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第1課時(shí) 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法
[考試要求] 1．了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．
考點(diǎn)一 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
1．?dāng)?shù)列的定義
一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
2．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和
(1)表示：在數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和．
(2)an與Sn的關(guān)系：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2．
提醒：若a1滿足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，則不需要分段．
[典例1] (1)(2024·臨川二中月考)已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
(2)(2024·榆林模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，則an＝________．
(1)－2n-1 (2)2，n=1，2n-1n，n≥2，n∈N* [(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1．
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1．②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝－1，公比q＝2的等比數(shù)列，
∴an＝a1·qn-1＝－2n-1．
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n-1(n≥2，n∈N*)，②
由①－②得nan＝2n－2n-1＝2n-1，
∴an＝2n-1n(n≥2，n∈N*)．
顯然當(dāng)n＝1時(shí)不滿足上式，
∴an＝2，n=1，2n-1n，n≥2，n∈N*．]
(1)由Sn＝f (n)求an時(shí)，先分n＝1，n≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證能否合并成同一個(gè)表達(dá)式．
(2)由f (an，Sn)＝0求an時(shí)，由f (an，Sn)＝0得出f (an-1，S n-1)＝0，兩式相減得到數(shù)列的遞推公式再求解．
跟進(jìn)訓(xùn)練1 (1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n，則an＝________．
(2)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，an＋1＋2Sn＝2n＋1，則S2 024＝________．
(1)2n＋1 (2)2 024 [(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1．由于a1＝3滿足上式，∴an＝2n＋1．
(2)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋2S1＝2＋1，∴a2＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1＋2Sn＝2n＋1，得
an＋2Sn－1＝2(n－1)＋1(n≥2)，兩式相減，得an＋1＋an＝2(n≥2)．
∵a2＝1，∴an＝1(n≥2)．
∵a1＝1，∴an＝1，
∴Sn＝n，∴S2 024＝2 024．]
考點(diǎn)二 由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
1．?dāng)?shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．
2．通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
3．?dāng)?shù)列的遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
累加法
[典例2] 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．
n2+n2 [由題意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝n-12+n2＝n2+n-22．
∵a1＝1，∴an＝n2+n2(n≥2)．
∵當(dāng)n＝1時(shí)也滿足此式，∴an＝n2+n2．]
累乘法
[典例3] 若數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，則an＝________．
2n+1 [由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得anan-1＝nn+1(n≥2)．
所以an＝anan-1·an-1an-2·an-2an-3·…·a3a2·a2a1·a1＝nn+1×n-1n×n-2n-1×…×34×23×1＝2n+1，
又a1＝1也滿足上式，所以an＝2n+1．]
構(gòu)造法
[典例4] (2024·西安一中月考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．
2·3n-1－1 [∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴an+1+1an+1＝3，
∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n-1，
∴an＝2·3n-1－1．]
取倒數(shù)法
[典例5] (2024·萊陽(yáng)一中模擬)若a1＝1，an＋1＝an3an+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
13n-2 [對(duì)an＋1＝an3an+1兩邊取倒數(shù)，
得1an+1＝1an＋3，所以數(shù)列1an是首項(xiàng)為1a1＝1，公差為3的等差數(shù)列，
所以1an＝3n－2，an＝13n-2．]
由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法
跟進(jìn)訓(xùn)練2 寫(xiě)出下面各遞推公式表示的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋1nn+1；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋1；
(4)a1＝23，an＋1＝2anan+2．
[解] (1)因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝1nn-1＝1n-1－1n，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n-1-1n＋1n-2-1n-1＋…＋12-13＋1-12＋2＝3－1n．
當(dāng)n＝1時(shí)，滿足上式．故an＝3－1n．
(2)因?yàn)閍n+1an＝2n，所以a2a1＝21，a3a2＝22，…，anan-1＝2n-1，將這n－1個(gè)等式累乘，
得ana1＝21+2+…＋(n-1)＝2n(n-1)2，
所以an＝2n(n-1)2．
當(dāng)n＝1時(shí)，也適合上式．故an＝2n(n-1)2．
(3)由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1．
(4)由an＋1＝2anan+2知an≠0，兩邊取倒數(shù)得1an+1－1an＝12，
所以數(shù)列1an是以32為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，
所以1an＝32＋(n－1)×12＝n+22，an＝2n+2．
考點(diǎn)三 數(shù)列的函數(shù)特性
數(shù)列的周期性
[典例6] (2024·廣東汕頭模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝－14，當(dāng)n>1時(shí)，an＝1－1an-1，則a2 024＝( )
A．－14 B．45 C．5 D．－45
C [由題意得a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝45，a4＝1－1a3＝－14，
則數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，則a2 024＝a674×3＋2＝a2＝5．故選C．]
數(shù)列的單調(diào)性
[典例7] (2024·日照實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－2λn(n∈N*)，則“λ0，∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ對(duì)任意的n∈N*都成立，于是有λ

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