北京市第一六一中學2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

本試卷共2頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.
一、選擇題：本大題共10道小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置．
1. 數(shù)列1，3，7，15，…的一個通項公式是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由前4項得到，再利用累加法求解即得．
【詳解】依題意得，，，由此可得，
所以．
又也符合上式，所以符合題意的一個通項公式是．
故選：A
2. 已知和在區(qū)間上的平均變化率分別為a和b，則（）
A. B. C. D. a和b的大小隨著m，n的改變而改變
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)平均變化率的定義求得和，再比較大小即得.
【詳解】依題意，，
，
所以.
故選：B
3. 數(shù)列的前n項和為，且，，則等于（）
A. 35B. 48C. D. 93
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，判斷為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式，即可求得結果.
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故.
故選：D.
4. 函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
詳解】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內，因此選D．
【名師點睛】本題主要考查導數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關系：若導函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調性的拐點，運用導數(shù)知識來討論函數(shù)單調性時，由導函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調區(qū)間．
5. 已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的公差是（）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】在題設條件的兩邊同時乘以6，然后借助前項和公式進行求解．
【詳解】解：，
，
，
．
故選：C．
【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質和應用，解題時要注意前項和公式的靈活運用，屬于基礎題．
6. 函數(shù)在內有且只有一個零點，則（）
A 3B. 1C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】對函數(shù)進行求導，并分類討論函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性結合已知可以求出的值.
詳解】由函數(shù)，求導得，
①當時，在上，
可得函數(shù)上單調遞增，且，函數(shù)在上沒有零點；
②當a＞0時，在上的解為，
因此函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，在處取得極小值，
又只有一個零點，，所以．
故選：A
7. 設，若函數(shù)有大于零的極值點，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由函數(shù)極值點的定義，結合函數(shù)與方程參變分離即可求解.
【詳解】由函數(shù)，求導得，
依題意，有正根，即方程有正根，
而當時，，所以的取值范圍為.
故選：C
8. 設數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】當時，可得，但此時數(shù)列不單調，根據(jù)數(shù)列的單調性，結合充分、必要條件的判定方法，即可得答案.
【詳解】當時，，雖然有，但是數(shù)列為擺動數(shù)列，并不是遞增數(shù)列，所以不充分；
反之當數(shù)列是遞增數(shù)列時，則必有，因此是必要條件，
故選：B．
【點睛】本題考查充分、必要條件的判斷，數(shù)列的單調性，著重考查推理分析的能力，屬基礎題.
9. 若函數(shù)在上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用單調性可得在上恒成立，再借助恒成立問題求解.
【詳解】由函數(shù)，求導得，
由函數(shù)在上單調遞減，得在上恒成立，
即在上恒成立，因此在上恒成立，
而，當時，，，則，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C
10. 已知. 將四個數(shù)按照一定順序排列成一個數(shù)列，則
A. 當時，存在滿足已知條件的，四個數(shù)構成等比數(shù)列
B. 當時，存在滿足已知條件的，四個數(shù)構成等差數(shù)列
C. 當時，存在滿足已知條件的，四個數(shù)構成等比數(shù)列
D. 當時，存在滿足已知條件的，四個數(shù)構成等差數(shù)列
【答案】D
【解析】
【分析】注意到時，符合題目的要求，由此得出正確選項.
【詳解】注意到時，，且的值為，構成公差為的等差數(shù)列.由此判斷出D選項正確.故選D.
【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，考查分析求解能力，屬于基礎題.
二、填空題：本大題共5小題，共25分．把答案填在答題紙中相應的橫線上．
11. 函數(shù)在區(qū)間上的最大值是______；最小值是______．
【答案】 ①. 5 ②.
【解析】
【分析】求出給定函數(shù)的導數(shù)，探討在指定區(qū)間上的單調性，求出最大值、最小值.
【詳解】由，求導得，
而，則當時，，當時，，
因此函數(shù)在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，
函數(shù)在處取到極小值，
當時，，當時，，則函數(shù)在處取到極大值5
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是.
故答案為：5；
12. 已知曲線的一條切線的傾斜角為．則切點橫坐標為______．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合已知條件，即可求得結果.
【詳解】根據(jù)題意，設切點橫坐標為，由，可得，故，解得.
故答案為：.
13. 等差數(shù)列的前n項和為，，，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和的性質，結合已知條件，即可求得結果.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前項和的片段和性質可知：也構成等差數(shù)列，也即構成等差數(shù)列，
則，解得.
故答案為：.
14. 剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術，是中國古老的民間藝術之一，已知某剪紙的裁剪工藝如下：取一張半徑為2的圓形紙片，記為，在內作內接正方形，接著在該正方形內作內切圓，記為，并裁剪去該正方形內多余的部分（如圖所示陰影部分），記為一次裁剪操作，……重復上述裁剪操作4次，最終得到該剪紙．則第4次裁剪操作結束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面積之和為______．
【答案】
【解析】
【分析】記第個內接正方形的邊長為，其內切圓的半徑為，找到它們之間的遞推關系：，，這樣就可以直接列舉并求出結果.
【詳解】第次剪去正方形內多余部分的面積記為；
因為的半徑為2，由其內接正方形對角線為直徑，所以內接正方形的邊長為，
即，再作第一個內切圓，其直徑為該正方形的邊長，即，
所以第一次剪去部分的面積為，
同理：，，，
，，，
，，，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面積之和為：，
故答案為：.
15. 對于函數(shù)：①，②，③，④．判斷如下兩個命題的真假：
命題甲：在區(qū)間上是增函數(shù)；
命題乙：在區(qū)間上恰有兩個零點，，且．
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是______．（請寫出所有滿足條件的函數(shù)序號）
【答案】②③
【解析】
【分析】分別分析四個函數(shù)的性質，求出它們的單調區(qū)間，以及他們在區(qū)間上零點的個數(shù)，和題目中的兩個條件進行比照，即可得到答案．
【詳解】函數(shù)①，
令，可得，即，
解得，故在區(qū)間上有無數(shù)個零點，命題乙為假，函數(shù)①不滿足條件；
函數(shù)②，
在區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)也是增函數(shù)，
兩者的和函數(shù)也是增函數(shù)，命題甲為真；
分別畫出與的圖像如圖所示，在時恰有兩個不同的交點，

即在區(qū)間上恰有兩個零點，，且，有，命題乙為真，
函數(shù)②滿足條件；
函數(shù)③，
，在區(qū)間上，，在區(qū)間上是增函數(shù)，命題甲為真；
在上，，單調遞減；在上，，單調遞增，
當時，取得最小值，又，
令，解得或，即為的兩個零點，
∴在區(qū)間上恰有兩個零點，，且，命題乙為真．
函數(shù)③滿足條件.
函數(shù)④，
，當時，，單調遞減；當時，
，單調遞增，
則有，
故在區(qū)間上只有一個零點，命題乙為假，函數(shù)④不滿足條件；
故答案為：②③.
三、解答題：本大題共6題，共85分．把答案填在答題紙中相應的位置上．
16. 已知等差數(shù)列的公差，且，，的前n項和為．
（1）求的通項公式；
（2）若，，成等比數(shù)列，求m的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出方程組求出，即可求得數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）的結論，求出前n項和為，結合已知列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
等差數(shù)列中，由，得，又，而，即，
解得，則，于是
所以數(shù)列的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，則，，，
由，，成等比數(shù)列，得，即，
整理得，而，解得，
所以.
17. 如圖，在多面體中，平面平面.四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，.
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見詳解；（2）
【解析】
【分析】（1）由，平面平面，利用面面垂直的性質定理可得平面，再利用線面垂直的性質定理即可證出.
（2）取上的點，使得，證明且，過作于，則平面，連接，則為直線與平面所成角，求解三角形即可得出答案.
【詳解】（1）證明：四邊形正方形，
，
平面平面，且平面平面，
平面，則.
（2）取上的點，使得，
則且，
且，
則四邊形為平行四邊形，
則且，
由，，
可得，
過作于，則平面，連接，
則為直線與平面所成角，
在中，求得，
直線與平面所成角的正弦值為 .
【點睛】本題考查了面面垂直的性質定理、線面垂直的性質定理、線面角，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.
18. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，若曲線在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，從而求出切線方程；
（2）依題意可得當時，恒成立，參變分離可得當時，恒成立，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求出的范圍，從而得解.
【小問1詳解】
當時，，則，
所以切線斜率，
又因為，
所以曲線在點處的切線方程為，即；
【小問2詳解】
由題意可知，當時，恒成立，
即當時，恒成立，
設，，
則，
所以在上單調遞減，
所以，
所以，
即實數(shù)的取值范圍為．
19. 已知曲線：是焦點在軸上的橢圓．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，過點的直線與直線交于點，與橢圓交于，點關于原點的對稱點為，直線交直線交于點，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意將橢圓方程化為標準式，根據(jù)焦點的位置及橢圓方程的特征列出不等式組，解得即可；
（2）首先得到橢圓方程，設出直線的方程，聯(lián)立方程，求得點，的坐標，根據(jù)對稱性得到點的坐標，從而得到直線的方程，令，求出點的坐標，得到的表達式，再根據(jù)均值不等式進行求解即可．
【小問1詳解】
因為曲線是焦點在軸上的橢圓，
即，所以，解得，
則實數(shù)的取值范圍為；
【小問2詳解】
易知直線的斜率存在且不為，
不妨設直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即，
當時，橢圓方程為，
聯(lián)立，消去并整理得，
解得，則，
即，
因為點關于原點的對稱點為，所以，
此時，
所以直線的方程為，
當時，解得，即，
所以，
則，
因為，
所以，，
則，
當且僅當，即時，等號成立，
所以當時，取得最小值，最小值為．
故的最小值為．
【點睛】方法點睛：
解答圓錐曲線的最值問題的方法與策略：
（1）幾何轉化代數(shù)法：若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③單調性法；④三角換元法；⑤導數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
20. 已知函數(shù)()，．
（Ⅰ）求的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當時，若函數(shù)在區(qū)間內存在唯一的極值點，求的值．
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）或．
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）求出的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調性得到導函數(shù)的零點，求出函數(shù)的極值點，求出的值即可．
【詳解】（Ⅰ）由已知得，．
（?。┊敃r，恒成立，則函數(shù)在為增函數(shù)；
（ⅱ）當時，由，得；
由，得；
所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．
（Ⅱ）因為，
則．
由（Ⅰ）可知，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減．
又因為，，
所以在上有且只有一個零點．
又在上，在上單調遞減；
在上，在上單調遞增．
所以為極值點，此時．
又，，
所以在上有且只有一個零點．
又在上，在上單調遞增；
在上，在上單調遞減．
所以為極值點，此時．
綜上所述，或．
【點睛】導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．
21. 已知數(shù)列的首項，其中，，令集合．
（1）若，寫出集合A中的所有的元素；
（2）若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項構成等比數(shù)列，求a的所有可能取值構成的集合；
（3）求證：．
【答案】（1）4，5，6，2，3，1；
（2）{,}；
（3）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由，利用遞推關系依次求出a2，a3，a4，a5，a6，a7，發(fā)現(xiàn)a6以后的值與前面項中的值重復出現(xiàn)，由此可知集合A中共有6個元素；
（2）設出數(shù)列中的一項為，若是3的倍數(shù)，則有；若是被3除余1，由遞推關系得到，若被3除余2，由遞推關系得到．說明構成的連續(xù)7項成等比數(shù)列的公比為，結合數(shù)列遞推式得到符合的形式，再保證滿
足≤2020即能求出答案；
（3）分被3除余1，被3除余2，被3除余0三種情況討論，借助于給出的遞推式得到數(shù)列{an}中必存在某一項≤3，然后分別由，，進行推證，最終證得1∈A.
【小問1詳解】
因為，，，，，，，
所以集合的所有元素為：4，5，6，2，3，1.
【小問2詳解】
不妨設成等比數(shù)列的這連續(xù)7項的第一項為，
如果是3的倍數(shù)，則；
如果是被3除余1，則由遞推關系可得，所以是3的倍數(shù)，所以；
如果被3除余2，則由遞推關系可得，所以是3的倍數(shù)，所以.
因此該7項的等比數(shù)列的公比為.
又因為，所以這7項中前6項一定都是3的倍數(shù)，而第7項一定不是3的倍數(shù)（否則構成等比數(shù)列的連續(xù)項數(shù)會多于7項），
設第7項為，則是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得
因為，所以或，
由遞推關系式可知，在該數(shù)列的前項中，滿足小于2020的各項只有：
或,或,
所以首項的所有可能取值的集合為{,}.
【小問3詳解】
若被3除余1，則由已知可得,；
若被3除余2，則由已知可得,,；
若被3除余0，則由已知可得,；
因此，
所以，對于數(shù)列中的任意一項，“若，則”，
因為，所以.
所以數(shù)列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾?。?br>若,結論得證.
若,則；若,則,
所以.
【點睛】關鍵點點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問題，按條件寫出變量的前幾個取值對應數(shù)列，認真分析每個變量對應的數(shù)列，找準變化規(guī)律是解決問題的關鍵.

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