本卷考試時(shí)間：120分鐘總分：150分
命題人： 審題人：
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，若中只有1個(gè)元素，則a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求集合，再根據(jù)題意確定的取值范圍.
【詳解】，得，且，所以，
因?yàn)椋抑兄挥?個(gè)元素，
所以.
故選：B
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求出復(fù)數(shù)的模.
【詳解】由，得，所以.
故選：A
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角恒等變換得，進(jìn)一步即可求解.
【詳解】，
解得，
所以.
故選：D.
4. 若非零向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量模長(zhǎng)關(guān)系可得，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得，
所以，
又向量為非零，則，
則在方向上的投影向量為.
故選：C.
5. 設(shè)直線和圓相交于，兩點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由，可知圓心到直線的距離，進(jìn)而可求的值.
【詳解】
如圖所示，由已知，即，
可得圓心，半徑，
又，所以，即等腰直角三角形，
所以圓心到直線的距離，
即，解得；
故選：C.
6. 的的展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ）
A. 30B. C. 20D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)展開(kāi)式的每一項(xiàng)的生成過(guò)程，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】從5個(gè)含有的括號(hào)中，其中1個(gè)括號(hào)中取，一個(gè)括號(hào)中取，3個(gè)括號(hào)中取，乘在一起構(gòu)成這一項(xiàng)，
這一項(xiàng)為，所以的系數(shù)為.
故選：D
7. 已知是橢圓上一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.
【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于，
由題意知，為中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，
又，即，則，
又點(diǎn)在的平分線上,則，故是等腰直角三角形，
因此，
則，
可得，，
又，則，
因此可得，
又在中，，則，
將， 代入得，
即，由所以，
所以，.
故選：A.
8. 如圖，甲乙做游戲，兩人通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先到達(dá)第3格，并規(guī)定從0格出發(fā)，每次劃拳贏的一方往右前進(jìn)一格，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩人都往右前進(jìn)一格．如果一方連續(xù)贏兩次，那么他將額外獲得右前進(jìn)一格的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)到達(dá)第3格，當(dāng)有任何一方到達(dá)第3格時(shí)游戲結(jié)束，則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】游戲結(jié)束時(shí)，有可能是甲到達(dá)第3格，也有可能是乙到達(dá)第3格，根據(jù)每一步的情況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件概率公式，即可求解.
【詳解】設(shè)事件“第次劃拳甲贏”為，事件“第次劃拳甲平局”為，事件“第次劃拳甲輸”為，
則，
則游戲結(jié)束時(shí)恰好劃拳3次的概率為
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在年小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法中，正確的是（ ）
A. 樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度
B. 用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好
C. 隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，若方差，則
D. 隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，以及殘差的定義，即可判斷AB，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差和概率公式，即可判斷C，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，即可判斷D.
【詳解】A.由相關(guān)系數(shù)的定義和實(shí)際意義可知，A正確；
B. 用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故B正確；
C.由條件可知，，得或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
D.由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可知，，故D正確.
故選：ABD
10. 已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B. 函數(shù)為周期函數(shù)
C. 函數(shù)為上的偶函數(shù)D.
【答案】AB
【解析】
【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，結(jié)合關(guān)系式的變換得到函數(shù)周期判斷B，利用特殊值代入判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性結(jié)合關(guān)系式和偶函數(shù)定義判斷C，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式和單調(diào)性判斷D.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
f2x+1為奇函數(shù)，1），函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，
對(duì)于B，，故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；
對(duì)于A，，令，故f1=0，
又，故A正確；
對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，即函數(shù)在上遞增，
函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在上遞增，
所以，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，
故選：AB.
【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的判斷一般會(huì)從函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱性的定義推得相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)；
11. 如圖所示是某同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，由于形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線．對(duì)于小恐龍曲線，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 該曲線與最多存在3個(gè)交點(diǎn)
B. 如果曲線如題圖所示（軸向右為正方向，軸向上為正方向），則
C. 存在一個(gè)，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖象
D. 當(dāng)時(shí)，該曲線中的部分可以表示為關(guān)于的某一函數(shù)
【答案】ABC
【解析】
【分析】AB項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為三次方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題研究；C項(xiàng)，舉特例說(shuō)明存在值使曲線是偶函數(shù)的圖象；D項(xiàng)，令，由零點(diǎn)存在性定理說(shuō)明方程至少兩根，對(duì)應(yīng)值不唯一即可說(shuō)明不是的函數(shù).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，曲線方程，
令，得關(guān)于的一元三次方程，
令，則，
最多兩根，即函數(shù)最多兩個(gè)極值點(diǎn)，
即方程最多有三個(gè)實(shí)根，故A正確；
對(duì)于B項(xiàng)，若曲線如題圖所示，則存在，使得與曲線圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
即存在，關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根.
令，則，
假設(shè)，，都有，即單調(diào)遞增，
則方程在最多有一個(gè)實(shí)根，與題圖矛盾，假設(shè)錯(cuò)誤.
因此，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線即函數(shù)的圖象，
設(shè)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
且，所以是偶函數(shù).
故存在，使得曲線是偶函數(shù)的圖象，故C正確：
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線方程為.
令，得，
令，則，，
由零點(diǎn)存在性定理知至少兩根，則對(duì)應(yīng)的值不唯一，不符合函數(shù)定義，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性定義，函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)存在性定理，利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，用方程研究曲線的性質(zhì).
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且公差不為0，若成等比數(shù)列，，則__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由求出，由成等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出公差，即可求出.
【詳解】在等差數(shù)列an中，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，
由，則，可得，
由成等比數(shù)列，則，即，
解得，(舍）
因此可得，
故答案為：4.
13. 已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線，所成角的余弦值為，且該圓錐的母線是底面半徑的倍，若的面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)條件，求圓錐的底面半徑和母線長(zhǎng)，再根據(jù)公式求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓錐底面圓的圓心為，圓錐的高為，底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，母線，的夾角為，
則，所以，
因?yàn)榈拿娣e為，所以，
解得，又，所以，
所以圓錐高，
所以圓錐的體積.
故答案為：.
14. 若曲線與曲線存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
【答案】或
【解析】
【分析】設(shè)公切線經(jīng)過(guò)兩個(gè)曲線各自的切點(diǎn)依次為、，由此列出方程組得出，，只需構(gòu)建函數(shù)得出的范圍即可進(jìn)一步求解.
【詳解】設(shè)，則，，
設(shè)曲線與曲線的公共切線經(jīng)過(guò)曲線上面一點(diǎn)，
則公切線方程為，
設(shè)公切線經(jīng)過(guò)曲線上面一點(diǎn)，
則，即，
解得（舍去，因?yàn)?，所以）或?br>所以，因?yàn)?，所以?br>令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)趨于1時(shí)，趨于0，
當(dāng)趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也趨于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)趨于正無(wú)窮時(shí)，趨于0，
所以的值域?yàn)椋?br>而有解，
這意味著的取值范圍為或.
故答案為：或.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于通過(guò)分離參數(shù)得到方程，有解，從而即可順利得解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 在中，角的對(duì)邊分別為，已知.
（1）求；
（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差公式求解；
（2）根據(jù)余弦定理求出邊，再根據(jù)向量運(yùn)算求.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>根據(jù)正弦定理，得，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)锽∈0,π，所以.
【小問(wèn)2詳解】
在中，由余弦定理得，
所以，解得．
因?yàn)闉榈闹芯€，所以，
所以，
因?yàn)?，所以，解?

16. 某市為了解鄉(xiāng)村振興，農(nóng)業(yè)農(nóng)村現(xiàn)代化進(jìn)程，對(duì)全市村莊進(jìn)行全方位的摸底調(diào)研．根據(jù)調(diào)研成績(jī)?cè)u(píng)定“要加油”“良好”“優(yōu)秀”三個(gè)等級(jí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取個(gè)村莊的成績(jī)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表：
（1）若調(diào)研成績(jī)?cè)诜旨耙陨险J(rèn)定為“優(yōu)良”，抽取的個(gè)村莊中西部村莊的分布情況如表．完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有關(guān)？
（2）用分層抽樣的方法，從評(píng)定為“要加油”“良好”“優(yōu)秀”三個(gè)等級(jí)的村莊中隨機(jī)抽取個(gè)進(jìn)行細(xì)致調(diào)查，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“優(yōu)秀”記分，“良好”記分，“要加油”記 分．現(xiàn)再?gòu)某槿〉膫€(gè)村莊中任選個(gè)村，所選村的量化分之和記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，分.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)優(yōu)良和非優(yōu)良的頻數(shù)填寫(xiě)表格，然后根據(jù)公式計(jì)算出的值與比較大小并作判斷；
（2）先根據(jù)分層抽樣求解出“要加油”“良好”“優(yōu)秀”三個(gè)等級(jí)分別抽取的村莊個(gè)數(shù)，再根據(jù)條件列出的可取值并計(jì)算出對(duì)應(yīng)概率，由此的分布列可知，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求解出數(shù)學(xué)期望的值.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下表所示：
所以，
故有的把握認(rèn)為優(yōu)良村莊與東西部位置有關(guān)；
（2）“要加油”等級(jí)的村莊抽取數(shù)：個(gè)，
“良好”等級(jí)的村莊抽取數(shù)：個(gè)，
“優(yōu)秀”等級(jí)的村莊抽取數(shù)：個(gè)，
由題意可知：的可取值有，
，
，
，
，
，
所以的分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望分.
17. 如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，∠BCC1=60°,．
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面的夾角的正弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題中條件利用線面垂直的判定定理和線面垂直的性質(zhì)定理即可證得結(jié)論；
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則可得兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在平行四邊形中，因?yàn)椋?br>所以四邊形為菱形，故，
又因?yàn)椤螧CC1=60°，所以為等邊三角形，故．
在中，，，，所以，故，
又在矩形中，，
又，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫虼耍?br>又因?yàn)?，平面?br>所以平面；
【小問(wèn)2詳解】
取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈冗吶切危?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>由（1）知平面，平面，
所以，，
故兩兩垂直，
故以為基底建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
則，，，，
設(shè)平面的法向量為，則
，令，故?。?
設(shè)平面的法向量為，則
，令，故?。?
設(shè)平面與平面的夾角為，
則
所以，，即平面與平面的夾角的正弦值為．
18. 已知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)是圓與的一個(gè)交點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，且在軸兩側(cè)，直線與圓相切，線段線段分別與圓相交于點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）的面積是否存在最大值？若存在，求使的面積取得最大值的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由拋物線焦半徑公式和圓的方程，列出方程組，求出，得到答案；
（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)直線與圓相切得到方程，求出，結(jié)合在軸兩側(cè)，得到不等式，求出，，得到，從而得到，求出的值，進(jìn)而得到直線方程.
【小問(wèn)1詳解】
由已知，設(shè)拋物線的方程為y2=2pxp>0，
由拋物線定義得，拋物線準(zhǔn)線方程為，，
故，
又是拋物線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，
，
，
，解方程得.
的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知拋物線的方程為，根據(jù)已知設(shè)直線的方程為，
即.由是上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，
則，.
直線與圓相切，
，化簡(jiǎn)得.
由得.
，且.
又在軸兩側(cè)，
.
故，解得，
成立，
，
.
，解得或.
再由得.
當(dāng)時(shí)，，解方程得.
的面積存在最大值，且使的面積取得最大值的直線的方程為，
即.
【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；
（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．
19. 固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．
（1）寫(xiě)出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；
（2）任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2），
（3）存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【解析】
【分析】（1）①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求的取值范圍即可；
（3）方法一、求出，，，猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．方法二、構(gòu)造數(shù)列，根據(jù)，利用遞推公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
①導(dǎo)數(shù)：，，證明如下：
，
②二倍角公式：，證明如下：
；
③平方關(guān)系：，證明如下：
；
【小問(wèn)2詳解】
令，，，
①當(dāng)時(shí)，由，
又因?yàn)椋?，等?hào)不成立，
所以，即為增函數(shù)，
此時(shí)，對(duì)任意，恒成立，滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，令，，則，可知是增函數(shù)，
由與可知，存唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，
所以對(duì)任意，，不合題意；
綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【小問(wèn)3詳解】
方法一、由，函數(shù)的值域?yàn)椋?br>對(duì)于任意大于1的實(shí)數(shù)，存在不為0的實(shí)數(shù)，使得，
類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，成立；
②假設(shè)當(dāng)為正整數(shù)）時(shí)，猜想成立，即，則
，符合上式，
綜上知，；
若，
設(shè)，則，解得：或，
即，所以，即．
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
方法二、構(gòu)造數(shù)列，且，
因?yàn)?，所以?br>則，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即是以2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以，
又因?yàn)椋獾没颍?br>所以，
綜上知，存在實(shí)數(shù)，使得成立．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，解題不是事.
0
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等級(jí)
要加油
良好
優(yōu)秀
得分
頻數(shù)
村莊位置
是否優(yōu)良
總計(jì)
優(yōu)良
非優(yōu)良
東部村莊
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總計(jì)
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