2024.2
班級__________姓名__________學號__________.
本試卷共2頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案寫在答題紙上，在試卷上作答無效.
一?選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求.把正確答案涂寫在答題卡上相應的位置.
1.直線的傾角為（ ）
A. B. C. D.
2.已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（ ）
A. B.
C. D.
3.的展開式中的各項系數(shù)和是（ ）
A.1 B.-1 C. D.
4.橢圓的焦距為2，則為（ ）
A.5或13 B.5 C.8或10 D.8
5.在平直角坐標系中，拋物線上縱坐標為1的點到焦點的距離為3，則的值為（ ）
A.2 B.8 C. D.4
6.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
7.若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B.2 C. D.
8.從高二年級的5名同學中選派4人作為志愿者分別承擔4項不同的公益工作，若其中甲?乙兩人只能從事其中的兩項工作，其余三人均能從事這4項工作，則不同的選派方案共有（ ）
A.48種 B.12種 C.18種 D.36種
9.橢圓的左右焦點分別為，過與長軸垂直的直線與橢圓交于兩點，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
10.“方程表示雙曲線”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
11.已知直線與圓，則直線與圓的位置關系是（ ）
A.相離 B.相切 C.相交 D.不能確定
12.如圖，在棱長為1的正方體中，為線段上的點，且，點在線段上，則點到直線距離的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二?填空題：本大題共6小題，共30分.把答案填在答題紙中相應的橫線上.
13.展開式中的常數(shù)項是__________.
14.已知雙曲線，則雙曲線的離心率為__________；直線與雙曲線相交于兩點，則__________.
15.已知點在拋物線上，則點到直線的距離和到直線的距離之和的最小值為__________.
16.如圖，在正方體中，點是平面內(nèi)一點，且平面，則的最大值為__________.
17.命題：已知，滿足的所有點都在軸上.能夠說明命題是假命題的一個點的坐標為__________.
18.在平面直角坐標系中，動點到兩坐標軸的距離之和等于它到定點的距離，記點的軌跡為.給出下面四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號為__________.
①曲線關于原點對稱；
②曲線關于直線對稱；
③點在曲線上；
④在第一象限內(nèi)，曲線與軸的非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于.
三?解答題：本大題共4題，共60分.把答案填在答題紙中相應的位置上.
19.（本題15分）已知在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，是正三角形，平面，分別是的中點.
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成二面角的大小.
20.（本題15分）已知橢圓
的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離之和為4.若直線過點
，且與橢圓相交于不同的兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若線段中點的縱坐標，求直線的方程.
21.（本題15分）在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，說明理由.
22.（本題15分）已知橢圓的離心率等于，經(jīng)過其左焦點
且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）為原點，在軸上是否存在定點，使得點到直線的距離總相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
北京市第一六一中學2023—2024學年第二學期開學測試
高二數(shù)學參考答案
2024.2
一?選擇題：本大題共12道小題，每小題5分，共60分.
二?填空題：本大題共6小題，共30分.
13. 14.， 15. 16. 17.（答案不唯一） 18.②③④
三?解答題：本大題共4題，共60分.
19.（本題15分）
（1）證明：因為是正三角形，是的中點，所以.
又因為平面平面，所以.
平面，
所以面.
（2）如圖，以點為原點分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標系.
則，
，
設平面的法向量為，
令，則，
又平面的法向量，
設平面與平面所成二面角為，
所以.
所以平面與平面所成二面角為.
20.（本題15分）
解：（1）由題意可知，得，解得.
所以橢圓的方程為.
（2）由題意可知直線斜率存在
設設
消得
設中點坐標為
直線方程為
21.（本題15分）
解：（1）設中點為，連結(jié).
因為，且，
所以且，所以四邊形為平行四邊形.
所以，且.
因為正方形，所以，
所以，且.所以四邊形為平行四邊形.
所以.
因為平面平面，
所以平面.
（2）以點為原點分別以所在直線為軸?軸?軸如圖建立空間坐標系，則
，
，
所以，
.
設平面的一個法向量為，
所以.
令，則，所以.設與平面所成角為，
則.
所以與平面所成角的正弦值是.
（3）依題意，可設，則.
設平面的一個法向量為，
則.
令，則，
所以.
因為平面平面，
所以，即
所以，點.所以.
22.（本題15分）
解：（1）由題意得解得
故橢圓的方程為.
（2）當直線斜率存在時，設直線的方程為.
由消去得.
易得.設，
則
設.由點在軸異側(cè)，則問題等價于“平分”，且，
又等價于“”，即.
將代入上式，整理得.
將①②代入上式，整理得，即，
所以.
當直線的斜率不存在時，存在也使得點到直線的距離相等.
故在軸上存在定點，使得點到直線的距離總相等.1
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C
D
A
C
D
A
D
D
B
B
C
C

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