對地面的壓力減小
C．斜劈對物體a的摩擦力減小
D．地面對斜劈的摩擦力增大
答案 AD
解析 對滑輪2和物體b受力分析，受重力和兩個(gè)拉力作用，如圖甲所示．根據(jù)平衡條件有mbg＝2FTcs θ，解得FT＝eq \f(mbg,2cs θ)，若將固定點(diǎn)c向右移動(dòng)少許，則θ增大，拉力FT增大，A項(xiàng)正確；對斜劈、物體a、物體b整體受力分析，受重力、細(xì)線的拉力、地面的靜摩擦力和支持力作用，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件有FN＝G總－FTcs θ＝G總－eq \f(mbg,2)，恒定不變，根據(jù)牛頓第三定律可知，斜劈對地面的壓力不變，B項(xiàng)錯(cuò)誤；地面對斜劈的靜摩擦力Ff＝FTsin θ＝eq \f(mbg,2)tan θ，隨著θ的增大，摩擦力增大，D項(xiàng)正確；對物體a受力分析，受重力、支持力、拉力和靜摩擦力作用，由于不知道拉力與重力沿斜面向下的分力的大小關(guān)系，故無法判斷斜劈對物體a的靜摩擦力的方向，即不能判斷靜摩擦力的變化情況，C項(xiàng)錯(cuò)誤．
9.(2020·廣東茂名市測試)如圖9所示，質(zhì)量分別為3m和m的兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a、b，中間用一細(xì)線連接，并通過另一細(xì)線將小球a與天花板上的O點(diǎn)相連，為使小球a和小球b均處于靜止?fàn)顟B(tài)，且Oa細(xì)線向右偏離豎直方向的夾角恒為37°，需要對小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8.重力加速度為g，則當(dāng)F的大小達(dá)到最小時(shí)，Oa細(xì)線對小球a的拉力大小為( )
圖9
A．2.4mg B．3mg
C．3.2mg D．4mg
答案 C
解析 以兩個(gè)小球組成的整體為研究對象，作出F在三個(gè)方向時(shí)整體的受力圖．根據(jù)平衡條件得知F與FT的合力與總重力總是大小相等、方向相反的，由力的合成圖可以知道當(dāng)F與繩子Oa垂直時(shí)F有最小值，即圖中2位置，此時(shí)Oa細(xì)線對小球a的拉力大小為FT＝4mgcs 37°＝3.2mg，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤．
10.(八省聯(lián)考·重慶·7)如圖10所示，垂直墻角有一個(gè)截面為半圓的光滑柱體，用細(xì)線拉住的小球靜止靠在接近半圓底端的M點(diǎn)．通過細(xì)線將小球從M點(diǎn)緩慢向上拉至半圓最高點(diǎn)的過程中，細(xì)線始終保持在小球處與半圓相切．下列說法正確的是( )
圖10
A．細(xì)線對小球的拉力先增大后減小
B．小球?qū)χw的壓力先減小后增大
C．柱體受到水平地面的支持力逐漸減小
D．柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小
答案 D
解析 以小球?yàn)閷ο螅O(shè)小球所在位置沿切線方向與豎直方向夾角為θ，沿切線方向有FT＝mgcs θ，沿半徑方向有FN＝mgsin θ，通過細(xì)線將小球從M點(diǎn)緩慢向上拉至半圓最高點(diǎn)的過程中θ增大，所以細(xì)線對小球的拉力減小，小球?qū)χw的壓力增大，故A、B錯(cuò)誤；以柱體為對象，豎直方向有F地＝Mg＋FNsin θ＝Mg＋mgsin2θ，水平方向有F墻＝FNcs θ＝mgsin θcs θ＝eq \f(1,2)mgsin 2θ，θ增大，柱體受到水平地面的支持力逐漸增大；柱體對豎直墻面的壓力先增大后減小，當(dāng)θ＝45°時(shí)柱體對豎直墻面的壓力最大，故D正確，C錯(cuò)誤．
11．(多選)如圖11所示裝置，兩根細(xì)繩拴住一小球，保持兩細(xì)繩間的夾角θ＝120°不變，若把整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，CA繩的拉力F1、CB繩的拉力F2的大小變化情況是( )
圖11
A．F1先變小后變大 B．F1先變大后變小
C．F2一直變小 D．F2最終變?yōu)榱?br>答案 BCD
解析 如圖所示，畫出小球的受力分析圖，構(gòu)建力的矢量三角形，由于這個(gè)三角形中重力不變，另兩個(gè)力間的夾角(180°－θ)保持不變，這類似于圓周角與對應(yīng)弦長的關(guān)系，作初始三角形的外接圓(任意兩邊的中垂線交點(diǎn)即外接圓圓心)，然后讓另兩個(gè)力的交點(diǎn)在圓周上按F1、F2的方向變化規(guī)律滑動(dòng)，力的矢量三角形的外接圓正好是以初態(tài)時(shí)的F2為直徑的圓周，知F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小，最終CA沿豎直方向，此時(shí)F1＝mg，F(xiàn)2變?yōu)榱?，故選B、C、D.
12.傾角為θ＝37°的斜面與水平面保持靜止，斜面上有一重為G的物體A，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.現(xiàn)給A施加一水平力F，如圖12所示．設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，如果物體A能在斜面上靜止，水平推力F與G的比值不可能是( )
圖12
A．3 B．2
C．1 D．0.5
答案 A
解析 設(shè)物體剛好不下滑時(shí)F＝F1，則F1cs θ＋μFN＝Gsin θ，F(xiàn)N＝F1sin θ＋Gcs θ，得eq \f(F1,G)＝eq \f(sin θ－μcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(2,11)；設(shè)物體剛好不上滑時(shí)F＝F2，則F2cs θ＝μFN＋Gsin θ，F(xiàn)N＝F2sin θ＋Gcs θ，得eq \f(F2,G)＝eq \f(sin θ＋μcs θ,cs θ－μsin θ)＝2，即eq \f(2,11)≤eq \f(F,G)≤2，故F與G的比值不可能為3，故選A.
13.(2020·山西“六?！备呷?lián)考)跨過定滑輪的輕繩兩端分別系著物體A和物體B，物體A放在傾角為θ的斜面上，與A相連的輕繩和斜面平行，如圖13所示．已知物體A的質(zhì)量為m，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ

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