初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級上冊（2024）第二章有理數(shù)的運算2.1 有理數(shù)的加法與減法同步測試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14819" 【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】 PAGEREF _Tc14819 \h 1
\l "_Tc13859" 【題型2 有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc13859 \h 2
\l "_Tc4233" 【題型3 有理數(shù)的加法運算律】 PAGEREF _Tc4233 \h 3
\l "_Tc16596" 【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc16596 \h 3
\l "_Tc10925" 【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc10925 \h 4
\l "_Tc4452" 【題型6 有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4452 \h 4
\l "_Tc29482" 【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】 PAGEREF _Tc29482 \h 5
\l "_Tc17409" 【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】 PAGEREF _Tc17409 \h 7
知識點1：有理數(shù)的加法
1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。
2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．
注意：1）有理數(shù)的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則.
【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】
【例1】（23-24七年級·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）
A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)B．兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加
C．兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加D．兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零
【變式1-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）
A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)
B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加
C．兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相減
D．異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把絕對值相加
【變式1-2】（23-24七年級·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)a+b+cb>a．則下列說法中可能成立的是（）
A．a(chǎn)、b為正數(shù)，c為負數(shù)B．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為負數(shù)C．b、c為正數(shù)，a為負數(shù)D．a(chǎn)、c為正數(shù)，b為0
【題型2 有理數(shù)的加法運算】
【例2】（23-24七年級·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○+5=?2成立，“○”中應(yīng)填的運算符號為（）
A．+B．?C．×D．÷
【變式2-1】（23-24七年級·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．
【變式2-2】（23-24七年級·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①?100+?8=?2；②0+?20=?20；③+?2023+2023=?4046；④?2023++23=?2000；其中答對的有（）
A．1道B．2道C．3道D．4道
【變式2-3】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計算為+1+?1=0，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（）
A．+1B．+7C．?1D．?7
知識點2：運算律
1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。
2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。
2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。
【題型3 有理數(shù)的加法運算律】
【例3】（23-24七年級·廣東中山·期中）下列變形，運用加法運算律正確的是（）
A．3+?2=2+3B．4+?6+3=?6+4+3
C．5+?2+4=5+?4+2D．16+?1++56=16+56++1
【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時，運用了加法（）
A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律
【變式3-2】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算：1+2+3+?+2023+?1+?2+?3+?+?2024．
【變式3-3】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算?5.13??4.62+?8.47??2.38時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為 = + = ．
【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】
【例4】（23-24七年級·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：
對于?3310+?112+235+212可以如下計算：
原式=?3+?310+?1+?12+2+35+2+12
=?3+?1+2+2+______
=0+______
=______．
上面這種方法叫拆項法．
(1)請補全以上計算過程；
(2)類比上面的方法計算：?202423+202334+?202256+202117．
【變式4-1】計算：
?201956+?201823+403623+?112
【變式4-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習(xí)）(1)計算：?1723+1634+?1513?212；
(2)計算?200056+?199923+400023+?112．
【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：?2022724+?202158+?116+4044．
【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】
【例5】（23-24七年級·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，現(xiàn)用等式 AM=(i，j)表示正整數(shù) M 是第i 組第 j 個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
【變式5-1】（23-24七年級·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時發(fā)現(xiàn)，若只有一個臺階時，有一種走法；若有兩個臺階時，可以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有2種走法；如果他一步只能上一個或者兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個臺階時，他有3種走法，那么有四個臺階時，共有走法（）
A．3種B．4種C．5種D．6種
【變式5-2】（23-24七年級·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位…，依此規(guī)律跳下去，當它跳第2000次落下時，落點處位于O點的（）
A．右側(cè)500個單位B．左側(cè)500個單位
C．右側(cè)1000個單位D．左側(cè)1000個單位
【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個算式：
1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．
根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計算下面的題：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為
【題型6 有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】
【例6】（23-24七年級·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動節(jié)中組織學(xué)生進行農(nóng)作物種植實踐活動．已知某種農(nóng)作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個步驟，種植要求如下：
①步驟C、D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B、D都完成后進行，步驟F須在步驟C、D都完成后進行；
②一個步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進行其他步驟；
③各個步驟所需時間如下表所示：
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．
【變式6-1】（23-24七年級·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個點，大街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（）
A．1.5kmB．3kmC．4.5kmD．6km
【變式6-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）一個實驗室里有10個柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至多要試開幾次才能把10把鎖都打開？
【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）希希、望望、貝貝三個人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸一局積負2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為．（提示：地主贏則兩個農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸．）
【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】
【例7】（23-24七年級·遼寧阜新·期末）把夏禹時代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和均相等，則幻方中a?b的值是．
【變式7-1】（23-24七年級·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．已知圖中a，b，c，d分別表示一個數(shù)，則a+b的值是（）
A．?4B．1C．?2或3D．?2
【變式7-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，“洛書”就是一個三階“幻方”（圖2所示）．
【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；
若圖3是一個“幻方”，則b= ．
【變式7-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如圖是一個簡單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，3，4，5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個三角形的三個頂點上的數(shù)之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把?1、?3這兩個數(shù)填入了圓圈，則ab+cd的值為．

【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】
【例8】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．
【變式8-1】（23-24七年級·山東青島·期中）定義一種運算，設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，例如2.25=2，?1.5=?2 ，據(jù)此規(guī)定計算?3.73+1.4的值為( )
A．?3B．?2C．?1D．4
【變式8-2】（23-24七年級·甘肅定西·階段練習(xí)）定義一種新運算：a*b=a+1b，如：1*2=1+12=32，則1*2*3= ．
【變式8-3】（23-24七年級·湖南長沙·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目：對非零數(shù)定義一種新的運算，叫※（宏）運算．
下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；+5※+2=+7；?3※?5=+8；?3※+4=?1；+5※?8=?3．
(1)我們在研究有理數(shù)的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數(shù)加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數(shù)進行※（宏）運算時，異號兩數(shù)進行※（宏）運算時．
(2)計算：?3※+1※?4= ．（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）
(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，請你判斷交換律和結(jié)合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）步驟
A
B
C
D
E
F
G
所需時間t分鐘
10
10
8
10
8
11
4
專題2.1 有理數(shù)的加法【八大題型】
【人教版2024】
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\l "_Tc14819" 【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】 PAGEREF _Tc14819 \h 1
\l "_Tc13859" 【題型2 有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc13859 \h 3
\l "_Tc4233" 【題型3 有理數(shù)的加法運算律】 PAGEREF _Tc4233 \h 5
\l "_Tc16596" 【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】 PAGEREF _Tc16596 \h 6
\l "_Tc10925" 【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc10925 \h 9
\l "_Tc4452" 【題型6 有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc4452 \h 11
\l "_Tc29482" 【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】 PAGEREF _Tc29482 \h 13
\l "_Tc17409" 【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】 PAGEREF _Tc17409 \h 17
知識點1：有理數(shù)的加法
1.定義：把兩個（或多個）有理數(shù)相加的過程叫有理數(shù)的加法。（兩個有理數(shù)相加，和是一個有理數(shù)）。
2.法則：（1）同號兩數(shù)相加，和取相同的符號，且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值的和；（2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號，且和的絕對值等于加數(shù)中絕對值較大者與較小者的差；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（3）一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．
注意：1）有理數(shù)的運算分兩步走，第一步，確定符號，第二步，確定絕對值；2）計算的時候要看清符號，同時要熟練掌握計算法則.
【題型1 有理數(shù)的加法概念理解】
【例1】（23-24七年級·河南周口·階段練習(xí)）下列說法錯誤的是（）
A．兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)B．兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加
C．兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加D．兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，相反數(shù)的定義，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩數(shù)之和可能小于其中的一個加數(shù)，異號相加，和小于原來的正數(shù)，選項正確，不符合題意；
B、兩數(shù)相加就是它們的絕對值相加，異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值，選項錯誤，符合題意；
C、兩個負數(shù)相加，和取負號，絕對值相加，選項正確，不符合題意；
D、互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，所以兩個數(shù)若不是相反數(shù)，則相加不能得零，選項正確，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法法則．熟練掌握有理數(shù)的加法法則：“同號相加，取相同符號，再把絕對值相加；異號相加，取絕對值大的符號，再用大絕對值減去小絕對值．”是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（）
A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)
B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加
C．兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相減
D．異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把絕對值相加
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的減法運算法則，有理數(shù)的加法運算法則對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】A．兩數(shù)之和必大于任何一個加數(shù)，錯誤，故本選項錯誤；
B．同號兩數(shù)相加，符號不變，并把絕對值相加，正確，故本選項正確；
C．應(yīng)為兩負數(shù)相加和為負數(shù)，并把絕對值相加，故本選項錯誤；
D．應(yīng)為異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并把用較大的絕對值減去較小的絕對值，故本選項錯誤．故選：B．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的減法、有理數(shù)的加法以及絕對值的概念，掌握有理數(shù)的加減運算法則是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（23-24七年級·山東德州·階段練習(xí)）若有理數(shù)a+b+ca，
∴ c=b+a，
∴可能a、b為正數(shù)，c為負數(shù)；也可能a、b為負數(shù)，c為正數(shù)．
故選：A．
【點睛】本題主要考查的是有理數(shù)的加法，絕對值的意義，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．
【題型2 有理數(shù)的加法運算】
【例2】（23-24七年級·河北廊坊·階段練習(xí)）要使等式3○+5=?2成立，“○”中應(yīng)填的運算符號為（）
A．+B．?C．×D．÷
【答案】B
【分析】本題考查了有理數(shù)減法運算，能根據(jù)結(jié)果判斷出是減法運算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：3?+5=?2，
故選：B．
【變式2-1】（23-24七年級·吉林·期末）比?5大8的數(shù)是．
【答案】3
【分析】本題考查了有理數(shù)加法運算，計算?5+8即可求解．
【詳解】解：比?5大8的數(shù)是：?5+8=3，
故答案為：3．
【變式2-2】（23-24七年級·山西臨汾·階段練習(xí)）下面是小亮同學(xué)做的4道題，①?100+?8=?2；②0+?20=?20；③+?2023+2023=?4046；④?2023++23=?2000；其中答對的有（）
A．1道B．2道C．3道D．4道
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法運算法則進行解答即可．
【詳解】解：①?100+?8=?108，故原算式計算錯誤；
②0+?20=?20，計算正確；
③+?2023+2023=0，故原算式計算錯誤；
④?2023++23=?2000計算正確．
所以，答對的有2道．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．
【變式2-3】（23-24七年級·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）中國人最先使用負數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負數(shù)，如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計算為+1+?1=0，由此可推算圖2中計算所得的結(jié)果為（）
A．+1B．+7C．?1D．?7
【答案】C
【分析】根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進行求和得出答案．本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，屬于基礎(chǔ)題型．理解題意是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意得：+4+?5=?1，
故選：C．
知識點2：運算律
1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；即a+b＝b+a。
2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交換律、結(jié)合律，可以使運算簡化，認識運算律對于理解運算有很重要的意義。
2）注意兩種運算律的正用和反用，以及混合運用。
【題型3 有理數(shù)的加法運算律】
【例3】（23-24七年級·廣東中山·期中）下列變形，運用加法運算律正確的是（）
A．3+?2=2+3B．4+?6+3=?6+4+3
C．5+?2+4=5+?4+2D．16+?1++56=16+56++1
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律逐項判斷即可得．
【詳解】解：A．3+?2=?2+3，則此項錯誤，不符合題意；
B．4+?6+3=?6+4+3，則此項正確，符合題意；
C．5+?2+4=5+4+?2，則此項錯誤，不符合題意；
D．16+?1++56=16+56+?1，則此項錯誤，不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了有理數(shù)加法的運算律，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（23-24七年級·江西南昌·期中）計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)時，運用了加法（）
A．交換律B．結(jié)合律C．分配律D．交換律與結(jié)合律
【答案】D
【分析】計算2?4+6?8+10=(2+6+10)+(?4?8)，先運用加法交換律把6和10的位置-4和-8與交換，然后根據(jù)加法結(jié)合律把正數(shù)和負數(shù)分別結(jié)合在一起．
【詳解】解：2?4+6?8+10
=2+6+10?4?8（加法交換律）
=(2+6+10)+(?4?8) （加法結(jié)合律）
故選：D．
【點睛】本題是考查加法交換律與結(jié)合律的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)知識，要掌握．
【變式3-2】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算：1+2+3+?+2023+?1+?2+?3+?+?2024．
【答案】?2024
【分析】根據(jù)有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得．
【詳解】解：原式=1+?1+2+?2+3+?3+?+2023+?2023+?2024
=0+0+0+?+0+?2024
=?2024．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，熟練掌握有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律是解題關(guān)鍵．
【變式3-3】（23-24七年級·全國·課堂例題）計算?5.13??4.62+?8.47??2.38時，先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得，觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為 = + = ．
【答案】 ?5.13++4.62+?8.47++2.38 ?5.13+?8.47++4.62++2.38 ?13.6 7 ?6.6
【分析】先把有理數(shù)加減混合運算統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成加法運算，再利用有理數(shù)加法運算律進行計算．
【詳解】解：計算?5.13??4.62+?8.47??2.38時，
先把減法轉(zhuǎn)化為加法可得?5.13++4.62+?8.47++2.38，
觀察算式我們可以利用“湊整”法，利用加法的運算律將算式轉(zhuǎn)化為?5.13+?8.47++4.62++2.38=?13.6+7=?6.6．
故答案為：①?5.13++4.62+?8.47++2.38，②?5.13+?8.47++4.62++2.38，③?13.6，④7，⑤?6.6．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)加法運算以及加法運算律的知識，熟練掌握相關(guān)運算法則和運算律是解題關(guān)鍵．
【題型4 巧用拆項法進行有理數(shù)的加法運算】
【例4】（23-24七年級·河南鄭州·期中）閱讀下面文字：
對于?3310+?112+235+212可以如下計算：
原式=?3+?310+?1+?12+2+35+2+12
=?3+?1+2+2+______
=0+______
=______．
上面這種方法叫拆項法．
(1)請補全以上計算過程；
(2)類比上面的方法計算：?202423+202334+?202256+202117．
【答案】(1)?310+?12+35+12；?310+35；310
(2)?21728，過程見詳解。
【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則．
（1）根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算；
（2）參照（1）的解題思路解題即可．
【詳解】（1）解：?3310+?112+235+212可以如下計算：
原式=?3+?310+?1+?12+2+35+2+12，
=?3+?1+2+2+?310+?12+35+12
=0+?310+35
=310.
故答案為：?310+?12+35+12；?310+35；310
（2）解：?202423+202334+?202256+202117
=?2024+?23+2023+34+?2022+?56+2021+17
=?2024+2023+?2022+2021+?23+34+?56+17
=?2+?1728
=?21728.
【變式4-1】計算：
?201956+?201823+403623+?112
【答案】?313，計算過程見解析
【分析】將各帶分數(shù)依據(jù)已知題的拆分方法分別拆分，再將整數(shù)部分、分數(shù)部分分別相加，根據(jù)有理數(shù)的加法法則進行計算即可得到答案.
【詳解】解：原式＝(?2019)+(?56)+(?2018)+(?23)+(4036+23)+(?1)+(?12)
＝[(－2 019)＋(－2 018)＋4 036＋(－1)]＋(?56)+(?23)+23+(?12)
＝(－2)＋(?43)
＝?313.
【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法法則，利用拆分法進行計算，正確理解已知中的解題方法并正確解題是關(guān)鍵.
【變式4-2】（23-24七年級·四川成都·階段練習(xí)）(1)計算：?1723+1634+?1513?212；
(2)計算?200056+?199923+400023+?112．
【答案】(1)?1834；
(2)?43．
【分析】（1）先將各帶分數(shù)拆分成一個整數(shù)與真分數(shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得；
（2）先將各帶分數(shù)拆分成一個整數(shù)與真分數(shù)的和，再利用有理數(shù)加法的交換律與結(jié)合律進行計算即可得；
本題考查了有理數(shù)加法的運算法則和運算律，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：?1723+1634+?1513?212
=[(?17)+16+?15+(?2)]+?23+34+?13+?12
=?18+?34，
=?1834；
（2）解：?200056+?199923+400023+?112
=[(?2000)+?1999+4000+(?1)]+?56+?23+23+?12
=0+?43，
=?43．
【變式4-3】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）計算：?2022724+?202158+?116+4044．
【答案】?1112
【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計算，先將帶分數(shù)拆分，利用加法交換律和結(jié)合律進行計算即可，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：?2022724+?202158+?116+4044
=?2022+?724+?2021+?58+?1+?16+4044
=?2022+?2021+?1+4044+?724+?58+?16
=0+?1312
=?1112．
【題型5 有理數(shù)加法中的規(guī)律問題】
【例5】（23-24七年級·江西上饒·期中）把所有正整數(shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：
（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，…，現(xiàn)用等式 AM=(i，j)表示正整數(shù) M 是第i 組第 j 個數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=( )
A．(44，81)B．(44，82)C．(45，83)D．(45，84)
【答案】D
【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個數(shù)即可求解；
【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個數(shù)規(guī)律可以表示為：2n-1
則1+3+5+7+???+(2n-1)=12×2n×n=n2，
當n=44時，n2=1936 ，
當n=45時，n2=2025，
∴ 2020在第45組，且2020-1936=84，即2020為第45組的第84個數(shù)；
故選：D．
【點睛】本題考查數(shù)字類的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類問題的常用方法.
【變式5-1】（23-24七年級·全國·專題練習(xí)）小明同學(xué)在上樓梯時發(fā)現(xiàn)，若只有一個臺階時，有一種走法；若有兩個臺階時，可以一階一階地上，或者一步上兩個臺階，共有2種走法；如果他一步只能上一個或者兩個臺階，根據(jù)上述規(guī)律，有三個臺階時，他有3種走法，那么有四個臺階時，共有走法（）
A．3種B．4種C．5種D．6種
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知：當有四個臺階時，可分情況討論：①逐級上，那么有一種走法；②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有共三種走法；③一步走兩個臺階，只有一種走法；所以可求得有五種走法．注意分類討論思想的應(yīng)用．
【詳解】當有四個臺階時，可分情況討論：
①逐級上，那么有一種走法；
②上一個臺階和上二個臺階合用，那么有：
1、1、2；1、2、1；2、1、1；
共三種走法；
③一步走兩個臺階，只有一種走法：2、2；
綜上可知：共5種走法．
故選C．
【點睛】本題屬規(guī)律性題目，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件，列舉出可能走的方法解答．
【變式5-2】（23-24七年級·山東日照·階段練習(xí)）一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位…，依此規(guī)律跳下去，當它跳第2000次落下時，落點處位于O點的（）
A．右側(cè)500個單位B．左側(cè)500個單位
C．右側(cè)1000個單位D．左側(cè)1000個單位
【答案】D
【分析】設(shè)從點O向右為正，向左為負．根據(jù)正負數(shù)的意義列出式子計算即可．
【詳解】解：設(shè)從點O向右為正，向左為負，
由題意得最后的位置標示的數(shù)即為：1+?2+3+?4+…+(?2000)，
觀察可以發(fā)現(xiàn)，1+?2=?1，3+?4=?1，5+?6=?1，
∴1+?2+3+?4+…+(?2000)=?1×20002=?1000，
∴此時跳蚤在原點左側(cè)1000個單位，
故選D．
【點睛】此題主要考查有理數(shù)加法在實際生活中的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是會用正負數(shù)來表示一對具有相反意義的量．同時在計算的過程中，能正確找到規(guī)律．
【變式5-3】（23-24七年級·浙江臺州·階段練習(xí)）觀察下面的幾個算式：
1＋2＋1＝4＝2×2；1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3；
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5．
根據(jù)上面幾道題的規(guī)律，計算下面的題：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1的值為
【答案】81
【分析】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；由此推出規(guī)律計算即可.
【詳解】先找題上幾個算式的規(guī)律，1＋2＋1＝4＝2×2，前面加數(shù)最中間是2，則答案是2×2；
1＋2＋3＋2＋1＝9＝3×3，前面加數(shù)最中間是3，則答案是3×3；1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝4×4，前面加數(shù)最中間是4，則答案是4×4；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=5×5,前面加數(shù)最中間是5，則答案是5×5；則1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，最中間加數(shù)是9，則答案是9×9=81，故答案為81.
【點睛】本題主要是對有理數(shù)規(guī)律問題的考查，準確找到規(guī)律并計算是解決本題的關(guān)鍵.
【題型6 有理數(shù)加法的實際應(yīng)用】
【例6】（23-24七年級·北京·期中）德勝中學(xué)在勞動節(jié)中組織學(xué)生進行農(nóng)作物種植實踐活動．已知某種農(nóng)作物種植完成共需A、B、C、D、E、F、G七個步驟，種植要求如下：
①步驟C、D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B、D都完成后進行，步驟F須在步驟C、D都完成后進行；
②一個步驟只能由一名學(xué)生完成，此步驟完成后該學(xué)生才能進行其他步驟；
③各個步驟所需時間如下表所示：
在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨完成此種農(nóng)作物種植，則需要分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此種農(nóng)作物種植，則最少需要分鐘．
【答案】 61 31
【分析】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)種植要求得出種植步驟是解題的關(guān)鍵．
將所有步驟需要的時間相加即可得出由一名學(xué)生單獨完成需要的時間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時做步驟B；然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時做步驟C，乙學(xué)生步驟C完成后接著做步驟G；最后甲學(xué)生做步驟F，乙學(xué)生同時做步驟E，然后可得答案．
【詳解】解：由題意，得：10+10+8+10+8+11+4=61(分鐘)，
即：一名學(xué)生單獨完成需要61分鐘，
假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，
∵步驟C，D須在步驟A完成后進行，步驟E須在步驟B，D都完成后進行，且步驟A，B都需要10分鐘完成，
∴甲學(xué)生做步驟A，乙學(xué)生同時做步驟B，需要10分鐘，然后甲學(xué)生做步驟D，乙學(xué)生同時做步驟C，乙學(xué)生步驟C完成后接著做步驟G，需要12分鐘，但此時甲同學(xué)后面多兩分鐘剩余，最后甲學(xué)生做步驟F，乙學(xué)生同時做步驟E，還需要9分鐘(減去前面剩余2分鐘)，
如下圖所示：
∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要10+12+9=31(分鐘)，
故答案為：61，31．
【變式6-1】（23-24七年級·貴州貴陽·期末）張燁同學(xué)每天從家到學(xué)校要走1.5km，他的家與學(xué)校、超市在一條東西走向的大街上，且張燁家在學(xué)校和超市的正中間．若把張燁家、學(xué)校、超市分別看成一個點，大街看成一條直線．一天早上，張燁從家出發(fā)，先去超市買筆記本，再到學(xué)校，他一共走的路程為（）
A．1.5kmB．3kmC．4.5kmD．6km
【答案】C
【分析】此題考查了有理數(shù)加法運算的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出算式求解即可．
【詳解】根據(jù)題意得，1.5+1.5+1.5=4.5km．
∴他一共走的路程為4.5km．
故選：C．
【變式6-2】（23-24七年級·全國·假期作業(yè)）一個實驗室里有10個柜子．分別用10把不同的鎖鎖著，但10把鑰匙很相像，管理員又忘了鑰匙編號（1把鑰匙只能開1把鎖，不能混用）．從最壞的情況考慮，至多要試開幾次才能把10把鎖都打開？
【答案】55
【分析】本題考查有理數(shù)加法的實際應(yīng)用，最多試幾次，就是要從最壞的情況來考慮，開第一把鎖，從最壞的情況考慮，試了9次還沒成功，第10次一定能打開這把鎖，要開10把不同的鎖的嘗試的次數(shù)相加即可．
【詳解】解：第1把鎖最多試開10次一定能打開，第2把鎖最多試開9次一定能打開……第10把鎖只要試開1次就能打開．所以只需試開1+2+3+???+9+10=55（次）．
答：至多要試開55次才能把10把鎖都打開．
【變式6-3】（23-24七年級·全國·競賽）希希、望望、貝貝三個人在火車上斗地主，地主贏一局積2分，輸一局積負2分，農(nóng)民贏一局積1分，輸一局積負1分．10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為．（提示：地主贏則兩個農(nóng)民都輸；農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸．）
【答案】0/0分
【分析】本題考查數(shù)的運算，計算出每一局的積分和，從而求得10局積分總和．
【詳解】解：由題意，
每一局地主贏則兩個農(nóng)民都輸，此時三人得分總和為2+?1+?1=0分；
每一局農(nóng)民贏則兩個農(nóng)民都贏，地主輸，此時三人得分總和為2+?1+?1=0分；
∴10局之后希希、望望、貝貝三人得分的總和為0分，
故答案為：0．
【題型7 利用有理數(shù)的加法解決幻方問題】
【例7】（23-24七年級·遼寧阜新·期末）把夏禹時代的“洛書”用數(shù)學(xué)符號翻譯出來就是一個三階幻方，它的每行、每列、每條對角線上三個數(shù)之和均相等，則幻方中a?b的值是．
【答案】?3
【分析】
本題主要考查了有理數(shù)的加法，解決此題的關(guān)鍵利用中心數(shù)求幻和，再由幻和與已知數(shù)求得a、b，最后是有理數(shù)的加法．
根據(jù)三階幻方的特點，三階幻方的中心數(shù)，可得三階幻方的和，根據(jù)三階幻方的和，可得a、b的值，根據(jù)有理數(shù)的減法，可得答案．
【詳解】
解：根據(jù)幻方的性質(zhì)，
則a+9=8+5，
所以a=4，
而a+8=5+b，
則b=7，
故a?b=4?7=?3，
故答案為：?3．
【變式7-1】（23-24七年級·山東青島·期中）如圖是根據(jù)幻方改編的“幻圓”游戲，將?3，2，?1，0，1，?2，3，?4分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫行、豎列以及內(nèi)外兩圈上的4個數(shù)字之和都相等．已知圖中a，b，c，d分別表示一個數(shù)，則a+b的值是（）
A．?4B．1C．?2或3D．?2
【答案】C
【分析】本題考查有理數(shù)的加法，根據(jù)題意利用有理數(shù)的加法法則進行計算即可．掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：?3+2?1+0+1?2+3?4=?4，
所以內(nèi)外兩圈上以及橫、豎上的4個數(shù)字之和都為?2，
所以a=?2?(3?2?4)=1，
所以d=?2?(?2+0+1)=?1，
故b=?3或2，
所以a+b=?2或3．
故選：C．
【變式7-2】（23-24七年級·全國·課后作業(yè)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國古代夏禹時期的“洛書”（圖1所示），是世界上最早的矩陣，又稱“幻方”，用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，“洛書”就是一個三階“幻方”（圖2所示）．
【規(guī)律總結(jié)】觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是；
若圖3是一個“幻方”，則b= ．
【答案】每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等 0
【分析】計算每橫行、每豎行、每條對角線上的三數(shù)和，便可回答結(jié)果；根據(jù)題意確定出“幻方”需要的條件，即可確定出b的值．
【詳解】解：觀察圖1、圖2，根據(jù)“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出“幻方”需要滿足的條件是：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等；
因為(?1)+1+3=3，所以b+5+(?2)=3，所以b=0．
故答案為：每一行、每一列和每條對角線上各個數(shù)之和都相等，0
【點睛】此題考查了有理數(shù)的加法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（23-24七年級·江蘇無錫·期中）中國古代數(shù)學(xué)書《數(shù)術(shù)拾遺》是最早記載有關(guān)幻方的文字．如圖是一個簡單的幻方模型，將?1，?2，?3，1，2，3，4，5分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使得每個三角形的三個頂點上的數(shù)之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)之和相等，若已經(jīng)把?1、?3這兩個數(shù)填入了圓圈，則ab+cd的值為．

【答案】2
【分析】先設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，根據(jù)每個三角形的三個頂點上的數(shù)字之和都與中間正方形四個頂點上的數(shù)字之和相等，可先求出b，再根據(jù)e+d?1=c+d+2=e+f?3=a?1，求出d和e，最后求出a和c，即可求出ab+cd的值．
【詳解】解：設(shè)d左邊的圓圈內(nèi)數(shù)字為e，另一個圓圈內(nèi)數(shù)字為f，
根據(jù)題意可知，b+d+e?3=d+e?1，
∴b?6=?1，
∴b=2，
∵e+d?1=c+d+2，e+d?1=e+f?3，e+d?1=a?1，
∴3e+d?1=c+d+2+e+f?3+a?1=?1+?2+?3+1+2+3+4+5=9，
∴e+d?1=3，e=c+3，d=f?2，
∴e+d=4，e=c+3，d=f?2，
∵已填?1、?3，而且b=2，
∴e、d只能從?2，1，3，4，5中選，
∴e=1，d=3或e=3，d=1，
當e=1，d=3時，a=4，c=?2符合題意；
當e=3，d=1時，c=0不符合題意，舍去；
∴a=4，c=?2，
∴ab+cd=2，
故答案為：2．
【點睛】此題主要考查了有理數(shù)加法的運算方法，以及幻方的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．
【題型8 有理數(shù)加法中的新定義問題】
【例8】（23-24七年級·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）定義一種新運算“△”滿足：8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，求1△10．
【答案】55
【分析】根據(jù)新的運算，從“△”前面的數(shù)開始進行連續(xù)自然相加，“△”后面的數(shù)連續(xù)相加的個數(shù)，利用規(guī)律即可求解．
【詳解】由8△3=8+9+10=27，7△4=7+8+9+10=34，6△5=6+7+8+9+10=40，可得：
1△10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．
【點睛】此題考查定義新運算，解此題的關(guān)鍵是觀察規(guī)律進行運算．
【變式8-1】（23-24七年級·山東青島·期中）定義一種運算，設(shè)x表示不超過x的最大整數(shù)，例如2.25=2，?1.5=?2 ，據(jù)此規(guī)定計算?3.73+1.4的值為( )
A．?3B．?2C．?1D．4
【答案】A
【分析】本題主要考查了新定義，有理數(shù)的加法計算，根據(jù)新定義分別求出?3.73=?4，1.4=1，再根據(jù)有理數(shù)的加法計算法則求解即可．
【詳解】解：由題意得，?3.73=?4，1.4=1，
∴?3.73+1.4=?4+1=?3，
故選A．
【變式8-2】（23-24七年級·甘肅定西·階段練習(xí)）定義一種新運算：a*b=a+1b，如：1*2=1+12=32，則1*2*3= ．
【答案】107
【分析】先根據(jù)新定義求出2*3=73，再計算出1*73的結(jié)果即可．
【詳解】解：∵a*b=a+1b，
∴2*3=2+13=73，
∴1*2*3
=1*73
=1+37
=107，
故答案為：107．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法計算，正確理解所給的新定義是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（23-24七年級·湖南長沙·期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目：對非零數(shù)定義一種新的運算，叫※（宏）運算．
下列是一些按照※（宏）運算的運算法則進行運算的算式；+5※+2=+7；?3※?5=+8；?3※+4=?1；+5※?8=?3．
(1)我們在研究有理數(shù)的加法運算時，既要考慮符號，又要考慮絕對值．請你類比有理數(shù)加法的運算法則，歸納※（宏）運算的運算法則；同號兩數(shù)進行※（宏）運算時，異號兩數(shù)進行※（宏）運算時．
(2)計算：?3※+1※?4= ．（括號的作用與它在有理數(shù)運算中的作用一致）
(3)我們知道加法有交換律和結(jié)合律，請你判斷交換律和結(jié)合律在※（宏）運算中是否適用，如果適用只需作出判斷，如果不適用，舉反例說明．（舉一個例子即可）
【答案】(1)同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值
(2)6
(3)加法交換律適用，加法結(jié)合律不適用，例子見解析
【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以總結(jié)出※（宏）運算的運算法則；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可以解答本題，注意運算順序；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論分別采用加法交換律和結(jié)合律計算可以解答本題．
【詳解】（1）解：由題意可得，
歸納※（宏)運算的運算法則：同號兩數(shù)進行※（宏)運算時，同號得正，并把它們的絕對值相加，異號兩數(shù)進行※（宏)運算時，異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；
故答案為：同號得正，并把它們的絕對值相加；異號得負，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．
（2）解：?3※+1※?4，
=?3※?3，
=6，
故答案為：6；
（3）解：∵?2※+3=?1，?3※+2=?1．
∴加法交換律適用；
∵+4※?1※+2=?3※+2=?1，
+4※?1※+2=+4※?1=?3，
而?1≠?3，
∴加法結(jié)合律不適用．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加法運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的加法運算的計算方法．步驟
A
B
C
D
E
F
G
所需時間t分鐘
10
10
8
10
8
11
4

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