高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列第二課時等差數(shù)列學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算
1．通項公式：an＝a1＋(n－1)d．
2．前n項和公式：Sn＝na1＋nn-12d或Sn＝na1+an2．
[典例1] (1)(多選)(2024·淄博模擬)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是( )
A．a(chǎn)2＋a3＝0 B．a(chǎn)n＝2n－5
C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
(2)(2024·內(nèi)蒙古模擬)已知等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，S4＝24，S9＝99，則a7等于( )
A．13 B．14
C．15 D．16
(1)ABC (2)C [(1)S4＝4×a1+a42＝0，
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正確；
a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
聯(lián)立①②得d=2，a1=-3，
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正確，D錯誤；
Sn＝－3n＋nn-12×2＝n2－4n，C正確．
(2)∵S4=24，S9=99，∴4a1+6d=24，9a1+36d=99，解得a1=3，d=2．
則a7＝a1＋6d＝15．]
等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可通過方程組達(dá)到“知三求二”，解題的關(guān)鍵是求出兩個最基本的量，即首項a1和公差d．
跟進(jìn)訓(xùn)練1 (1)(多選)(2024·廣州調(diào)研)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a3＋a6＝24，S6＝48，則下列正確的是( )
A．a(chǎn)1＝－2 B．a(chǎn)1＝2
C．d＝4 D．d＝－4
(2)(2024·信陽一中月考)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，則S10＝________．
(1)AC (2)25 [(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．
因為a3+a6=2a1+7d=24，S6=6a1+15d=48，
所以a1=-2，d=4．
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＋a6＝2a1＋6d＝2．
因為a1＝－2，所以d＝1．
所以S10＝10×(－2)＋10×92×1＝25．]
考點二等差數(shù)列的判定與證明
1．等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示．
2．等差中項：如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且有2A＝a＋b．
[典例2] (2024·臺州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an-1an．
(1)求證：數(shù)列1an-1是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)證明：由1an+1-1＝12an-1an-1＝anan-1＝1an-1＋1，
得1an+1-1－1an-1＝1，
又a1＝2，∴1a1-1＝1，
∴數(shù)列1an-1是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)知，1an-1＝n，∴an＝n+1n，
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n+1n．
等差數(shù)列的證明方法一般用定義法，即證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)；而判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列時可以用定義法、等差中項法、通項公式法及前n項和公式法等．
跟進(jìn)訓(xùn)練2 (2024·寧波中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n．
(1)求a2，a3；
(2)證明數(shù)列ann是等差數(shù)列，并求{an}的通項公式．
[解] (1)由題意可得a2－2a1＝4，
則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6．
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，
所以a3＝15．
(2)由已知得nan+1-n+1annn+1＝2，即an+1n+1－ann＝2，
所以數(shù)列ann是首項為a11＝1，公差為2的等差數(shù)列，
則ann＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以an＝2n2－n．
考點三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
1．通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
2．若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an．
3．若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差數(shù)列．
5．S2n－1＝(2n－1)an．
6．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Snn為等差數(shù)列．
等差數(shù)列項的性質(zhì)
[典例3] (2024·衡陽調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，a2＋a4＋a6＝12，a1＋a3＋a5＝9，則a1＋a6等于( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [因為2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，所以{an}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可得a2＋a4＋a6＝3a4＝12，a1＋a3＋a5＝3a3＝9，所以a1＋a6＝a3＋a4＝3＋4＝7．]
等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
[典例4] (1)(2024·濟(jì)鋼中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于( )
A．110 B．150
C．210 D．280
(2)(2024·廣東仲元中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn和Tn，若SnTn＝3n+2n+1，則a5b5等于( )
A．295 B．2910
C．285 D．145
(1)D (2)B [(1)因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150．
又因為(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，
所以S40＝280．
(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式，有a5b5＝2a52b5＝9a1+a929b1+b92＝S9T9＝3×9+29+1＝2910．故選B．]
利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的三個關(guān)注點
(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項的和問題，一般先考慮應(yīng)用項的性質(zhì)．
(2)在Sn＝na1+an2中，Sn與a1＋an可相互轉(zhuǎn)化．
(3)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m．
跟進(jìn)訓(xùn)練3 (1)(2024年1月九省聯(lián)考)記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，則S16＝( )
A．120 B．140
C．160 D．180
(2)(2024·武漢調(diào)研)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 018，S2 0202 020－S2 0142 014＝6，則S2 024＝________．
(1)C (2)10 120 [(1)因為a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3，所以a5＋a12＝3＋17＝20，
所以S16＝a1+a16×162＝8a5+a12＝160．
故選C．
(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得Snn也為等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，則S2 0202 020－S2 0142 014＝6d＝6，所以d＝1，
所以S2 0242 024＝S11＋2 023d＝－2 018＋2 023＝5，
所以S2 024＝10 120．]
考點四等差數(shù)列的前n項和及其最值
1．通項公式：當(dāng)公差d≠0時，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差d．若公差d＞0，則為遞增數(shù)列，若公差d＜0，則為遞減數(shù)列．
2．前n項和：當(dāng)公差d≠0時，Sn＝na1＋nn-12d＝d2n2＋a1-d2n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0．
[典例5] (2024·涼山州模擬)在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15．求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解] 法一(函數(shù)法)：
因為a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53．
Sn＝20n＋nn-12·-53＝－56n2＋1256n
＝－56n-2522＋3 12524．
因為n∈N*，所以當(dāng)n＝12或13時，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130．
法二(鄰項變號法)：
因為a1＝20，S10＝S15，
所以10×20＋10×92d＝15×20＋15×142d，
所以d＝－53．
an＝20＋(n－1)×-53＝－53n＋653．
因為a1＝20>0，d＝－530，則n的最大值為________．
(1)C (2)16 [(1)法一：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a7＋a8＝0．
根據(jù)首項等于13可推出這個數(shù)列遞減，從而得到a7>0，a80，即－n2＋17n>0，
解得00，
由等差中項的性質(zhì)有3a11>0，即a11>0，
由a2＋a21