一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 已知為等差數(shù)列，，則（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.
故選：C.
2. 函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為
A. （1,1]B. （0,1]C. [1，+∞）D. （0，+∞）
【答案】B
【解析】
【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B
考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域
3. 由0，1，2，5四個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)是（ ）
A. 24B. 12C. 10D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
分個位數(shù)是0和個位數(shù)是5兩類求解.
【詳解】當(dāng)個位數(shù)是0時，有個，
當(dāng)個位數(shù)是5時，有個，
所以能被5整除的個數(shù)是10，
故選：C
4. 某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，要求必須有女生，那么不同的選派方案種數(shù)為（ ）
A. 14B. 24C. 28D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】利用間接法，用總數(shù)減去沒有女生的情況即可.
【詳解】從6名學(xué)生中選派4人有種選法，
從6名學(xué)生中選派4人，沒有女生有種選法，
故要求必須有女生，那么不同的選派方案種數(shù)為種選法.
故選：A.
5. 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在恒成立.
【詳解】,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，
則的取值范圍為.
故選：B
6. 某棵果樹前n年的總產(chǎn)量Sn與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高，則m的值為（ ）

A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】觀察圖象判定斜率大小即可.
【詳解】
若果樹前n年的總產(chǎn)量與n在圖中對應(yīng)點(diǎn)
則前n年的年平均產(chǎn)量，即為直線OP的斜率，
由圖易得當(dāng)n＝9時，直線OP的斜率最大.
即前9年的年平均產(chǎn)量最高.
故選：C.
7. 已知等比數(shù)列中，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得的范圍，可驗(yàn)證充分性和必要性是否成立，由此得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由得：，又，，解得：，
，充分性成立；
由得：，又，，解得：或，
當(dāng)時，，，必要性不成立.
“”是“”的充分不必要條件.
故選：.
【點(diǎn)睛】本題考查充分條件與必要條件的判定，涉及到等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
8. 對于上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若當(dāng)時滿足，則必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)，得到時，單調(diào)非遞增函數(shù)，時，單調(diào)非遞減函數(shù)求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，即時，，則單調(diào)非遞增函數(shù)，
所以；
當(dāng)，即時，，單調(diào)非遞減函數(shù)，
所以；
由不等式的性質(zhì)得：.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的基本性質(zhì)，屬于中檔題.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 的解集是B. 是極小值，是極大值
C. 沒有最小值，也沒有最大值D. 有最大值，沒有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式判斷A；利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值、最值判斷BCD.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，
對于A，，解得，即的解集是，A正確；
對于BCD，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因此是極小值，是極大值，B正確；
顯然當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，，，
而當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)椋?，因此有最大值，沒有最小值，C錯誤，D正確.
故選：C
10. 數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：
（1）的定義域?yàn)椋?br>（2）數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)遞增；
（3）使成立，
則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列四個結(jié)論：
①與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”；
②與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”；
③與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個；
④與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個.
其中所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A ①③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)“單調(diào)偶遇關(guān)系”的新定義可判斷選項(xiàng)①，②；以一次函數(shù)為例，可判斷③；令，通過計(jì)算可判斷④．
【詳解】對于①：數(shù)列中，由可知任意兩項(xiàng)不相等，定義域?yàn)闈M足（1），
數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足（2），
數(shù)列的前項(xiàng)和，
由得，解得，
所以使成立，滿足（3），故①正確；
對于②：數(shù)列中，由可知任意兩項(xiàng)不相等，定義域?yàn)闈M足（1），
數(shù)列和均單調(diào)遞增滿足（2），
的前項(xiàng)和，由得恒成立，
所以使成立滿足（3），
故與具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”，故②說法正確；
對于③：以一次函數(shù)為例，，，，
即，
整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，
即，對進(jìn)行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)組，故③說法不正確；
對于④：中令．
由得，取，即可保證恒有解，故選項(xiàng)④正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過①可想到③中以一次函數(shù)為例，通過②可想到④中令，通過舉例達(dá)到解決問題的目的.
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分.
11. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．
【答案】6
【解析】
【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.
【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則常數(shù)項(xiàng)為，
故答案為：6.
12. 函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為____________，其極小值為_____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接令求零點(diǎn)，求導(dǎo)，確定單調(diào)性后可得極值.
【詳解】令，則或（舍去）
所以，故函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為；
又，
令，得，在上單調(diào)遞減，
令，得，在上單調(diào)遞增，
故的極小值為.
故答案為：；.
13. 曲線在處的切線的方程為__________．
【答案】
【解析】
【分析】求導(dǎo)得切線斜率，由直線的點(diǎn)斜式即可求解直線方程.
【詳解】由得，故，又，
所以切線方程為，即，
故答案為：
14. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，能說明“若對任意的都成立且，則在上必有零點(diǎn)”為假命題的一個函數(shù)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由題得在上遞減，且，在與軸無交點(diǎn)，選中這樣的一個函數(shù)即可.
【詳解】“若對任意的都成立且”,則在上遞減，
且，再由“在上必有零點(diǎn)”為假命題，
可得的圖象在與軸無交點(diǎn)，這樣的函數(shù)可以是，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的概念的理解，考查了分析推理能力，是一個開放題，答案不唯一，屬于基礎(chǔ)題.
15. “S”型函數(shù)是統(tǒng)計(jì)分析?生態(tài)學(xué)?人工智能等領(lǐng)域常見的函數(shù)模型，其圖象形似英文字母“S”，所以其圖象也被稱為“S”型曲線.某校生物興趣小組在0.5毫升培養(yǎng)液中放入5個大草履蟲，每隔一段時間統(tǒng)計(jì)一次大草履蟲的數(shù)量，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)得到大草履蟲的數(shù)量(單位：個)與時間(單位：小時)的關(guān)系近似為一個“S”型函數(shù).已知函數(shù).的部分圖象如圖所示，為的導(dǎo)函數(shù).
給出下列四個結(jié)論：
①對任意，存在，使得；
②對任意，存在，使得；
③對任意，存在，使得；
④對任意，存在，使得.
其中所有正確結(jié)論的序號是___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可刻畫出導(dǎo)函數(shù)的圖象，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的圖象特征逐個判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可得導(dǎo)函數(shù)的圖象（如圖所示），
設(shè)導(dǎo)數(shù)在取最大值，結(jié)合的圖象可知，
且當(dāng)時，為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
對于①，任意，取，則有，故①成立.
對于②，設(shè)，由圖象的性質(zhì)可平移直線至處，
此時平移后的直線與圖象相切，且，取，
故，故②正確.
對于③，取如圖所示的，設(shè)，，過作橫軸的平行線，
交的圖象于，由函數(shù)的圖象特征可得，
取，則，故③不成立.
對于④，?。棰僦凶畲笾迭c(diǎn)），
則過切線“穿過”曲線，曲線上不存在與該切線平行的割線，
否則與導(dǎo)數(shù)存在唯一的最大值點(diǎn)矛盾，故④錯誤.
故答案為：①②.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在導(dǎo)數(shù)問題中，如果知道原函數(shù)的圖象，則可以根據(jù)切線的變化刻畫出導(dǎo)數(shù)的圖象，從而可研究與導(dǎo)數(shù)或原函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的命題判斷.
16. 已知函數(shù)，存在，使得成立.給出下列四個結(jié)論:
①當(dāng)時，; ②當(dāng)時，;
③當(dāng)時，; ④當(dāng)時，.
其中所有正確結(jié)論的序號是________________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由，可得，即，轉(zhuǎn)化為，然后對求導(dǎo)，求出其單調(diào)區(qū)間，畫出的圖象，結(jié)合圖象逐個分析判斷即可．
【詳解】由，得，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以的大致圖象如圖所示：

因?yàn)椋?br>所，即，
所以，
當(dāng)時，或或或，
則或或或，所以，所以①正確；
當(dāng)時，若，此時與均可以趨于，所以③錯誤；
當(dāng)時，由，得，所以，
因?yàn)椋杂蓤D象可知當(dāng)時，有，
所以，所以②正確；
當(dāng)時，由圖和②可知，
則，
所以，
令，，
則，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時，成立，所以④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)為將條件變形為，從而，通過函數(shù)的性質(zhì)來研究問題.
三、解答題共4小題，共50分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
17. 已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，滿足，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算可求解公差，進(jìn)而可求通項(xiàng).
（2）根據(jù)分組求和以及等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【小問1詳解】
，，成等比數(shù)列，故，化簡得：因?yàn)椋?，因?br>【小問2詳解】
，因此
18. 已知函數(shù)．
（1）求的值；
（2）求在區(qū)間上的最值；
（3）若，求的單調(diào)區(qū)間．
【答案】（1）
（2）最大值為，最小值為
（3）答案見解析
【解析】
分析】（1）求導(dǎo)，再令即可得解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在求出函數(shù)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得出函數(shù)的最值；
（3）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可得解.
【小問1詳解】
，則；
【小問2詳解】
，
當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為；
【小問3詳解】
，，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，或時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；
19 已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)曲線是否存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，若存在，請給出這兩個點(diǎn)的坐標(biāo)及此時的值，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由見解析．
【解析】
【分析】(1)對求導(dǎo)，得出所求切線的斜率即可得解；
(2)按a值取正負(fù)零分別討論在0左右兩側(cè)值的正負(fù)而得解；
(3)假定曲線存在兩個不同點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，轉(zhuǎn)化為曲線上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，討論性質(zhì)即可得解.
【詳解】(1)由已知得，
，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；
(2)，
①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值，不符；
②當(dāng)時，x

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