1.學(xué)會(huì)用圖解法、解析法等解決動(dòng)態(tài)平衡問題.2.會(huì)分析平衡中的臨界與極值問題.
NEIRONGSUOYIN
題型二　平衡中的臨界、極值問題
1.動(dòng)態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).2.常用方法(1)解析法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力示意圖，根據(jù)物體的平衡條件列方程，得到因變量與自變量的函數(shù)表達(dá)式(通常為三角函數(shù)關(guān)系)，最后根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化.
(2)圖解法此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個(gè)力是恒力、另一個(gè)力方向不變的情況.一般按照以下流程分析：
(3)相似三角形法在三力平衡問題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求解(構(gòu)建三角形時(shí)可能需要畫輔助線).
例1　(多選)如圖1所示，在傾角為α的斜面上，放一質(zhì)量為m的小球，小球和斜面及擋板間均無摩擦，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中A.斜面對(duì)球的支持力逐漸增大B.斜面對(duì)球的支持力逐漸減小C.擋板對(duì)小球的彈力先減小后增大D.擋板對(duì)小球的彈力先增大后減小
解析　對(duì)小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和擋板的彈力FN2，如圖，當(dāng)擋板繞O點(diǎn)逆時(shí)針緩慢地轉(zhuǎn)向水平位置的過程中，小球所受的合力為零，根據(jù)平衡條件得知，F(xiàn)N1和FN2的合力與重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三個(gè)不同位置力的受力分析圖，
由圖看出，斜面對(duì)小球的支持力FN1逐漸減小，擋板對(duì)小球的彈力FN2先減小后增大，當(dāng)FN1和FN2垂直時(shí)，彈力FN2最小，故選項(xiàng)B、C正確，A、D錯(cuò)誤.
例2　(2020·廣東中山市月考)如圖2，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設(shè)墻面對(duì)球的壓力大小為FN1，木板對(duì)球的壓力大小為FN2.以木板與墻連接點(diǎn)所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置.不計(jì)一切摩擦，在此過程中A.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小B.FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大C.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小D.FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大
解析　以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，分析受力情況，受重力G、墻面的支持力FN1和木板的支持力FN2.
將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置的過程中，θ增大，tan θ增大，sin θ增大，則FN1和FN2都始終減小，選項(xiàng)C正確.
例3　(2020·山西大同市開學(xué)考試)如圖3所示，AC是上端帶光滑輕質(zhì)定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計(jì)的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點(diǎn)，另一端B懸掛一重力為G的物體，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪，用力F拉繩，開始時(shí)∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到∠BCA＝30°.此過程中，輕桿BC所受的力A.逐漸減小 B.逐漸增大C.大小不變 D.先減小后增大
解析　以結(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象，分析受力情況，如圖所示，根據(jù)平衡條件可知，F(xiàn)、FN的合力F合與G大小相等、方向相反.根據(jù)相似三角形得 ，且F合＝G，則有FN＝ G，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小的過程中，AC、BC不變，即FN不變，則輕桿BC所受的力大小不變，C正確，A、B、D錯(cuò)誤.
1.(單個(gè)物體的動(dòng)態(tài)平衡問題)(多選)(2020·廣東惠州一中質(zhì)檢)如圖4所示，在粗糙水平地面上放著一個(gè)截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻之間放一光滑圓球B，已知A的圓半徑為球B的半徑的3倍，球B所受的重力為G，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài).設(shè)墻壁對(duì)B的支持力為F1，A對(duì)B的支持力為F2，若把A向右移動(dòng)少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則F1、F2的變化情況分別是A.F1減小 B.F1增大C.F2增大 D.F2減小
解析　法一：解析法以球B為研究對(duì)象，受力分析如圖甲所示，可得出F1＝Gtan θ，F(xiàn)2＝ ，當(dāng)A向右移動(dòng)少許后，θ減小，則F1減小，F(xiàn)2減小，故A、D正確.
法二：圖解法先根據(jù)平衡條件和平行四邊形定則畫出如圖乙所示的矢量三角形，在θ角減小的過程中，從圖中可直觀地看出，F(xiàn)1、F2都減小，故A、D正確.
2.(多個(gè)物體的動(dòng)態(tài)平衡問題)(多選)(2019·全國(guó)卷Ⅰ·19)如圖5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪.一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動(dòng)N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°.已知M始終保持靜止，則在此過程中A.水平拉力的大小可能保持不變B.M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加
解析　對(duì)N進(jìn)行受力分析如圖所示，因?yàn)镹的重力與水平拉力F的合力和細(xì)繩的拉力FT是一對(duì)平衡力，從圖中可以看出水平拉力的大小逐漸增大，細(xì)繩的拉力也一直增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；
M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，若mNg≥mMgsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會(huì)一直增大，若mNgF1，故A、D錯(cuò)誤，B、C正確.
3.(多選)(2016·全國(guó)卷Ⅰ·19)如圖3，一光滑的輕滑輪用細(xì)繩OO′懸掛于O點(diǎn)；另一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物塊b.外力F向右上方拉b，整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若F方向不變，大小在一定范圍內(nèi)變化，物塊b仍始終保持靜止，則A.繩OO′的張力也在一定范圍內(nèi)變化B.物塊b所受到的支持力也在一定范圍內(nèi)變化C.連接a和b的繩的張力也在一定范圍內(nèi)變化D.物塊b與桌面間的摩擦力也在一定范圍內(nèi)變化
解析　由于物塊a、b均保持靜止，各繩角度保持不變，對(duì)a受力分析得，繩的拉力FT′＝mag，所以物塊a受到的繩的拉力保持不變.滑輪兩側(cè)繩的拉力大小相等，所以b受到繩的拉力大小、方向均保持不變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；a、b受到繩的拉力大小、方向均不變，所以O(shè)O′的張力不變，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)b進(jìn)行受力分析，如圖所示.由平衡條件得：FTcs β＋Ff＝Fcs α，F(xiàn)sin α＋FN＋FTsin β＝mbg.其中FT和mbg始終不變，當(dāng)F大小在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，支持力在一定范圍內(nèi)變化，B選項(xiàng)正確；摩擦力也在一定范圍內(nèi)發(fā)生變化，D選項(xiàng)正確.
解析　由于是一根不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩，所以繩子的拉力相等.木棒繞其左端逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度后，繩子之間的夾角變小，繩對(duì)小金屬環(huán)的合力等于重力，保持不變，所以繩子上的拉力變小，選項(xiàng)C正確，A、B、D錯(cuò)誤.
4.(2020·安徽黃山市高三期末)如圖4所示，在水平放置的木棒上的M、N兩點(diǎn)，系著一根不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩，繩上套有一光滑小金屬環(huán).現(xiàn)將木棒繞其左端逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度，則關(guān)于輕繩對(duì)M、N兩點(diǎn)的拉力F1、F2的變化情況，下列判斷正確的是A.F1和F2都變大B.F1變大，F(xiàn)2變小C.F1和F2都變小D.F1變小，F(xiàn)2變大
5.(2020·廣東高三模擬)如圖5所示，豎直墻上連有細(xì)繩AB，輕彈簧的一端與B相連，另一端固定在墻上的C點(diǎn).細(xì)繩BD與彈簧拴接在B點(diǎn)，現(xiàn)給BD一水平向左的拉力F，使彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，且AB、CB與墻的夾角均為45°.若保持B點(diǎn)不動(dòng)，將BD繩繞B點(diǎn)沿順時(shí)針方向緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中BD繩的拉力F的變化情況是A.變小 B.變大C.先變小后變大 D.先變大后變小
解析　要保持B點(diǎn)的位置不變，BD繩順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的角度最大為45°，由于B點(diǎn)的位置不變，因此彈簧的彈力不變，由圖解可知，AB繩的拉力減小，BD繩的拉力也減小，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤.
6.(2020·河南信陽市高三上學(xué)期期末)如圖6所示，足夠長(zhǎng)的光滑平板AP與BP用鉸鏈連接，平板AP與水平面成53°角固定不動(dòng)，平板BP可繞水平軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的均勻圓柱體O放在兩板間，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，重力加速度為g.在使BP板由水平位置緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)到豎直位置的過程中，下列說法正確的是A.平板AP受到的壓力先減小后增大B.平板AP受到的壓力先增大后減小C.平板BP受到的最小壓力為0.6mgD.平板BP受到的最大壓力為 mg
解析　圓柱體受重力、斜面AP的彈力F1和擋板BP的彈力F2，將F1與F2合成為F＝mg，如圖
圓柱體一直處于平衡狀態(tài)，故F1和F2的合力F一定與重力等值、反向、共線.從圖中可以看出，當(dāng)擋板PB
由水平位置緩慢地轉(zhuǎn)向豎直位置的過程中，F(xiàn)1越來越大，F(xiàn)2先變小后變大，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；
由幾何關(guān)系可知，當(dāng)F2的方向與AP的方向平行(即與F1的方向垂直)時(shí)，F(xiàn)2有最小值：F2min＝mgsin 53°＝0.8mg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)擋板BP豎直時(shí)，F(xiàn)2最大，為：F2max＝mg·tan 53°＝ mg，選項(xiàng)D正確.
7.(2020·黑龍江哈爾濱市三中高三模擬)如圖7所示，斜面固定，平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧一端連接物塊A，另一端固定，最初A靜止.在A上施加與斜面成30°角的恒力F，A仍靜止，下列說法正確的是A.A對(duì)斜面的壓力一定變小B.A對(duì)斜面的壓力可能不變C.A對(duì)斜面的摩擦力一定變大D.A對(duì)斜面的摩擦力可能變?yōu)榱?br/>解析　設(shè)斜面傾角為θ，對(duì)物塊進(jìn)行受力分析，垂直于斜面方向，最初支持力等于mgcs θ，施加恒力F后，支持力等于mgcs θ＋Fsin 30°，支持力一定增大.根據(jù)牛頓第三定律，A對(duì)斜面的壓力一定變大，故A、B錯(cuò)誤；
平行于斜面處于壓縮狀態(tài)的輕彈簧，最初摩擦力方向可能向上，可能向下，也可能為0，施加恒力F后，F(xiàn)沿斜面向上的分力為Fcs 30°，由于F大小未知，摩擦力可能仍向上，可能等于0，也可能沿斜面向下，摩擦力的大小可能增大，也可能減小，故C錯(cuò)誤，D正確.
8.(多選)如圖8所示，傾角為α的粗糙斜劈放在粗糙水平面上，物體a放在斜劈的斜面上，輕質(zhì)細(xì)線一端固定在物體a上，另一端繞過光滑的定滑輪1固定在c點(diǎn)，滑輪2下懸掛物體b，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài).若將固定點(diǎn)c向右移動(dòng)少許，而物體a與斜劈始終靜止，則A.細(xì)線對(duì)物體a的拉力增大B.斜劈對(duì)地面的壓力減小C.斜劈對(duì)物體a的摩擦力減小D.地面對(duì)斜劈的摩擦力增大
解析　對(duì)滑輪2和物體b受力分析，受重力和兩個(gè)拉力作用，如圖甲所示.根據(jù)平衡條件有mbg＝2FTcs θ，解得FT＝ ，若將固定點(diǎn)c向右移動(dòng)少許，則θ增大，拉力FT增大，A項(xiàng)正確；
對(duì)斜劈、物體a、物體b整體受力分析，受重力、細(xì)線的拉力、地面的靜摩擦力和支持力作用，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件有FN＝G總－FTcs θ＝G總－ ，恒定不變，根據(jù)牛頓第三定律可知，斜劈對(duì)地面的壓力不變，B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)物體a受力分析，受重力、支持力、拉力和靜摩擦力作用，由于不知道拉力與重力沿斜面向下的分力的大小關(guān)系，故無法判斷斜劈對(duì)物體a的靜摩擦力的方向，即不能判斷靜摩擦力的變化情況，C項(xiàng)錯(cuò)誤.
9.(多選)(2019·河北唐山一中綜合測(cè)試)如圖9所示，帶有光滑豎直桿的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于斜劈上的光滑小球與套在豎直桿上的小滑塊用輕繩連接，開始時(shí)輕繩與斜劈平行.現(xiàn)給小滑塊施加一豎直向上的拉力，使小滑塊沿桿緩慢上升，整個(gè)過程中小球始終未脫離斜劈，則有A.輕繩對(duì)小球的拉力逐漸增大B.小球?qū)π迸膲毫ο葴p小后增大C.豎直桿對(duì)小滑塊的彈力先增大后減小D.對(duì)小滑塊施加的豎直向上的拉力逐漸增大
解析　對(duì)小球受力分析，受重力、支持力和輕繩的拉力，如圖甲所示：根據(jù)平衡條件，輕繩的拉力FT增大，支持力FN減小，根據(jù)牛頓第三定律，球?qū)π迸膲毫σ矞p小，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)球和滑塊整體分析，受重力、斜劈的支持力FN、桿的支持力FN′和拉力F，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件，有：水平方向FN′＝FNsin θ，豎直方向：F＋FNcs θ＝G，由于FN減小，故FN′減小，F(xiàn)增大，C錯(cuò)誤，D正確.
10.(多選)如圖10所示裝置，兩根細(xì)繩拴住一小球，保持兩細(xì)繩間的夾角θ＝120°不變，若把整個(gè)裝置順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)過90°，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，CA繩的拉力F1、CB繩的拉力F2的大小變化情況是A.F1先變小后變大 B.F1先變大后變小C.F2一直變小 D.F2最終變?yōu)榱?br/>解析　如圖所示，畫出小球的受力分析圖，構(gòu)建力的矢量三角形，由于這個(gè)三角形中重力不變，另兩個(gè)力間的夾角(180°－θ)保持不變，這類似于圓周角與對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)的關(guān)系，作初始三角形的外接圓(任意兩邊的中垂線交點(diǎn)
即外接圓圓心)，然后讓另兩個(gè)力的交點(diǎn)在圓周上按F1、F2的方向變化規(guī)律滑動(dòng)，力的矢量三角形的外接圓正好是以初態(tài)時(shí)的F2為直徑的圓周，知F1先變大后變小，F(xiàn)2一直變小，最終CA沿豎直方向，此時(shí)F1＝mg，F(xiàn)2變?yōu)榱?，故選B、C、D.
11.傾角為θ＝37°的斜面與水平面保持靜止，斜面上有一重為G的物體A，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.現(xiàn)給A施加一水平力F，如圖11所示.設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)，如果物體A能在斜面上靜止，水平推力F與G的比值不可能是A.3 B.2C.1 D.0.5
解析　設(shè)物體剛好不下滑時(shí)F＝F1，則F1cs θ＋μFN＝Gsin θ，F(xiàn)N＝F1sin θ＋Gcs θ，
設(shè)物體剛好不上滑時(shí)F＝F2，則F2cs θ＝μFN＋Gsin θ，F(xiàn)N＝F2sin θ＋Gcs θ，
12.(2020·山西“六校”高三聯(lián)考)跨過定滑輪的輕繩兩端分別系著物體A和物體B，物體A放在傾角為θ的斜面上，與A相連的輕繩和斜面平行，如圖12所示.已知物體A的質(zhì)量為m，物體A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(μ

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