TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【題型1 湊整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【題型2 拆項法】 PAGEREF _Tc17703 \h 2
\l "_Tc4413" 【題型3 組合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 2
\l "_Tc14358" 【題型4 裂項相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 3
\l "_Tc20712" 【題型5 相互轉(zhuǎn)化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 3
\l "_Tc4686" 【題型6 倒數(shù)法】 PAGEREF _Tc4686 \h 3
\l "_Tc20154" 【題型7 錯位相減法】 PAGEREF _Tc20154 \h 4
\l "_Tc27403" 【題型8 利用分配律進(jìn)行簡算】 PAGEREF _Tc27403 \h 4
\l "_Tc26375" 【題型9 利用圖形進(jìn)行簡算】 PAGEREF _Tc26375 \h 4
知識點1：湊整法
多個有理數(shù)相加時,如果既有分?jǐn)?shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計算簡便,這種方法簡稱湊整法。
【題型1 湊整法】
【例1】（23-24七年級·上海普陀·期中）計算：?3.19+21921+?6.81??2221
【變式1-1】（23-24七年級·廣東廣州·階段練習(xí)）計算：
?7.3??656+|?3.3|+116．
【變式1-2】（2024七年級·全國·專題練習(xí)）計算：?218++5+?312++1.125++412．
【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級校考階段練習(xí)）計算：
?218++5+?312++1.125++412；
知識點2：拆項法
先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律, 結(jié)合律得出答案。
【題型2 拆項法】
【例2】（23-24七年級·河南駐馬店·階段練習(xí)）計算：?556+?923+1734+?312
【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算：
(1)+3579+?2349；
(2)?201856+?201723+?112+4036．
【變式2-2】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習(xí)）計算：?201156+?201223+4023+?112．
【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算：
(1)+1725+?735．
(2)?202329+?202449+4048+59．
知識點3：組合法
觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當(dāng)分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡化計算。
【題型3 組合法】
【例3】（23-24七年級·山西太原·階段練習(xí)）計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【變式3-1】（23-24七年級·吉林長春·期中）計算：
（1）?18+17+?12??33．
（2）+325+?278??535?+118．
【變式3-2】（23-24七年級·安徽阜陽·階段練習(xí)）計算：
2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+16?13+10?7+4
【變式3-3】（23-24七年級·北京·期末）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015= ．
知識點4：裂項相消法
根據(jù)算式特點,將各項變?yōu)閮身?然后把互為相反數(shù)的兩項相加,只剩下首項和末項相加得出結(jié)果。
【題型4 裂項相消法】
【例4】（23-24七年級·山東威?！るA段練習(xí)）計算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+149×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【變式4-1】（23-24七年級·安徽馬鞍山·期中）計算：12×4+14×6+16×8+???+12022×2024．
【變式4-2】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計算：1?1×3+1?3×5+1?5×7+1?7×9+?+1?2021×2023．
【變式4-3】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：1?122×1?132×???×1?120212×1?120222．
知識點5：相互轉(zhuǎn)化法
根據(jù)算式特點,將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算。
【題型5 相互轉(zhuǎn)化法】
【例5】（23-24七年級·江蘇鹽城·開學(xué)考試）計算：38×14+17×0.25+45×25%
【變式5-1】（23-24七年級·浙江衢州·階段練習(xí)）計算：8×?53×?0.25÷?56；
【變式5-2】（23-24七年級·福建廈門·階段練習(xí)）計算： ?0.25×?3×8×?40×?13×12.5
【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：
(1)?3÷?134×0.75÷?37×?6；
(2)?15×?0.1÷125×?10；
【題型6 倒數(shù)法】
【例6】（23-24七年級·陜西漢中·期末）計算?112÷13?14+16的值．
【變式6-1】（23-24七年級·湖北襄陽·期中）計算：(?78)÷(134?78+712)．
【變式6-2】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算：50÷13?14+112．
【變式6-3】（23-24七年級·廣東東莞·階段練習(xí)）計算：134?78?712÷?78+?78÷134?78?712．
【題型7 錯位相減法】
【例7】（23-24七年級·山東濱州·期中）計算：1?5+52?53+54?55+?+52020?52021+52022?520236=
【變式7-1】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習(xí)計算：1+2+22+23+24+…+2999
【變式7-2】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習(xí)）計算9+92+93+...+92009的值．
【變式7-3】（23-24七年級·廣東深圳·期中）計算
（1）1+7+72+73+??+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+?+9×138+10×139．
【題型8 利用分配律進(jìn)行簡算】
【例8】（23-24七年級·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：36.2×1.638+6.382．
【變式8-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）用簡便方法計算
(1)63536×?6
(2)999×11845+333×?35?999×1835.
【變式8-2】（23-24七年級·江蘇南京·階段練習(xí)）簡便計算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+?+20222+202322022×2023；
(2)19+110+111+112×110+111+112+113?19+110+111+112+113×110+111+112．
【變式8-3】（23-24七年級·河南開封·開學(xué)考試）怎樣簡便怎樣算
(1)2021×20222022?2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015?1
(4)920?1130+1342?1556+1772×121212131313
【題型9 利用圖形進(jìn)行簡算】
【例9】（23-24七年級·全國·期中）看圖填空：如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12的長方形，接著把面積為12的長方形等分成兩個面積為14的長方形，再把面積為14的長方形等分成面積為18的長方形，如此進(jìn)行下去……
(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n＝_______．
并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．
(2)請給利用圖（2），再設(shè)計一個能求：12+122+123+124+?+12n的值的幾何圖形．
【變式9-1】（23-24七年級·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．
如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．

(1)圖中陰影部分的面積為 ；
(2)受此啟發(fā)，得到12+14+18+?+126＝ ；
(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+18+?+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)遷移應(yīng)用：得到23+13×23+132×23+133×23+?+132023×23＝ （直接寫出答案即可）．
【變式9-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+22+23+24+…+210．
【運(yùn)用】仿照此法計算：
解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210①
將等式①的兩邊同時乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②?①得：2S?S=211?1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211?1，
(1)1+5+52+53+54+…+550；
(2)【延伸】如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．

完成下列問題：
①小正方形S2022的面積等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面積和．
【變式9-3】（23-24七年級·山東青島·期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學(xué)上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．
下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運(yùn)用：
數(shù)學(xué)問題，計算19+192+193+?+19n(其中n是正整數(shù)，且n≥2，)．
探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．
探究一：計算12+122+123+?+12n．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12+12；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+122+123+?+12n，最后空白部分的面積是12n．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：12+122+123+?+12n=1?12n．
探究二：計算13+132+133+?+13n．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23+232；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，
……
第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+232+233+?+23n，最后空白部分的面積是13n．
根據(jù)第n次分制圖可得等式：23+232+233+?+23n=1?13n，
兩邊同除2，得13+132+133+?+13n=12?12×3n，
探究三：計算14+142+143+?+14n．
(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程)
解決問題．計算19+192+193+?+19n．
(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．
(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+?+19n=___________．
(3)拓廣應(yīng)用：計算9?19+92?192+93?193+?+9n?19n=___________．
專題2.9 巧算有理數(shù)【九大題型】
【人教版2024】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1289" 【題型1 湊整法】 PAGEREF _Tc1289 \h 1
\l "_Tc17703" 【題型2 拆項法】 PAGEREF _Tc17703 \h 3
\l "_Tc4413" 【題型3 組合法】 PAGEREF _Tc4413 \h 5
\l "_Tc14358" 【題型4 裂項相消法】 PAGEREF _Tc14358 \h 7
\l "_Tc20712" 【題型5 相互轉(zhuǎn)化法】 PAGEREF _Tc20712 \h 9
\l "_Tc4686" 【題型6 倒數(shù)法】 PAGEREF _Tc4686 \h 11
\l "_Tc20154" 【題型7 錯位相減法】 PAGEREF _Tc20154 \h 13
\l "_Tc27403" 【題型8 利用分配律進(jìn)行簡算】 PAGEREF _Tc27403 \h 15
\l "_Tc26375" 【題型9 利用圖形進(jìn)行簡算】 PAGEREF _Tc26375 \h 19
知識點1：湊整法
多個有理數(shù)相加時,如果既有分?jǐn)?shù),也有小數(shù),一般將存在數(shù)量少的形式轉(zhuǎn)化成數(shù)量多的形式,把能湊成整數(shù)的數(shù)結(jié)合在一起,可以使計算簡便,這種方法簡稱湊整法。
【題型1 湊整法】
【例1】（23-24七年級·上海普陀·期中）計算：?3.19+21921+?6.81??2221
【答案】?5
【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及有理數(shù)的加法的運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)加法的運(yùn)算律，將能湊整的數(shù)先湊整，得到?3.19+?6.81+21921+2221，再進(jìn)一步計算，即得答案．
【詳解】解：原式=?3.19+21921+?6.81??2221．
=?3.19+?6.81+21921+2221
=?10+5
=?5．
【變式1-1】（23-24七年級·廣東廣州·階段練習(xí)）計算：
?7.3??656+|?3.3|+116．
【答案】4
【詳解】?7.3??656+|?3.3|+116
=3.3?7.3+656+116
=?4+8
=4．
【點睛】此題考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，絕對值的化簡，正確掌握有理數(shù)加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式1-2】（2024七年級·全國·專題練習(xí)）計算：?218++5+?312++1.125++412．
【答案】5
【分析】先根據(jù)去括號法則去括號，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡便計算即可．
【詳解】解： ?218++5+?312++1.125++412
=?218+5?312+1.125+412，
=?218+118+5?312?412，
=?1+5+1，
=5．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加法運(yùn)算法則和加法運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．
【變式1-3】（2024秋·廣西崇左·七年級校考階段練習(xí)）計算：
?218++5+?312++1.125++412；
【答案】5
【分析】先根據(jù)去括號法則去括號，再根據(jù)加法交換律和結(jié)合律簡便計算即可；
【詳解】解：?218++5+?312++1.125++412
=?218+5?312+1.125+412
=?218+118+5?312?412
=?1+5+1
=5；
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運(yùn)算，掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
知識點2：拆項法
先把帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)兩部分,再把整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分分別結(jié)合在一起利用交換律, 結(jié)合律得出答案。
【題型2 拆項法】
【例2】（23-24七年級·河南駐馬店·階段練習(xí)）計算：?556+?923+1734+?312
【分析】根據(jù)拆項法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．
【詳解】解：原式=(?5)+?56+(?9)+?23+17+34+(?3)+?12
=(?5)+(?9)+(?3)+17+?56+?23+?12+34
=0+?114
=?114．
【變式2-1】（2024秋·山東德州·七年級校考階段練習(xí)）計算：
(1)+3579+?2349；
(2)?201856+?201723+?112+4036．
【答案】(1)1213
(2)?2
【分析】（1）依據(jù)“拆項法”計算即可；
（2）依據(jù)“拆項法”計算即可．
【詳解】（1）+3579+?2349
=35+79+?23+?49
=35+?23+79+?49
=12+13
=1213；
（2）?201856+?201723+?112+4036
=?2018+?56+?2017+?23+?1+?12+4036
=?2018+?2017+?1+4036+?56+?23+?12
=0+?2
=?2．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握題目給出的“拆項法”是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2-2】（23-24七年級·遼寧鞍山·階段練習(xí)）計算：?201156+?201223+4023+?112．
【答案】?3
【分析】根據(jù)題目中材料，將原式整理為?2011?56+?2012?23+4023+?1?12，然后求解即可．
【詳解】解：原式=?2011?56+?2012?23+4023+?1?12
=?2011?2012+4023?1+?56?23?12
=?1+?2
=?3．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加減混合運(yùn)算，理解材料中簡便運(yùn)算方法是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（2024秋·山東德州·七年級?？茧A段練習(xí)）計算：
(1)+1725+?735．
(2)?202329+?202449+4048+59．
【答案】(1)945
(2)89
【分析】根據(jù)拆項法，可把整數(shù)結(jié)合在一起，分?jǐn)?shù)結(jié)合在一起，再根據(jù)有理數(shù)的加法，可得答案．
【詳解】（1）解：+1725+?735
=17+25?(7+35)
=(17?7)+(25?35)
=10+(?15)
=945
（2）?202329+?202449+4048+59
=(?2023?29)+(?2024?49)+4048+59
=(?2023?2024+4048)+(?29?49+59)
=1+(?19)
=89
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，利用題干中的拆項法拆項后再利用運(yùn)算律解答是解題的關(guān)鍵．
知識點3：組合法
觀察算式,找出算式分布規(guī)律,然后適當(dāng)分組,利用結(jié)合律將相加和為整數(shù)的結(jié)合在一起簡化計算。
【題型3 組合法】
【例3】（23-24七年級·山西太原·階段練習(xí)）計算1+2?3?4+5+6?7?8+?+2017+2018?2019?2020值為（ ）
A．0B．﹣1C．2020D．-2020
【答案】D
【分析】根據(jù)加法的結(jié)合律四個四個一組結(jié)合起來，每一組的和都等于-4,共505組,計算即可．
【詳解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+……+2017+2018-2019-2020
=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+（9+10-11-12）+……+（2017+2018-2019-2020）
=（-4）+（-4）+（-4）+（-4）+……+（-4）
=（-4）×505
＝-2020．
故選D.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，觀察出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【變式3-1】（23-24七年級·吉林長春·期中）計算：
（1）?18+17+?12??33．
（2）+325+?278??535?+118．
【答案】（1）20 （2）5
【分析】先化簡符號，再正數(shù)結(jié)合負(fù)數(shù)結(jié)合，最后相加．
本題主要考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算．熟練掌握化簡符號，加法結(jié)合律，是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）?18+17+?12??33
=?18?12+33+17
=?30+50
=20．
（2）解：+325+?278??535?+118
=325?278+535?118
=325+535?278+118
=9?4
=5．
【變式3-2】（23-24七年級·安徽阜陽·階段練習(xí)）計算：
2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+16?13+10?7+4
【答案】1012
【分析】合理分組：2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+13?10+7?4+1每兩個數(shù)為一組，結(jié)果是3；一共有337組；進(jìn)行簡算即可．
【詳解】2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+13?10+7?4+1
=2023?2020+2017?2014+2011?2008+……+13?10+7?4+1
每兩個數(shù)為一組，結(jié)果是3；
則2023?1÷2023?2017=337
即一共有337組；
原式=3×337+1=1012．
【變式3-3】（23-24七年級·北京·期末）1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015= ．
【答案】0
【分析】通過觀察，每四項結(jié)合在一起，每一項結(jié)果為0，然后將原式利用加法結(jié)合律進(jìn)行計算．
【詳解】原式＝1?3?5+7+9?11?13+15+?+2009?2011?2013+2015
＝0，
故填：0．
【點睛】本題考查了加法中的巧算問題，熟練應(yīng)用加法結(jié)合律是關(guān)鍵．
知識點4：裂項相消法
根據(jù)算式特點,將各項變?yōu)閮身?然后把互為相反數(shù)的兩項相加,只剩下首項和末項相加得出結(jié)果。
【題型4 裂項相消法】
【例4】（23-24七年級·山東威?！るA段練習(xí)）計算：
(1)11×2+12×3+13×4+…+12004×2005；
(2)11×3+13×5+15×7+…+149×51；
(3)16+112+120+130+142+156．
【答案】(1)20042005
(2)2551
(3)38
【分析】（1）根據(jù)題中給出的式子找出規(guī)律1nn+1=1n?1n+1，再進(jìn)行計算即可得到答案；
（2）根據(jù)11×3=12×1?13，13×5=12×13?15，15×7=12×15?17，…，得出1nn+2=121n?1n+2，再進(jìn)行計算即可得到答案；
（3）將式子化為12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8，再利用題中所給的規(guī)律進(jìn)行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵11×2=1?12，12×3=12?13，13×4=13?14，…，19×10=19?110，
∴1nn+1=1n?1n+1，
∴11×2+12×3+13×4+…+12004×2005
=1?12+12?13+13?14+…+12004?12005
=1?12005
=20042005；
（2）解：∵11×3=12×1?13，13×5=12×13?15，15×7=12×15?17，…，
∴1nn+2=121n?1n+2，
∴11×3+13×5+15×7+…+149×51
=12×1?13+12×13?15+12×15?17+…+12×149?151
=12×1?13+13?15+15?17+…+149?151
=12×1?151
=12×5051
=2551；
（3）解：16+112+120+130+142+156
=12×3+13×4+14×5+15×6+16×7+17×8
=12?13+13?14+14?15+15?16+16?17+17?18
=12?18
=38．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題意，得出規(guī)律1nn+1=1n?1n+1及1nn+2=121n?1n+2，熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則及順序是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（23-24七年級·安徽馬鞍山·期中）計算：12×4+14×6+16×8+???+12022×2024．
【答案】10114048
【詳解】解：原式=12×12?14+14?16+16?18+???+12022?12024
=12×12?12024
=12×10112024
=10114048．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算及加減運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（23-24七年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）計算：1?1×3+1?3×5+1?5×7+1?7×9+?+1?2021×2023．
【答案】?10112023
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會用裂項抵消法解答問題．將題目中的式子變形，然后裂項抵消即可解答本題．
【詳解】解：1?1×3+1?3×5+1?5×7+1?7×9+...+1?2021×2023
=?12×21×3+23×5+25×7+27×9+…+22021×2023
=?12×1?13+13?15+15?17+17?19+…+12021?12023
=?12×1?12023
=?12×20222023
=?10112023．
【變式4-3】（23-24七年級·廣東佛山·階段練習(xí)）計算：1?122×1?132×???×1?120212×1?120222．
【答案】20234044
【詳解】因為1?122=12×32，1?132=23×43，1?142=34×54，…，
所以原式=12×32×23×43×34×54???×20202021×20222021×20212022×20232022
=12×20232022=20234044．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的特殊運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
知識點5：相互轉(zhuǎn)化法
根據(jù)算式特點,將式子中的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)，或小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，統(tǒng)一后再進(jìn)行運(yùn)算。
【題型5 相互轉(zhuǎn)化法】
【例5】（23-24七年級·江蘇鹽城·開學(xué)考試）計算：38×14+17×0.25+45×25%
【答案】25
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
利用乘法分配律進(jìn)行計算即可．
【詳解】38×14+17×0.25+45×25%
=38×14+17×14+45×14
=14×38+17+45
=14×100
=25．
【變式5-1】（23-24七年級·浙江衢州·階段練習(xí)）計算：8×?53×?0.25÷?56；
【答案】?4
【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算等知識，根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可求解．
先把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再進(jìn)行多個有理數(shù)乘法運(yùn)算即可求解；
【詳解】）解：8×?53×?0.25÷?56
=8×?53×?14×?65
=?4
【變式5-2】（23-24七年級·福建廈門·階段練習(xí)）計算： ?0.25×?3×8×?40×?13×12.5
【答案】1000
【分析】按有理數(shù)乘法法則計算即可；
【詳解】解：?0.25×?3×8×?40×?13×12.5
=?14×?3×8×?40×?13×252
=14×3×8×40×13×252
=1000
【變式5-3】（23-24七年級·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：
(1)?3÷?134×0.75÷?37×?6；
(2)?15×?0.1÷125×?10；
【答案】(1)18
(2)?5
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算法則及運(yùn)算順序計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：?3÷?134×0.75÷?37×?6
=3×47×34×73×6
=18；
（2）解：?15×?0.1÷125×?10
=?15×110×25×10
=?5；
【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)加減乘除的運(yùn)算法則及運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵．
【題型6 倒數(shù)法】
【例6】（23-24七年級·陜西漢中·期末）計算?112÷13?14+16的值．
【答案】?13
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；
原式的倒數(shù)為13?14+16÷?112，將除法變成乘法，利用乘法分配律進(jìn)行計算，然后可得答案．
【詳解】解：原式的倒數(shù)為13?14+16÷?112，
13?14+16÷?112
=13?14+16×?12
=13×?12?14×?12+16×?12
=?4+3?2
=?3，
所以?112÷13?14+16=?13．
【變式6-1】（23-24七年級·湖北襄陽·期中）計算：(?78)÷(134?78+712)．
【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是解本題的關(guān)鍵；
先計算(134?78+712)÷(?78)，再求解結(jié)果的倒數(shù)即可.
【詳解】解：(134?78+712)÷(?78)
=(134?78+712)×?87
=?74×87+78×87?712×87．
=?2+1?23．
=?53．
故(?78)÷(134?78+712)＝?35．
【變式6-2】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習(xí)）計算：50÷13?14+112．
【答案】300
【分析】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的有關(guān)知識，有理數(shù)的乘除運(yùn)算：沒有除法分配律.
【詳解】解：原式的倒數(shù)為13?14+112÷50
=13?14+112×150
=13×150?14×150+112×150
=1300．
故原式=300．
【變式6-3】（23-24七年級·廣東東莞·階段練習(xí)）計算：134?78?712÷?78+?78÷134?78?712．
【答案】?103
【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，倒數(shù)的定義
先計算原式前半部分的結(jié)果，然后根據(jù)倒數(shù)的定義求出后半部分的結(jié)果，即可求出原式的值．
【詳解】（1）解：前部分：134?78?712÷?78
=74×?87?78×?87?712×?87
=?2?(?1)??23
=?2+1+23
=?13，
后部分：?78÷134?78?712
原式的倒數(shù)=134?78?712÷?78
=?13，
故?78÷134?78?712=?3，
∴原式=?13+(?3)=?103．
【題型7 錯位相減法】
【例7】（23-24七年級·山東濱州·期中）計算：1?5+52?53+54?55+?+52020?52021+52022?520236=
【答案】16
【分析】本題考查了規(guī)律性：數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)錯位相減法進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】解：令S=1?5+52?53+54?55+……+52020?52021+52022，
則5S=5?52+53?54+55+……?52022+52023，
因此5S+S=1+52023，
所以S=1+520236，
所以1?5+52?53+54?55+?+52020?52021+52022?520236
=1+520236?520236
=16．
故答案為：16．
【變式7-1】（23-24七年級·江蘇連云港·階段練習(xí)計算：1+2+22+23+24+…+2999
【答案】21000?1
【分析】本題是數(shù)字類的規(guī)律題，根據(jù)擴(kuò)大倍數(shù)，利用錯位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：可令S=1+2+22+23+24+…+2999，
然后兩邊同乘2變成2S=2+22+23+24+…+2999+21000，
再讓兩式相減，因此有2S?S=21000?1，
所以S=21000?1，即
1+2+22+23+24+…+2999=21000?1．
【變式7-2】（23-24七年級·貴州銅仁·階段練習(xí)）計算9+92+93+...+92009的值．
【答案】92010?18
【分析】令S=1+9+92+93+?+92009，然后兩邊同時乘以3，接下來利用錯位相減的方法計算即可．
【詳解】令S=1+9+92+93+?+92009
則9S=9+92+93+?+92010
∴9S?S=92010?1
∴S=92010?18
故答案為：92010?18．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算問題，掌握運(yùn)算技巧以及有理數(shù)混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（23-24七年級·廣東深圳·期中）計算
（1）1+7+72+73+??+72022的值．
（2）1+2×13+3×132+4×133+?+9×138+10×139．
【答案】（1）72023?16；（2）94?234×139
【詳解】解：（1）令M=1+7+72+73+…+72021+72022①
則7M=7+72+73+74+…+72022+72023②
②-①得：6M=72023?1，M=72023?16；
（2）令M=1+2×13+3×132+4×133+…+9×138+10×139①
則13M=1×13+2×132+3×133+...+9×139+10×1310②
①-②：23M=1+13+132+?+139?10×1310=32?32×1310?10×1310
∴M=94?94×1310?15×1310
=94?694×1310
=94?234×139．
【點睛】本題考查數(shù)字類探究問題．根據(jù)題意抽象概括出數(shù)字規(guī)律，熟練掌握運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．
【題型8 利用分配律進(jìn)行簡算】
【例8】（23-24七年級·河北石家莊·開學(xué)考試）計算：36.2×1.638+6.382．
【答案】100
【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用乘法分配律簡便計算即可．
【詳解】解：36.2×1.638+6.382
=3.62×16.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38+6.38×6.38
=3.62×10+3.62×6.38+6.38×6.38
=3.62×10+6.38×3.62+6.38
=3.62×10+6.38×10
=3.62+6.38×10
=10×10
=100．
【變式8-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期中）用簡便方法計算
(1)63536×?6
(2)999×11845+333×?35?999×1835.
【答案】(1)?4156；(2)99900.
【分析】（1）將63536寫成7?136，再根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計算即可；（2）將333×?35寫成999×?15，再利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行計算即可求得結(jié)果.
【詳解】解：(1)63536×?6
=7?136×?6
=?42+16
=?4156；
(2)原式=999×11845+?15?1835
=999×100
=99900.
【點睛】此題考查有理數(shù)的乘法分配律及其逆運(yùn)算，（1）中將帶分?jǐn)?shù)拆分成與其相近的整數(shù)加減其它分?jǐn)?shù)表示的方法，再根據(jù)乘法分配律計算很簡便；（2）中要將每組乘法中的一個因式寫成同一個數(shù)的形式，再利用乘法分配律的逆運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算，以達(dá)到簡便的目的.
【變式8-2】（23-24七年級·江蘇南京·階段練習(xí)）簡便計算：
(1)12+221×2+22+322×3+32+423×4+?+20222+202322022×2023；
(2)19+110+111+112×110+111+112+113?19+110+111+112+113×110+111+112．
【答案】(1)404420222023；
(2)1117
【分析】（1）利用有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則和運(yùn)算律解答即可；
（2）根據(jù)先將19+110+111+112看著一個整體，利用乘法分配律把后面乘法部分展開，再逆用乘法分配律進(jìn)行計算即可．
【詳解】（1）解：12+221×2+22+322×3+32+423×4+?+20222+202322022×2023
=121×2+221×2+222×3+322×3+423×4+?+202222022×2023+202322022×2023
=12+2+23+32+34+43+?+20222023+20232022
=2+12+32+23+43+34+54+?+20212022+20232022+20222023
=20222023+2+2+?+22022個2
=404420222023；
（2）解：19+110+111+112×110+111+112+113?19+110+111+112+113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113? 19+110+111+112×110+111+112+113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113? 19+110+111+112×110+111+112?113×110+111+112
=19+110+111+112×110+111+112+113?110?111?112?113×110+111+112
=19+110+111+112×113?113×110+111+112
=19×113
=1117．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．靈活運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計算．
【變式8-3】（23-24七年級·河南開封·開學(xué)考試）怎樣簡便怎樣算
(1)2021×20222022?2022×20212021；
(2)112+214+318+4116+5132+6164
(3)2015+2016×20142016×2015?1
(4)920?1130+1342?1556+1772×121212131313
【答案】(1)0
(2)216364
(3)1
(4)13
【分析】（1）根據(jù)20222022=2022×10001，20212021=2021×10001將原式變形為2021×2022×10001?2022×2021×10001即可得到答案；
（2）將原式先加上164，再減去164，根據(jù)有理數(shù)加減計算法則求解即可；
（3）根據(jù)2016×2014=2016×2015?1，利用乘法的分配律將分子變形為2016×2015?1，由此即可得到答案；
（3）根據(jù)n+n+1nn+1=1n+1n+1先將括號內(nèi)的式子變形為14?19，再由121212=12×10101，131313=13×10101進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：2021×20222022?2022×20212021
=2021×2022×10001?2022×2021×10001
=0；
（2）解：112+214+318+4116+5132+6164
=112+214+318+4116+5132+6164+164?164
=112+214+318+4116+5132+6132?164
=112+214+318+4116+11116?164
=112+214+318+1518?164
=112+214+1814?164
=112+2012?164
=22?164
=216364；
（3）解：2015+2016×20142016×2015?1
=2015+2016×2015?12016×2015?1
=2015+2016×2015?20162016×2015?1
=2016×2015?12016×2015?1
=1；
（4）解：920?1130+1342?1556+1772×121212131313
=4+54×5?5+65×6+6+76×7?7+87×8+8+98×9×121212131313
=14+15?15?16+16+17?17?18+18+19×121212131313
=14+19×121212131313
=14+19×12×1010113×10101
=1336×1213
=13．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡便計算，熟知有理數(shù)的相關(guān)計算法則和運(yùn)算律是解題的關(guān)鍵．
【題型9 利用圖形進(jìn)行簡算】
【例9】（23-24七年級·全國·期中）看圖填空：如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為12的長方形，接著把面積為12的長方形等分成兩個面積為14的長方形，再把面積為14的長方形等分成面積為18的長方形，如此進(jìn)行下去……
(1)試?yán)脠D形揭示的規(guī)律計算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n＝_______．
并使用代數(shù)方法證明你的結(jié)論．
(2)請給利用圖（2），再設(shè)計一個能求：12+122+123+124+?+12n的值的幾何圖形．
【答案】(1)1?12n ，證明見解析
(2)見解析
【分析】（1）①根據(jù)圖形可知用正方形面積減去最后一個小長方形面積即可求解；②設(shè)s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n，再算出2s，兩式相減即可證明；
（2）用正方形的對角線將面積為1正方形分成兩個面積為12的三角形，然后再作三角形的高，將其面積平分，如此進(jìn)行下去即可．
【詳解】（1）解：①由題意可知當(dāng)最后一個小長方形的面積為12n時 ，
12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n的值為正方形面積減去最后一個小長方形面積，即：1?12n ，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n=1?12n；
②設(shè)s=12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n ，
2s=1+12+14+18+116+132+164+1128+?12n?1 ，
∴2s?s=1?12n，
即s=1?12n，
∴12+14+18+116+132+164+1128+1256+?12n=1?12n；
（2）如圖所示，將面積為1的正方形等分成兩個面積為12的三角形，接著把面積為12的三角形等分成兩個面積為14的三角形，再把面積為14的三角形等分成面積為18的三角形，如此進(jìn)行下去，
則12+122+123+124+?+12n的值即為正方形面積減去最后一個小三角形面積：1?12n
【點睛】本題考查了圖形的規(guī)律，數(shù)字的規(guī)律，圖形的面積，有理數(shù)的乘方；分析、總結(jié)、歸納的能力是解題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（23-24七年級·山東青島·期中）數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個主要研究對象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．
如圖，將一個邊長為1的正方形紙片分割成7個部分，部分①是邊長為1的正方形紙片面積的一半，部分②是部分①面積的一半，部分③是部分②面積的一半，依次類推．

(1)圖中陰影部分的面積為 ；
(2)受此啟發(fā)，得到12+14+18+?+126＝ ；
(3)聯(lián)系拓廣，得到12+14+18+?+12n＝ （用含n的式子表示）；
(4)遷移應(yīng)用：得到23+13×23+132×23+133×23+?+132023×23＝ （直接寫出答案即可）．
【答案】(1)164
(2)6364
(3)1?12n
(4)1?132024
【分析】本題考查圖形變化的規(guī)律，數(shù)形結(jié)合思想的巧妙運(yùn)用是解題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)圖中三角形面積之間的關(guān)系即可解決問題；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題；
（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題；
（4）根據(jù)（3）中的結(jié)論即可解決問題；
【詳解】（1）由題知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面積的一半，
所以圖中陰影部分的面積與部分⑥的面積相等．
又因為部分①的面積為：12=121，
部分②的面積為：12×12=14=122，
部分③的面積為：12×12×12=18=123，
…，
依次類圖，部分n的面積為12n．
當(dāng)n=6時，
12n=126=164．
所以陰影部分的面積為164．
故答案為：164．
（2）由（1）知，
12+122+123+?+126+126=1，
所以12+14+18+?+126=1?126=6364．
故答案為：6364．
（3）根據(jù)（2）中的發(fā)現(xiàn)可知，
12+14+18+?+12n=1?12n．
故答案為：1?12n．
（4）由題知，
原式=23×1+13+132+133+?+132023．
令S=1+13+132+?+132023①，
則13S=13+132+133+?+132024②，
①-②得，
23s=1?132024，
即S=32?12×32023，
所以原式=23×32?12×32023
=1?132024．
故答案為：1?132024．
【變式9-2】（23-24七年級·湖南永州·期中）【閱讀】求值1+2+22+23+24+…+210．
【運(yùn)用】仿照此法計算：
解：設(shè)S=1+2+22+23+24+…+210①
將等式①的兩邊同時乘以2得：2S=2+22+23+24+25+…+211②
由②?①得：2S?S=211?1，
即：S=1+2=22+23+24+…+210=211?1，
(1)1+5+52+53+54+…+550；
(2)【延伸】如圖，將邊長為1的正方形分成4個完全一樣的小正方形，得到左上角一個小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．

完成下列問題：
①小正方形S2022的面積等于 ；
②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面積和．
【答案】(1)S=551?14；
(2)①142022；②131?142022．
【分析】（1）根據(jù)例題，原式乘以5，然后兩式相減即可求解．
（2）①根據(jù)有理數(shù)乘方的意義，表示出S1、S2、S3、…，找到規(guī)律即可求解．
②根據(jù)（1）的方法，進(jìn)行計算即可求解．
【詳解】（1）設(shè)S=1+5+52+53+54+…+550①
①×5，得：5S=5+52+53+54+55+…+551②
②?①，得：4S=551?1
則S=551?14
（2）①∵S1=14,S2=14×14=142,S3=14×14×14=143，……，
∴S2022=142022，
故答案為：142022；
②S1+S2+S3+…+S2022= 14+142+143+…+142022①，
①×14得：14S=142+143+144+…+142023②，
①?②得：34S=14?142023，
∴S=43(14?142023)=13(1?142022)，
即S1+S2+S3+…+S2022=131?142022．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，理解例題的解法是解題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（23-24七年級·山東青島·期中）曹沖稱象是我國歷史上著名的故事，大家都說曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們在七年級數(shù)學(xué)上冊第二章中引入“相反數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．
下面我們再通過具體實例體會一下化歸思想的運(yùn)用：
數(shù)學(xué)問題，計算19+192+193+?+19n(其中n是正整數(shù)，且n≥2，)．
探究問題：為解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．
探究一：計算12+122+123+?+12n．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為12；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為12+12；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為12+122+123+?+12n，最后空白部分的面積是12n．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：12+122+123+?+12n=1?12n．
探究二：計算13+132+133+?+13n．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為23；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為23+232；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，
……
第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為23+232+233+?+23n，最后空白部分的面積是13n．
根據(jù)第n次分制圖可得等式：23+232+233+?+23n=1?13n，
兩邊同除2，得13+132+133+?+13n=12?12×3n，
探究三：計算14+142+143+?+14n．
(仿照上述方法，在圖①中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程)
解決問題．計算19+192+193+?+19n．
(在圖②中只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．
(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．
(2)所以，19+192+193+?+19n=___________．
(3)拓廣應(yīng)用：計算9?19+92?192+93?193+?+9n?19n=___________．
【答案】探究三：14+142+143+?+14n = 13?13×4n圖見見解析；
解決問題：圖見解析；（1）18?18×9n；（2）18?18×9n；（3）n?18+18×9n
【分析】探究三：根據(jù)探究二的分割方法依次進(jìn)行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可；
解決問題：(1)根據(jù)第n次分割圖得出等式89+892+893+?+89n=1?19n
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出陰影部分的面積及，再除以(m?1)即可得解；
(3)拓廣應(yīng)用：先把每一個分?jǐn)?shù)分成1減去一個分?jǐn)?shù)，然后應(yīng)用公式進(jìn)行計算即可得解．
【詳解】探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，
其中陰影部分的面積為34；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，
陰影部分的面積之和為34+342；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，
…，
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，
所有陰影部分的面積之和為：34+342+343+?+34n，
最后的空白部分的面積是14n，
根據(jù)第n次分割圖可得等式：34+342+343+?+34n =1﹣ 14n，
兩邊同除以3，得14+142+143+?+14n = 13?13×4n；
解決問題：
（1）89+892+893+?+89n=1?19n =18?18×9n
故答案為：89+892+893+?+89n=18?18×9n
（2）19+192+193+?+19n= 18?18×9n，
故答案為：18?18×9n；
（3）拓廣應(yīng)用：9?19+92?192+93?193+?+9n?19n
=1?19+1?192+1?193+???+1?19n
=n?19+192+???+???+19n
=n?18?18×9n
=n?18+18×9n．
故答案為：n?18+18×9n．
【點睛】本題考查了應(yīng)用與設(shè)計作圖，圖形的變化規(guī)律，讀懂題目信息，理解分割的方法以及求和的方法是解題的關(guān)鍵．

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