高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案

這是一份高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第5章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第3節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案，共15頁(yè)。
　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例[考試要求]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題．1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]．2．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝|a|＝數(shù)量積a·b＝|a||b|cos θa·b＝x1x2＋y1y2夾角cos θ＝cos θ＝a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤·提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標(biāo)關(guān)系不同．a(chǎn)∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．3．a(chǎn)在b方向上的投影為，b在a方向上的投影為.一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量． (　　)(2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量． (　　)(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.  (　　)(4)(a·b)c＝a(b·c)． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×二、教材習(xí)題衍生1．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15,12)   B．0C．－3   D．－11C　[∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.]2．平面向量a與b的夾角為45°，a＝(1,1)，|b|＝2，則|3a＋b|等于(　　)A．13＋6    B．2    C．    D．D　[∵a＝(1,1)，∴|a|＝＝.∴a·b＝|a||b|cos 45°＝2×＝2.∴|3a＋b|＝＝＝.故選D．]3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝        .8　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得(a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]4．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ＝        ，a在b方向上的投影為        ．　－　[cos θ＝＝＝－.又因?yàn)?≤θ≤π，所以θ＝.a在b方向上的投影為＝＝－.]考點(diǎn)一　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算               　平面向量數(shù)量積的三種運(yùn)算方法[典例1]　(1)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則·＝(　　)A．8    B．10    C．12    D．14(2)已知兩個(gè)單位向量a與b的夾角為60°，則向量a－b在向量a方向上的投影為        ．(1)B　(2)　[(1)法一：(定義法)根據(jù)題意，得·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋2×1×cos 0＋2×4×cos 0＋0＝10.法二：(坐標(biāo)法)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．則A(0,0)，B(4,0)，C(4,2)，D(0,2)．∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴E(2,0)，F(xiàn)(4,1)．∵＝(2，－2)，＝(4，－1)，∴·＝2×4＋(－2)×(－1)＝10.(2)由兩個(gè)單位向量a和b的夾角為60°，可得a·b＝1×1×＝，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－＝，所以向量a－b在向量a方向上的投影為＝＝.]點(diǎn)評(píng)：解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算常有兩種思路：一是定義法，二是坐標(biāo)法．定義法可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算，但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)；坐標(biāo)法要建立合適的坐標(biāo)系．1．在△ABC中，AB＝6，O為△ABC的外心，則·等于(　　)A．    B．6    C．12    D．18D　[如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，可知AD＝AB＝3，則·＝(＋)·＝·＋·＝3×6＋0＝18.]2．(2020·成都模擬)在?ABCD中，||＝8，||＝6，N為DC的中點(diǎn)，＝2，則·＝        .24　[法一：(定義法)·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.法二：(特例圖形)：若?ABCD為矩形，建立如圖所示坐標(biāo)系，則N(4,6)，M(8,4)．所以＝(8,4)，＝(4，－2)，所以·＝(8,4)·(4，－2)＝32－8＝24.]考點(diǎn)二　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用               　平面向量的模　求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.(2)|a±b|＝＝.(3)若a＝(x，y)，則|a|＝.[典例2－1]　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D為BC中點(diǎn)，則||等于(　　)A．2    B．4    C．6    D．8(2)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為        ．(1)A　(2)5　[(1)因?yàn)?/span>＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，則||＝2.(2)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(2,0)，設(shè)P(0，y)，C(0，b)，則B(1，b)，則＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．所以|＋3|＝(0≤y≤b)．當(dāng)y＝b時(shí)，|＋3|min＝5.]點(diǎn)評(píng)：求向量模的最值(范圍)的方法(1)代數(shù)法，先把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解．　平面向量的夾角　求向量夾角問(wèn)題的方法[典例2－2]　(1)(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　)A．    B．    C．    D．(2)若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b與c的夾角為鈍角，則k的取值范圍是        ．(1)B　(2)∪　[(1)法一：因?yàn)?a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－|b|2＝0，又因?yàn)閨a|＝2|b|，所以2|b|2cos〈a，b〉－|b|2＝0，即cos〈a，b〉＝，又知〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，故選B．法二：如圖，令＝a，＝b，則＝－＝a－b，因?yàn)?a－b)⊥b，所以∠OBA＝90°，又|a|＝2|b|，所以∠AOB＝，即〈a，b〉＝.故選B．(2)因?yàn)?a－3b與c的夾角為鈍角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，所以4k－6－6＜0，所以k＜3.若2a－3b與c反向共線，則＝－6，解得k＝－，此時(shí)夾角不是鈍角，綜上所述，k的取值范圍是∪.]點(diǎn)評(píng)：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為鈍角．　兩個(gè)向量垂直問(wèn)題1．利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．[典例2－3]　(1)(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是(　　)A．a(chǎn)＋2b    B．2a＋b    C．a(chǎn)－2b    D．2a－b(2)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為        ．(1)D　(2)　[(1)法一：由題意，得a·b＝|a|·|b|cos 60°＝.對(duì)于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0，故A不符合題意；對(duì)于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對(duì)于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0，故C不符合題意；對(duì)于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以(2a－b)⊥b.故選D．法二：不妨設(shè)a＝，b＝(1,0)，則a＋2b＝，2a＋b＝(2，)，a－2b＝，2a－b＝(0，)，易知，只有(2a－b)·b＝0，即(2a－b)⊥b，故選D．(2)因?yàn)?/span>⊥，所以·＝0.又＝λ＋，＝－，所以(λ＋)·(－)＝0，即(λ－1)·－λ2＋2＝0，所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝.]點(diǎn)評(píng)：解答本例(2)的關(guān)鍵是的轉(zhuǎn)化，考慮到＝λ＋，且與的夾角為120°，故＝－.從而⊥可轉(zhuǎn)化為·＝0，即(λ＋)·(－)＝0.1．(2020·南寧模擬)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝，則a＋2b與b的夾角是(　　)A．    B．    C．    D．A　[因?yàn)閨a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝.又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b與b的夾角為.故選A．]2．(2020·福州模擬)已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若與的夾角為60°，且⊥，則實(shí)數(shù)的值為(　　)A．    B．    C．6    D．4A　[因?yàn)橄蛄縷|＝3，||＝2，＝m＋n，與的夾角為60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3，所以·＝(－)·(m＋n)＝(m－n)·－m||2＋n||2＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故選A．]3．(2020·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝        .　[∵a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，∴(a＋b)2＝1，∴1＋1＋2a·b＝1，∴a·b＝－，∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×＝3，∴|a－b|＝.]考點(diǎn)三　平面向量的應(yīng)用                 　平面向量常與平面幾何、三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何的問(wèn)題綜合起來(lái)考查，還會(huì)與一些物理知識(shí)相結(jié)合考查．解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把向量作為載體，將題干關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)求解．[典例3]　(1)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若·(＋)＝2·，且2＝2－2·，則點(diǎn)P是△ABC的(　　)A．外心    B．內(nèi)心    C．重心    D．垂心(2)在△ABC中，＝(sin x，sin x)，＝(－sin x，cos x)．①設(shè)f (x)＝·，若f (A)＝0，求角A的值；②若對(duì)任意的實(shí)數(shù)t，恒有|－t|≥||，求△ABC面積的最大值．(1)A　[由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則·2＝0，故·＝0.由2＝2－2·，得(＋)·(－)＝－2·，即(＋－2)·＝0.設(shè)E為BC的中點(diǎn)，則(2－2)·＝0，則2·＝0，故·＝0.所以P為AB與BC的垂直平分線的交點(diǎn)，所以P是△ABC的外心．故選A．](2)[解]?、?/span>f (x)＝·＝－sin2 x＋sin xcos x＝－×＋＝sin－.∵f (A)＝0，∴sin＝.又∵A∈(0，π)，∴2A＋∈，∴2A＋＝，∴A＝.②如圖，設(shè)＝t，則－t＝，即||≥||恒成立，∴AC⊥BC．∵||＝＝≤2，||＝1，∴||＝≤，∴△ABC的面積S＝BC·AC≤，當(dāng)且僅當(dāng)cos 2x＝0，即x＝＋kπ，k∈Z時(shí)等號(hào)成立，∴△ABC面積的最大值為.點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用向量表示三角形的外心、重心、垂心及內(nèi)心(1)||＝||＝||(或2＝2＝2)?O是△ABC的內(nèi)心；(2)＋＋＝0?O是△ABC的重心；(3)·＝·＝·?O是△ABC的垂心；(4)·＝·＝·?O是△ABC的內(nèi)心．1．(2020·濟(jì)南一模)加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(　　)(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10 m/s2，≈1.732)A．63    B．69    C．75    D．81B　[設(shè)該學(xué)生兩只胳膊的拉力分別為F1，F(xiàn)2，由題意知，|F1|＝|F2|＝400，夾角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)．所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002，|G|＝400(N)，則該學(xué)生的體重約為40＝40×1.732≈69(kg)，故選B．]2．在△ABC中，·＝3，其面積S∈，則與夾角的取值范圍為(　　)A．   B．C．   D．C　[設(shè)與夾角為θ，∵·＝3，∴||||cos θ＝3，即||||＝.又S∈，故≤||||sin(π－θ)≤，所以≤tan θ≤，即≤tan θ≤.又θ∈[0，π]，∴≤θ≤.故選C．]備考技法4　平面向量中的最值(范圍)問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解題思路通常有兩種：一是“形化”，即利用平面向量的幾何意義，先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；二是“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，先把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程的有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.  數(shù)量積的最值(范圍)問(wèn)題 　已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　)A．－2    B．－    C．－    D．－1B　[法一：(極化恒等式)結(jié)合題意畫(huà)出圖形，如圖①所示，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，AD的中點(diǎn)為E，連接AD，PE，PD，則有＋＝2，圖①則·(＋)＝2·＝2(＋)·(－)＝2(2－2)．而2＝＝，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，2有最小值0，故此時(shí)·(＋)取得最小值，最小值為－22＝－2×＝－.法二：(坐標(biāo)法)如圖②，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以邊BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，最小值為－.]圖②[評(píng)析]　設(shè)a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)向量，則有a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]；極化恒等式的幾何意義是在△ABC中，若AD是BC邊上的中線，則·＝AD2－BD2.具有三角幾何背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題利用極化恒等式考慮尤為簡(jiǎn)單，讓“秒殺”向量成為另一種可能；我們從極化恒等式看到向量的數(shù)量積可轉(zhuǎn)化為中線長(zhǎng)與半底邊長(zhǎng)的平方差，此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長(zhǎng)度(數(shù)量)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合．1．(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則A·A的取值范圍是(　　)A．(－2,6)   B．(－6,2)C．(－2,4)   D．(－4,6)A　[·＝||·||·cos∠PAB＝2||·cos∠PAB，又||cos∠PAB表示在方向上的投影，所以結(jié)合圖形(圖略)可知，當(dāng)P與C重合時(shí)投影最大，當(dāng)P與F重合時(shí)投影最小．又·＝2×2×cos 30°＝6，·＝2×2×cos 120°＝－2，故當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形ABCDEF內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，·∈(－2,6)，故選A．]2．在半徑為1的扇形AOB中，若∠AOB＝60°，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則·的最小值是        ．－　[法一：(極化恒等式)如圖①，取OB的中點(diǎn)D，連接PD，則·＝PD2－OD2＝PD2－，即求PD的最小值．圖①由圖可知，當(dāng)PD⊥OB時(shí)，PDmin＝，則·的最小值是－.法二：(坐標(biāo)法)以O(shè)B所在的直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A且垂直于OB的直線為y軸，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，圖②則A，O，B，可得直線AB的方程為2x＋y＝1，設(shè)P，則＝，＝，所以·＝4x2－3x＋＝4－，當(dāng)x＝時(shí)，·的最小值是－.] 模的最值問(wèn)題 (2020·贛州模擬)已知平面向量a，b的夾角為θ，且|a|＝2，|b|＝1，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)λ，|a－λb|的最小值為，則cos θ＝(　　)A．    B．    C．±    D．0B　[法一：(函數(shù)法)根據(jù)題意，|a|＝2，|b|＝1，a，b的夾角為θ，則a·b＝2cos θ，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)λ，|a－λb|的最小值為，則|a－λb|2的最小值為3，則|a－λb|2＝a2＋λ2b2－2λa·b＝4＋λ2－4λcos θ＝(λ－2cos θ)2＋4－4cos2 θ，故當(dāng)λ＝2cos θ時(shí)，|a－λb|2取得最小值3，即有4－4cos2θ＝3，即cos θ＝±，又由λ＞0，則cos θ＝，故選B．法二：(數(shù)形結(jié)合法)如圖，設(shè)＝a，＝λb(λ＞0)，則|a－λb|＝||，易知當(dāng)BA⊥OA時(shí)|a－λb|取得最小值，此時(shí)sin θ＝，cos θ＝.故選B．][評(píng)析]　模的最值問(wèn)題求解方法一種是借助函數(shù)，另一種是借助向量的幾何意義．前者可以建系借助坐標(biāo)法求解，后者常用三角形法則數(shù)形結(jié)合求解．已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝2，a與b的夾角為，(c－a)·(c－b)＝－1，則|c－a|的最大值為        ．＋1　[設(shè)＝a，＝b，＝c，以O(shè)A所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，∵|a|＝4，|b|＝2，a與b的夾角為，則A(4,0)，B(2,2)，設(shè)C(x，y)．∵(c－a)·(c－b)＝－1，∴x2＋y2－6x－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1表示以(3,1)為圓心，以1為半徑的圓，|c－a|表示點(diǎn)A，C的距離即圓上的點(diǎn)與點(diǎn)A(4,0)的距離．∵圓心到點(diǎn)A的距離為＝，∴|c－a|的最大值為＋1.]