1．兩類問題的特點
2．突破臨界和極值問題的方法
3.突破共點力平衡中的臨界、極值問題的步驟
?考向1 極值問題
(2022·浙江1月選考)如圖所示，學校門口水平地面上有一質(zhì)量為m的石墩，石墩與水平地面間的動摩擦因數(shù)為μ，工作人員用輕繩按圖示方式勻速移動石墩時，兩平行輕繩與水平面間的夾角均為θ，則下列說法正確的是( B )
A．輕繩的合拉力大小為eq \f(μmg,cs θ)
B．輕繩的合拉力大小為eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)
C．減小夾角θ，輕繩的合拉力一定減小
D．輕繩的合拉力最小時，地面對石墩的摩擦力也最小
[解析] 設兩根輕繩的合拉力為F，對石墩受力分析如圖1，根據(jù)平衡條件有Fcs θ＝f，F(xiàn)sin θ＋FN＝mg，且μFN＝f，聯(lián)立可得F＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)，A錯誤，B正確；上式變形得F＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2)sin?θ＋α?)，其中tan α＝eq \f(1,μ)，根據(jù)三角函數(shù)特點，由于不知道開始時(θ＋α)的值，因此減小θ，輕繩的合拉力F不一定減小，C錯誤；根據(jù)上述討論，當θ＋α＝90°時，輕繩的合拉力F最小，而摩擦力f＝Fcs θ＝eq \f(μmgcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,1＋μtan θ)，可知增大夾角θ，摩擦力一直減小，當θ趨近于90°時，摩擦力最小，故輕繩的合拉力F最小時，地面對石墩的摩擦力不是最小，D錯誤。(本題的C、D選項還可以這樣判斷：設F′為地面對石墩的支持力FN與摩擦力f的合力，β是摩擦力與F′間的夾角，則tan β＝eq \f(FN,f)＝eq \f(1,μ)，即不論FN、f怎么變化，合力F′的方向總保持不變，因此可將四力平衡轉化為如圖2所示的三力平衡問題，由矢量三角形可知，隨著θ減小，繩子的合拉力F可能先減小后增大，也可能一直增大，關鍵是看初始時θ的大?。荒Σ亮εc支持力的合力F′隨著θ的減小而增大，故地面對石墩的摩擦力f隨著θ的減小一直增大，即f的最小值不與輕繩合拉力F的最小值對應，故C、D錯誤。)
(1)受力分析中的臨界與極值問題常與動態(tài)平衡問題結合起來考查，應用圖解法進行分析，作出力的平行四邊形或矢量三角形，常常有助于直觀地得到結果。
(2)由靜摩擦力變?yōu)榛瑒幽Σ亮?、摩擦力方向改變、彈力有無及方向改變常常是臨界與極值問題中要特別注意的。
?考向2 臨界問題
(2024·海南海口月考)如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在一固定斜面上，當斜面傾角為30°時恰能沿斜面勻速下滑。對物體施加一大小為F、方向水平向右的恒力，物體可沿斜面勻速向上滑行。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角增大并超過某一臨界角θ0時，不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行，求：
(1)物體與斜面間的動摩擦因數(shù)；
(2)這一臨界角θ0的大小。
[解析] (1)如圖甲所示，未施加力F時，對物體受力分析，由平衡條件得mgsin 30°＝μmgcs 30°
解得μ＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)。
(2)設斜面傾角為α，受力情況如圖乙所示，由平衡條件得Fcs α＝mgsin α＋Ff′，
FN′＝mgcs α＋Fsin α
Ff′＝μFN′
解得F＝eq \f(mgsin α＋μmgcs α,cs α－μsin α)
當cs α－μsin α＝0，即tan α＝eq \r(3)時，F(xiàn)→∞，即“不論水平恒力F多大，都不能使物體沿斜面向上滑行”，此時，臨界角θ0＝α＝60°。
[答案] (1)eq \f(\r(3),3) (2)60°
【跟蹤訓練】
(極值問題)如圖所示，三根長度均為l的輕繩分別連接于C、D兩點，A、B兩端被懸掛在水平天花板上，相距2l。現(xiàn)在C點上懸掛一個質(zhì)量為m的重物，為使CD繩保持水平，在D點上可施加的力的最小值為( C )
A．mg B．eq \f(\r(3),3)mg
C．eq \f(1,2)mg D．eq \f(1,4)mg
[解析] 由對稱性可知，AC繩和BD繩與豎直方向的夾角相等，設均為θ，由幾何關系可知sin θ＝eq \f(\f(2l－l,2),l)＝eq \f(1,2)，則θ＝30°。對C點進行受力分析，由平衡條件可知，繩CD對C點的拉力FCD＝mgtan 30°，對D點進行受力分析，繩CD對D點的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，BD繩對D點的拉力F1方向一定，又F1與在D點施加的力F3的合力和F2等值反向，如圖所示，由圖知當F3垂直于繩BD時，F(xiàn)3最小，由幾何關系可知，F(xiàn)3min＝F2sin 60°＝eq \f(1,2)mg，C正確。
(臨界問題)某位同學用筷子將質(zhì)量分布均勻的小球夾起懸停在空中，如圖所示，已知球心O與兩根筷子在同一豎直面內(nèi)，小球質(zhì)量為0.2 kg，筷子與豎直方向之間的夾角均為37°，筷子與小球表面間的動摩擦因數(shù)為0.875(最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8。則每根筷子對小球的壓力至少為( C )
A．5 N B．7.5 N
C．10 N D．12.5 N
[解析] 筷子對小球的壓力最小，且小球懸停在空中，此時小球有下滑的趨勢，摩擦力為最大靜摩擦力，沿筷子向上，小球受力平衡。在豎直方向上有2fcs θ－2Nsin θ＝mg，f＝μN，解得N＝eq \f(mg,2?μcs θ－sin θ?)＝10 N，A、B、D錯誤，C正確。臨界問題
當某物理量變化時，會引起其他物理量的變化，從而使物體所處的平衡狀態(tài)能夠“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”。在問題描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述
極值問題
一般是指在力的變化過程中出現(xiàn)最大值或最小值問題
極限法
正確進行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要把某個物理量推向極大或極小
數(shù)學
分析法
通過對問題分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關系(畫出函數(shù)圖像)，用數(shù)學方法求極值(如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角函數(shù)極值)
圖解
分析法
根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值和最小值

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