高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第三課時(shí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案

這是一份高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)第三課時(shí)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用學(xué)案，共14頁(yè)。
1．向量的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．
當(dāng)θ＝π2時(shí)，a與b相互垂直，記作a⊥b；
當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b共線且同向；
當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b共線且反向．
2．平面向量的數(shù)量積
定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cs θ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ．
規(guī)定：0·a＝0．
3．投影向量
設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，AB＝a，CD＝b，過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量，記為|a|cs θ e．
提醒：設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角為θ，則a在b上的投影向量為|a|cs θbb＝a·bbb2．
4．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](該式又稱作極化恒等式)．
[典例1] (1)已知AB＝(2，3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，則AB·BC＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
(2)在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)．①若BD＝xBA＋yBC，則x＋y＝________；②BD·BM＝________．
(1)C (2)①34 ②1 [(1)因?yàn)锽C＝AC-AB＝(1，t－3)，
所以|BC|＝12+t-32＝1，解得t＝3，
所以BC＝(1，0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2．
(2)①∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝12BC，
∵D是AM的中點(diǎn)，∴BD＝12BA＋12BM＝12BA＋14BC，
∴x＝12，y＝14，∴x＋y＝34．
②∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，M是BC的中點(diǎn)，
∴AM⊥BC，且BM＝1，BD cs ∠DBM＝BM．
∴BD·BM＝|BD||BM|cs ∠DBM＝|BM|2＝1．]
數(shù)量積a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2(其中兩向量夾角為θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．解題時(shí)一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．
跟進(jìn)訓(xùn)練1 (1)(2024·河北邯鄲模擬)已知a，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，則向量a－2b在向量b上的投影向量為( )
A．b B．－2b C．－12b D．－b
(2)在Rt△ABC中，∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，若AD＝32AB，則CD·CB＝( )
A．－18 B．－63
C．18 D．63
(1)B (2)C [(1)因?yàn)閍，b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量為
a-2b·bb·bb＝－2b．故選B．
(2)法一(基向量法)：由∠C＝π2，AB＝4，AC＝2，得CB＝23，CA·CB＝0，CD·CB＝(CA+AD)·CB＝CA·CB＋32AB·CB＝32(CB-CA)·CB＝32CB2＝18，故選C．
法二(坐標(biāo)法)：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在的直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則C(0，0)，A(2，0)，B(0，23)．由題意得∠CBA＝π6，又AD＝32AB，所以D(－1，33)，則CD·CB＝(－1，33)·(0，23)＝18，故選C．]
考點(diǎn)二 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用
1．向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示
設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝a·a＝x12+y12．
(3)夾角：cs θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22．
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2+y1y2|≤x12+y12·x22+y22．
向量的模
[典例2] (2024·江蘇無(wú)錫模擬)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，3)，x∈R，則|b＋xa|的最小值是( )
A．1 B．0
C．2 D．4
A [因?yàn)閎＋xa＝(1，3)＋x(0，－1)＝(1，3－x)，
所以|b＋xa|＝1+3-x2，
因?yàn)閤∈R，所以|b＋xa|＝1+3-x2≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時(shí)，等號(hào)成立．故選A．]
向量的夾角與垂直
[典例3] (1)(2024·耒陽(yáng)模擬)已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－1)，若b與λa＋b(λ∈R)垂直，則λ＝( )
A．54 B．－54
C．－12 D．12
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是________．
(1)A (2)-∞，-92∪-92，3 [(1)依題意，λa＋b＝(2－λ，2λ－1)，又b與λa＋b(λ∈R)垂直，
所以(λa＋b)·b＝(2－λ，2λ－1)·(2，－1)＝0，
即2(2－λ)－(2λ－1)＝0，所以λ＝54．故選A．
(2)∵2a－3b與c的夾角為鈍角，
∴(2a－3b)·c