2021屆高三新高考數(shù)學人教A版一輪復習教學案：第五章第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用-學案下載-教習網(wǎng)

第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用
考試要求　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；3.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題；6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.

知識梳理
1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.
(2)數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a·b＝|a||b|cos__θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.
(3)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘積.
2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示
設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)?|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量數(shù)量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系；
(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
[常用結(jié)論與微點提醒]
1.向量a在向量b方向上的投影與向量b在向量a方向上的投影不是一個概念，要加以區(qū)別.
2.兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b0”是“a與b的夾角為銳角”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析　根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或零角，若a與b的夾角為銳角，則一定有a·b>0，所以“a·b>0”是“a與b的夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.
答案　B
3.(2020·烏海模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，則|2a－b|等于(　　)
A.2 B. C. D.2
解析　根據(jù)題意，|a－b|＝＝，
則(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，結(jié)合|a|＝1，|b|＝2，
可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，
則|2a－b|＝2，故選A.
答案　A
4.(2019·哈爾濱質(zhì)檢)已知平面向量a，b滿足(a－2b)⊥(3a＋b)，且|a|＝|b|，則向量a與b的夾角為(　　)
A. B. C. D.
解析　設(shè)a與b的夾角為θ.
因為|a|＝|b|，所以|b|＝2|a|.
因為(a－2b)⊥(3a＋b)，
所以(a－2b)·(3a＋b)＝3a2－5a·b－2b2
＝3|a|2－5|a||b|cos θ－2|b|2
＝3|a|2－5|a|×2|a|cos θ－2(2|a|)2
＝－5|a|2－10|a|2cos θ＝0，解得cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.故選C.
答案　C
5.如圖，在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點，且滿足＝＝λ，則當·＝0時，λ的值所在的區(qū)間是(　　)

A. B.
C. D.
解析　在等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，
可得〈，〉＝60°，
所以〈，〉＝60°，〈，〉＝120°，
所以·＝4×2×＝4，
·＝4×2×＝－4，
·＝2×2×＝2，
又＝＝λ，所以＝λ，＝λ，
則＝＋＝＋λ，＝－＝λ－，
所以·＝(＋λ)·(λ－)
＝λ2－·＋λ2·－λ·＝0，
即2λ2－7λ＋2＝0，
解得λ＝(舍去)或λ＝∈.
答案　B
二、填空題
6.(2019·全國Ⅲ卷)已知向量a＝(2，2)，b＝(－8，6)，則cos〈a，b〉＝________.
解析　由題意得a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
答案?。?br /> 7.如圖，在△ABC中，O為BC的中點，若AB＝1，AC＝3，與的夾角為60°，則||＝________.

解析　·＝||·||cos 60°＝1×3×＝，
又＝(＋)，
所以2＝(＋)2＝(2＋2·＋2)，
即2＝(1＋3＋9)＝，所以||＝.
答案　
8.(2019·佛山二模)在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，AB＝1，D為BC的中點，E在斜邊AC上，若＝2，則·＝________.
解析　如圖，以B為坐標原點，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則B(0，0)，A(1，0)，C(0，2)，所以＝(－1，2).

因為D為BC的中點，所以D(0，1)，
因為＝2，所以E，
所以＝，
所以·＝·(－1，2)＝－＋＝.
答案　
三、解答題
9.在平面直角坐標系xOy中，點A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，－1).
(1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；
(2)設(shè)實數(shù)t滿足(－t)·＝0，求t的值.
解　(1)由題設(shè)知＝(3，5)，＝(－1，1)，則＋＝(2，6)，－＝(4，4).
所以|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的兩條對角線的長分別為4，2.
(2)由題設(shè)知：＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t，5＋t).
由(－t)·＝0，得
(3＋2t，5＋t)·(－2，－1)＝0，
從而5t＝－11，所以t＝－.
10.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值.
解　(1)因為a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.則tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x＝2cos.
因為x∈[0，π]，所以x＋∈，
從而－1≤cos≤.
于是，當x＋＝，即x＝0時，f(x)取到最大值3；
當x＋＝π，即x＝時，f(x)取到最小值－2.
B級　能力提升
11.(2019·北京卷)設(shè)點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的(　　)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析　因為點A，B，C不共線，所以線段AB，BC，AC構(gòu)成一個三角形ABC，由向量加法的三角形法則，可知＝－，所以|＋|>||等價于|＋|>|－|，因模為非負數(shù)，故不等號兩邊平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ (θ為與的夾角)，整理得4||·||·cos θ>0，故cos θ>0，即θ為銳角.當與的夾角為銳角，可得·>0，則有||2＋||2＋2·>||2＋||2－2·，即有|＋|2>|－|2，則|＋|2>||2，故|＋|>||，所以“與的夾角為銳角”是“|＋|>||”的充分必要條件.故選C.
答案　C
12.(一題多解)(2020·武漢調(diào)研)在△ABC中，·＝0，||＝4，||＝5，D為線段BC的中點，點E為線段BC垂直平分線l上任一異于D的點，則·＝(　　)
A. B. C.－ D.7
解析　法一　||＝＝3，
·＝(＋)·＝·＋·
＝·＝(＋)·(－)
＝(||2－||2)＝.
法二　依題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0，0)，B(4，0)，因為||＝5，所以C(0，3)，D，易知直線BC的斜率為－，因為直線DE是線段BC的垂直平分線，所以直線DE的方程為y－＝(x－2)，令x＝0，得y＝－，所以直線DE與y軸的交點坐標為，不妨令E，因為＝(4，－3)，所以·＝·(4，－3)＝，故選A.

答案　A
13.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2－4e·b＋3＝0，則|a－b|的最小值是________.
解析　設(shè)O為坐標原點，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以點B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓.因為a與e的夾角為，所以不妨令點A在射線y＝x(x>0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|a－b|min＝(||－||)min＝－1.

答案?。?
14.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大??；
(2)若|－|＝，求△ABC面積的最大值.
解　(1)由題意得(a－c)cos B＝bcos C.
根據(jù)正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因為A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因為|－|＝，所以||＝，
即b＝，根據(jù)余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(當且僅當a＝c時取等號)，即ac≤3(2＋).
故△ABC的面積S＝acsin B≤，
因此△ABC的面積的最大值為.
C級　創(chuàng)新猜想
15.(新定義題)定義一種向量運算“?”：a?b＝(a，b是任意的兩個向量).對于同一平面內(nèi)的向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論：
①a?b＝b?a；
②λ(a?b)＝(λa)?b(λ∈R)；
③(a＋b)?c＝a?c＋b?c；
④若e是單位向量，則|a?e|≤|a|＋1.
以上結(jié)論一定正確的是________(填序號).
解析　當a，b共線時，a?b＝|a－b|＝|b－a|＝b?a，當a，b不共線時，a?b＝a·b＝b·a＝b?a，故①正確；
當λ＝0，b≠0時，λ(a?b)＝0，(λa)?b＝|0－b|≠0，故②錯誤；
當a＋b與c共線時，則存在a，b與c不共線，(a＋b)?c＝|a＋b－c|，a?c＋b?c＝a·c＋b·c，顯然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③錯誤；
當e與a不共線時，|a?e|＝|a·e|